bat

[zoria]

not bat an eye і бровою не повести; навіть оком не повести; і оком не моргнути

а) зовсім не звернути уваги; ніяк не реагувати; і в вус не дути;
Mary didn't even bat an eye when I told her I was moving out. - Мері навіть оком не моргнула, коли я сказав, що виїжджаю.

б) не вагатися; не роздумувати
I heard he killed a man without batting an eye. - Я чув, що він убив людину й оком не повів.

[zoria]

Також в словниках є лише bat one's eyelids і лише в прямому значенні, тож +

bat one’s eyes/eyelids/eyelashes (at sb)
1) лупати очима; кліпати очима
2) стріляти очима; бісики пускати; фліртувати

[sikemo]

між очима і повіками є і буде ріжниця, тож…

[zoria]

Британці надають перевагу віям, американці очам та повікам у питаннях кліпання та стріляння очима, але все це варіанти єдиної ідіоми, всі з абсолютно однаковим значенням.