Про авторів
Барі Мазур (Barry Mazur) – професор математики Гарвардського університету, Масачусетс. Член Американської академії мистецтв і наук (1978), Національної академії наук США (1982), член Американського філософського товариства (2001), член Американського математичного товариства (2012). Лавреат премій Веблена (1966), Коула (1982), Шовене (1994), Стіла (2000). Нагороджений Національною медаллю науки (2011). Автор книжки «Уявляючи числа: (зокрема, квадратний корінь з мінус п’ятнадцяти)» і разом з Апостолосом Доксіадісом редактор книжки «Порушені кола: взаємовплив математики та розповіді».
Вільям Стайн (William Stein) – колишній професор математики Вашингтонського університету. Провідний розробник SageMath і засновник CoCalc. Автор книжки «Елементарна теорія чисел: прості числа, конгруенції та секрети: обчислювальний підхід». Провідний експерт у галузі обчислювальної аритметики.
Анотація
Прості числа – прекрасні, таємничі та чарівливі математичні об’єкти. 1859 року математик Бернгард Ріман висунув знамениту гіпотезу про прості числа, так звану Ріманову гіпотезу, яка залишається однією з найважливіших нерозв’язаних задач математики. Завдяки глибокій проникливості авторів, ця книжка знайомить з простими числами та пояснює Ріманову гіпотезу. Студенти з мінімальною математичною освітою та освічені люди дістануть задоволення від цього всебічного обговорення простих чисел. Перша частина книжки зацікавить широке коло читачів доступним поясненням ключових ідей. Їх виклад щедро прикрашено кольоровими графіками, що демонструють ключові поняття та явища в привабливих деталях. Читачі з більшими математичними знаннями потім заглибляться в структуру простих чисел і побачать, як Ріманова гіпотеза пов’язана з аналізом Фур’є з використанням лексикону спектрів. Читачі, які мають сильні математичні знання, зможуть пов’язати ці ідеї з історичними формулюваннями Ріманової гіпотези.
Відгуки
«Це надзвичайна книга, справді свого роду єдина. Її написали два найголовніші експерти, але вона розрахована на рівень студентів або допитливих аматорів й підкреслює дійсно потужні ідеї з мінімумом математичних записів і максимальною кількістю елегантних та привабливих візуальних зображень. Автори пояснюють, чому ця легендарна задача така красива, чому вона складна і чому для вас це важливо».
Віл Герст, «Герст корпорейшн»
«Ця книжка — неймовірна подорож, починаючи від найпростіших ідей і закінчуючи однією з найглибших нерозв’язаних задач математики. На відміну від багатьох популярних книжок з математики, наповнених анекдотичними матеріалами, автори тут ставляться до читача як до серйозно зацікавленого простими числами і нарощують справжню математику чотирма етапами за допомогою переконливих графічних демонстрацій, які дедалі глибше розкривають приховану музику простих чисел. Якщо ви коли-небудь вдавалися в питання, чому так багато математиків одержимі простими числами, – це саме те».
Дейвід Мамфорд, Браунський університет, Род-Айленд
«Це чудова маленька книжечка, не схожа ні на що інше, що я знаю… розкішна робота, інформативна та цінна. Бакалаври математичних спеціальностей і їхні викладачі мають дістати значну користь від прочитання».
Марк Гюнасек, «Огляди Математичної асоціації Америки»
«Ця книжка поділена на чотири частини, і їй чудово вдається надати як огляд для широкої авдиторії, так і уявлення про деталі, необхідні для розуміння того, як швидко зростає кількість простих чисел. Це досягається за допомогою дуже чіткого пояснення та численних яскравих ілюстрацій».
Стівен Джоул Мілер, MathSciNet
«Там, де популяризатори математики зазвичай піддаються або журналістській схильності до іронії та видовища а ля «людина кусає собаку», або залізній волі шкільного вчителя спростити те, що вселяє страх, тут можна назвати особливий підхід – «взяти на роботу непрофесійного читача». Комп’ютери тепер забезпечують математикам лабораторію, і автори використовують цю сучасну силу для демонстрації графіків, створюючи вирішальну еквівалентність яскравим явищам експериментальної математики… завдяки своїй чіткості та важливості теми ця книжка заслуговує на той самий класичний статус, що й «Коротка історія часу». Підбиваючи підсумки: неодмінно. Усім читачам».
Д. В. Фелдмен, «Чойс»
«… чудовий подарунок для допитливого студента. Використовуючи графічні методи, що містяться в реформових текстах числення, ця красива книжечка дає змогу терплячому читачеві, який добре володіє численням на рівні першого курсу, дослідити найвідомішу нерозв’язану задачу в математиці, так звану Ріманову гіпотезу, і зрозуміти, чому вона вказує на ще невиявлені закономірності в розподілі простих чисел».
Донал О’Ші, «Геролд трібюн»
«Розглядуваній книжці вдається красиво подати Ріманову гіпотезу для широкої авдиторії… Починаючи з означення простих чисел, автори прокладають свій шлях через конкретні та барвисті представлення елементарних способів та описи нерозв’язаних задач, пов’язаних із простими числами. Вона містить багато продуманих виносок, конкретних і яскравих фігур, вказівників на сторінки arXiv для додаткової інформації та багатий набір кінцевих приміток, які містять додаткові описи та деталі різного рівня складності. Після 23 коротких розділів (по кілька сторінок кожен) формулюється Ріманова гіпотеза в термінах підрахування простих чисел до заданого розміру. До цього моменту в майстерному та переконливому викладі гіпотеза здається цілком природною та неминучою… Я не сумніваюся, що багато новачків у цьому предметі, які дочитали книжку до кінця, будуть прагнути дізнатися більше та залучаться до цієї плідної сфери діяльності».
Пітер Сарнак, «Бюлетень Американського математичного товариства»
«Я дуже рекомендую цю книжку, якщо ви хочете відчути Ріманову гіпотезу, не заглиблюючись у технічні деталі».
Джон Баєз, The n-Category Café (http://golem.ph.utexas.edu/category)
Зміст
Передмова
Частина І. Ріманова гіпотеза
1. Думки про числа
2. Що таке прості числа?
3. «Іменовані» прості числа
4. Сита
5. Запитання про прості числа
6. Подальші запитання про прості числа
7. Скільки існує простих чисел?
8. Прості числа, розглянуті з відстані
9. Чиста і застосовна математика
10. Імовірний перший здогад
11. Що таке «достатнє наближення»
12. Середньоквадратична похибка і випадкові блукання
13. Що таке Ріманова гіпотеза?
14. Загадка перетворюється в помилковий термін
15. Згладжування Чезаро
16. Погляд на ǀLi(X) – π(X)ǀ
17. Теорема про розподіл простих чисел
18. Сходи простих чисел
19. Експериментуючи з простими числами
20. Комп'ютерні музичні файли та прості числа
21. Слово «спектр»
22. Спектри та тригонометричні суми
23. Спектр і сходи простих чисел
24. До наших читачів частини І
Частина ІІ. Розподіли
25. Нахили графів, які не мають нахилів
26. Розподіли
27. Перетворення Фур’є: другий візит
28. Перетворення Фур'є дельти
29. Тригонометричний ряд
30. Попередній перегляд частини III
Частина ІІІ. Ріманів спектр простих чисел
31. Про втрату інформації
32. Від простих чисел до спектра Рімана
33. Як багато є θі?
34. Подальші питання про спектр Рімана
35. Від спектра Рімана до простих чисел
Частина ІV. Назад до Рімана
36. Будування зі спектра
37. Як це уявляв Ріман
38. Супутники дзета-функції
Кінцеві зауваги
Індекс
Передмова
Ріманова гіпотеза – одна з найбільших нерозв’язаних задач математики, і винагорода 1 000 000 доларів США від Інституту математики Клея чекає того, хто її розв’яже. Але – з грошима чи без – її розв’язання має вирішальне значення для нашого розуміння природи чисел.
Нещодавно опубліковано кілька повноформатних книжок, написаних для широкої авдиторії, основна тема яких – Ріманова гіпотеза. Читач цих книжок дістане досить повне уявлення про осіб, що займалися пошуком розв’язку, а також про пов’язані математичні та історичні задачі [1].
Книжка, яку ви зараз тримаєте в руках, не про це. Натомість ми прагнемо пояснити, якомога пряміше та з найменшими необхідними математичними знаннями, що це за задача і чому вона така важлива. Бо навіть перш ніж хтось доведе, що ця гіпотеза істинна (або хибна!), захопливо просто познайомитися з нею та деякими ідеями, які за нею стоять. Ба більше, ця гіпотеза має вирішальне значення в широкому діапазоні математичних царин; наприклад, це посилювач упевненості для обчислювальної математики: навіть якщо гіпотеза Рімана ніколи не буде доведена, припущення щодо її істинності (і тісно пов’язаних гіпотез) дає нам чудове уявлення про те, скільки часу буде потрібно для виконання певних комп’ютерних програм, що, в деяких випадках, дає нам упевненість, що нам потрібно почати обчислення, для завершення якого можуть знадобитися тижні або навіть місяці.
Ось як принстонський математик Пітер Сарнак описує широкий вплив Ріманової гіпотези [2]:
Отже, що таке Ріманова гіпотеза? Нижче наведено перший опис того, про що йдеться. Завдання нашої книжки полягає в тому, щоб розробити нижчевказаний зарамкований абзац до повнішого пояснення та переконати вас у важливості та красі математики, яку він представляє. У нашій книжці ми пропонуватимемо низку різних, але еквівалентних, способів точного формулювання цієї гіпотези (ми відображаємо їх у прямокутниках). Коли ми говоримо, що два математичні твердження «еквівалентні», то маємо на увазі, що, враховуючи сучасний стан математичних знань, ми можемо довести, що якщо одне з цих тверджень істинне, то й інше істинне. Кінцеві примітки зорієнтують читача щодо відповідної математичної літератури.Ріманова гіпотеза – центральна задача, і вона передбачає багато, багато речей. Одна річ, що робить її досить незвичайною в сучасній математиці, — це те, що має бути понад п’ятсот робіт — хтось повинен піти й порахувати — які починаються «Припустімо, що Ріманова гіпотеза» , і висновок фантастичний. І ці [висновки] тоді стали б теоремами... За допомогою цього одного розв’язку ви б довели п’ятсот або й більше теорем одночасно.
Що це таке – Ріманова гіпотеза?
Розгляньмо, здавалося б, невинний ряд питань:
Скільки є простих чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…), менших за 100?
Скільки менших за 10 000?
Скільки менших за 1 000 000?
Загалом, скільки є простих чисел, менших за будь-яке задане число X?
Півтора століття тому Ріман запропонував разюче просте-для-опису «дуже гарне наближення» щодо кількості простих чисел, менших або рівних заданому числу X. Тепер ми бачимо, що якби ми змогли довести цю Ріманову гіпотезу, то мали б ключ до багатства потужної математики. Математики прагнуть знайти цей ключ.
Математик Раул Бот, даючи пораду студентові, якось сказав, що щоразу, коли хтось читає книжку з математики чи статтю чи йде на лекцію з математики, він має прагнути повернутися додому з чимось дуже специфічним (воно може бути невеликим, але має бути специфічним), що застосовується до ширшого класу математичних задач, ніж те, на чому був сфокусований текст чи лекція. Якби ми запропонували деякі можливі специфічні наймення, з якими можна було б повернутися додому, після прочитання нашої книжки, то три ключові фрази – прості числа, точний квадратний корінь і спектр – очолювали б список. Як слова підтримки, щоб добре подумати про першу з них, тобто про прості числа, ми не можемо зробити нічого кращого, ніж процитувати абзац класичного 12-сторінкового викладу Дона Заґіра «Перші 50 мільйонів простих чисел»:
Математика процвітає. Щороку з’являються нові захопливі ініціативи, які розширюють та покращують застосування нашого предмета, нові напрямки глибокого дослідження – та тоншого розуміння – як класичних, так і дуже сучасних математичних царин. У таких дослідженнях нам допомагає розробляння дедалі потужніших інструментів. Ми бачимо вирізнення центральних важливих питань. І через все це нас чекають сюрпризи та кардинальні зміни поглядів, коротко кажучи, дива.Є два факти про розподіл простих чисел, якими я сподіваюся так сильно переконати вас, що вони назавжди закарбуються у ваших серцях. Перший полягає в тому, що [вони] найдовільніші та найсвавільніші/найнепокірніші об’єкти, які вивчають математики: вони ростуть, як бур’ян серед натуральних чисел, нібито не підлягають жодному іншому законові, крім закону випадковості, і ніхто не може передбачити, де проросте наступний. Другий факт ще разючіший, бо він стверджує якраз протилежне: що прості числа демонструють приголомшливу регулярність, що існують закони, які керують їхньою поведінкою, і що вони підлягають цим законам майже з військовою точністю.
І який набір чудових методів дає змогу математикам виконувати свою роботу; формування означень; творення конструкцій; формулювання аналогій, що стосуються докорінно відмінних понять і докорінно відмінних математичних сфер; висування припущень, які чітко формують можливий шлях вперед; і наріжний камінь: надання незаперечних доведень стверджуваного, ідея зробити таку річ сама по собі одна з великих красот математики.
Теорія чисел має свою частку в цьому дарі. Поряд з усіма цими методами теоретичної роботи, теорія чисел також пропонує чисту втіху числового експериментування, яке, коли все йде добре, дає змогу вам побачити складність чисел і глибокі взаємозв’язки, які потребують пояснень. Вражає, як мало ви насправді повинні знати, щоб оцінити одкровення/відкриття, які пропонуються числовими дослідженнями.
Наша книжка покликана бути вступом до цих насолод. Ми використовуємо експериментальний погляд на фундаментальні ідеї цієї теми, підкріплені числовими розрахунками, які часто відображені у вигляді графіків. Як результат, наша книжка багата на ілюстрації, що містить понад 130 фігур, діаграм та рисунків, які супроводжують текст .
У частині I мало математичних рівнянь. Вона для читачів, що загалом цікавляться математичними ідеями, але які, можливо, не вивчали ніяких поглиблених тем. Частина I присвячена тому, щоб передати сутність Ріманової гіпотези та пояснити, чому вона так інтенсивно досліджувана. Вона вимагає мінімуму математичних знань і не використовує, наприклад, числення, хоча було б корисно знати – або вивчити в процесі – значення поняття функції. З огляду на свою місію, частина I має бути завершеною, бо вона має початок, середину та кінець. Сподіваємося, що нашим читачам, які прочитають лише частину I, сподобається цей важливий шматок математики.
Частина ІІ – для читачів, які пройшли хоча б один курс числення, можливо, давно. Вона як загальне підготування до типу аналізу Фур’є, про який йтиметься в дальших частинах. Поняття спектра ключове.
Частина ІІІ – для читачів, які хочуть яскравіше побачити зв'язок між розташуванням простих чисел і (тим, що ми називаємо) спектром Рімана.
Частина IV вимагає деякого знайомства зі складними аналітичними функціями і повертається до первинного погляду Рімана. Зокрема, вона пов’язує “спектр Рімана”, який ми обговорюємо в частині III, з нетривіальними нулями дзета-функції Рімана. Ми також даємо короткий нарис стандартнішого шляху, на основі опублікованих викладів Ріманової гіпотези.
Кінцеві примітки призначені зв’язати текст із покликаннями, а також надати більше технічних коментарів зі зростною залежністю від математичного тла в дальших розділах. Покликання на кінцеві примітки задужковані.
Ми писали нашу книжку протягом останнього десятиліття, але присвячували їй лише один тиждень щороку (в серпні). Наприкінці нашого робочого тижня над книжкою щороку ми публікували чернетку (помилки та все інше), щоб отримати відповідь від читачів. Тому ми накопичили багато важливих відгуків, виправлень і прохань від читачів, особливо Дж. С Марковіча, який дуже ретельно вичитував кінцеву версію . Ми їм безмежно вдячні.
1. Див., наприклад, The Music of the Primes by Marcus du Sautoy (2003) і Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics by John Derbyshire (2003).
2. Див. с. 222 The Riemann hypothesis: the greatest unsolved problem in mathematics by Karl Sabbagh (2002).
3. Технічно, узагальнену версію Ріманової гіпотези (див. розділ 38 нижче).
4. Ми створили фігури за допомогою безплатного програмного забезпечення SageMath (див. http://www.sagemath.org). Доступний повний виходовий код, який можна використовувати, щоб відтворити кожну діаграму цієї книжки (див. http://wstein.org/rh). Заповзятливіші читачі можуть спробувати поекспериментувати з параметрами для діапазонів показаних даних, щоб дістати ще яскравіше уявлення про те, як «поводяться» числа. Ми сподіваємося, що читачі надихнуться проводити числові експерименти, які стають дедалі легшими в міру розвитку математичного програмного забезпечення.
5. Зокрема, Dan Asimov, Bret Benesh, Keren Binyaminov, Harald Bogeholz, Louis-Philippe Chiasson, Keith Conrad, Karl-Dieter Crisinan, Nicola Dunn, Thomas Egense, Bill Gosper, Andrew Granville, Shaun Griffith, Michael J. Gruber, Robert Harron, William R. Hearst III, David Jao, Fredrik Johansson, Jim Markovitch, David Mumford, James Propp, Andrew Solomon, Dennis Stein, and Chris Swenson.