Джим Ал-Халілі. Парадокс: дев'ять найбільших загадок фізики [в роботі]
Додано: Сер листопада 10, 2021 10:30 am
Jim Al-Khalili. Paradox: The Nine Greatest Enigmas in Physics. - Broadway Books, 2012. - 256 p.
Оригінал тут.
Зміст
Обкладинка
Титульна сторінка
Авторські права
Присвята
Передмова
1. Парадокс телевікторини
2. Ахіллес і черепаха
3. Парадокс Ольберса
4. Демон Максвелла
5. Парадокс комори та жердини
6. Парадокс близнят
7. Парадокс убитого дідуся
8. Парадокс демона Лапласа
9. Парадокс кота Шредінґера
10. Парадокс Фермі
11. Решта питань
Подяки
Про автора
Передмова
Парадокси трапляються щонайрізноманітніші. Деякі – просто логічні парадокси, що їх багато не подосліджуєш, а інші – то вершечки айсбергів цілих галузей науки. Немало з них можна спростувати, якщо уважно розглянути їхні основні положення, з яких одне чи більше трапляються помилкові. Власне кажучи, ці парадокси не слід взагалі вважати такими, бо щойно проблему розв’язано, парадокс більше не парадокс.
Справжній парадокс – це твердження, що веде до самосуперечного міркування чи «замкнутого кола» або описує логічно неможливий випадок. Проте насправді існує тенденція надавати слову «парадокс» ширшого значення, щоб воно охоплювало те, що я волію називати «парадоксом сприйняття». Такі загадки мають вихід. Парадокс може містити підступ чи хитрість, щоб навмисне збити з пантелику слухача чи читача. Варто лише викрити ці штуки, і зникне суперечність або безглуздя. Існує ще один вид парадоксів сприйняття. Там твердження й висновки, хоч і здаються нісенітницею, чи щонайменше суперечать здоровому глуздові, після глибоких роздумів набувають сенсу. Навіть якщо підсумок усе ще дивує.
А ще є фізичні парадокси. Усіх їх (ну, майже всіх) можна розв’язати, якщо знати дещицю основних наукових засад. Саме на такі парадокси я зверну увагу в цій книжці.
Отже, розгляньмо дійсно логічний парадокс, просто щоб було зрозуміло, про що я не говоритиму. Це твердження, що побудоване так, що з замкнутого кола навсправжки годі виплутатися.
Наприклад, таке формулювання: «Це твердження – брехня». Думаю, самі слова вам видаються досить простими після першого читання. Проте вам стане очевидний логічний парадокс, коли вдумаєтеся в їхнє значення й уважно розглянете внутрішній зміст. Три простих слова можуть стати вашим головним болем? Якщо так, то я б сказав, що він забавний, можливо, він і сам парадокс. Так чи інак, ви відчуватимете себе по-садистськи зобов'язаним передати його друзям і близьким.
Розумієте, «це твердження – брехня» каже вам, що проголошуючи себе неправдою, воно саме має брехати, а тому вже не обманює, а говорить правду, тобто, по суті, бреше, а значить воно не брехня. Такий цикл нескінченний.
Таких парадоксів сила-силенна. Ця книжка не про них.
Натомість тут мова про особисто мої улюблені плутанки й загадки науки, що їх багато хто називає парадоксами. Якщо ж розглянути їх уважно і дивитися під правильним кутом, то виявиться, що вони ніякі не парадокси. Дарма що початкове враження про них сильно суперечить здоровому глуздові, завжди виходить так, що в них є якийсь тонкий фізичний недогляд. Взявши його до уваги, ми бачимо, як він вибиває наріжний камінь парадокса, і вся конструкція валиться додолу. Багато з них продовжують величати парадоксами навіть після спростування. Певною мірою на це впливає знаменитість, набута після їх формулювання (перед тим, як ми визначили, в чому ми помилялися). А почасти тому, що так подані, вони корисні інструменти в арсеналі науковців і допомагають їм осмислювати деякі складні поняття. І, звісно, через те що досліджувати їх – величезне задоволення.
Ми побачимо багато загадок, що дійсно спочатку будуть видаватися справжніми парадоксами, а не просто сприйманими за такі. Ось у чому суть. Візьмімо простий варіант усім відомого парадокса подорожі в часі: що як за допомогою машини часу ви повернетеся в минуле і вб’єте себе молодшого? Що станеться з убивцею? Чи ви враз перестанете існувати, бо не дали молодшому собі вирости? Якщо так, і ви ніколи не дійшли віку, в якому стали душогубним мандрівником у часі, то хто вбив вас молодшого? Ваша старша версія має незаперечне алібі: ви ніколи й не існували! Тож коли ви не дожили, щоб повернутись у часі і вбити себе молодшого, тоді ви не вб’єте себе молодшого й живете далі, щоб, ставши старшим, вернутися в минуле і вбити себе. Отже, ви це робите і не виживаєте, і так далі. Видається, що це зразковий логічний парадокс, проте фізики не відкидають можливості мандрівок у часі (звісно, теоретично). То як можна виплутатися з цього замкнутого кола парадокса? Я обговорюватиму власне цей парадокс у 7 розділі.
Не для всіх речей, сприйнятих як парадокси потрібен науковий досвід, щоб у них розібратися. Щоб показати це, я присвятив перший розділ кільком таким позірним парадоксам, що їх можна розв’язати, просто логічно помисливши. Що я маю на увазі? Ось, наприклад, простий статистичний парадокс, де цілком можливо зробити неправильні висновки з базового взаємозв’язку: відомо, що міста з більшою кількістю церков зазвичай мають вищі показники злочинності. Якщо не вважати церкву розплідником беззаконня і злочинності – що видається вельми малоймовірним, хоч би які у вас були погляди на релігію та мораль – то це дещо парадоксально. Проте розв’язок простий. Як значніша кількість церков, так і вищий загальний рівень злочинності – природні наслідки більшої чисельності населення. Лише тому, що з А випливає Б та з А випливає В, не означає, що з Б випливає В, чи навпаки.
А ось ще один приклад нескладної головокрутки, що звучить спочатку парадоксально, але після пояснення ця парадоксальність зникає. Кілька років тому її переказав мені один шотландський професор фізики, мій колега та близький друг. Він стверджує: «Кожен шотландець, що їде на південь в Англію, підвищує середній айк’ю обох країн». Суть ось у чому: через те що всі шотландці вважають себе розумнішими за всіх англійців, то будь-хто з них підвищить середній айк’ю Англії, якщо житиме там. Однак покинути Шотландію – це таке безглуздя, що лише дурніші з них так вчинять, відповідно, трохи підвищуючи середній рівень розумового розвитку тих, що залишаються. Як бачите, те, що на перший погляд звучить як парадоксальна заява, проста логіка розв’язує прекрасно – навіть якщо, певна річ, непереконливо для англійців.
Трохи розважившись у 1 розділі кількома добре відомими парадоксами, що для їх розв’язання не треба ніякої науки, ми продовжимо дев’ятьма вибраними парадоксами фізики. Я розкрию кожен і поясню, як він розвіюється, виявляючи основну логіку, що показує його оманливість, або ж що проблеми взагалі нема. Всі вони можуть розважити, бо містять поживу для мозку і тому, що вихід є. Все, що потрібно – це знати, де шукати, де знайти ту Ахіллесову п’яту, що її можна виявити старанним намацуванням і кращим розумінням науки, аж доки парадокс перестає бути парадоксом.
Деякі назви цих парадоксів будуть знайомі. Візьмемо для прикладу парадокс Шредінґерового кота, де нещасний представник родини котячих закритий у запечатаній коробці і, поки не відкрити коробку, він водночас живий і мертвий. Мабуть, не такий відомий, хоч дехто про нього знає, – демон Максвелла. Це міфічна істота, що керує іншою герметичною коробкою і яка, скидається, здатна порушити найсвятішу заповідь науки, другий закон термодинаміки, змушуючи вміст коробки не змішуватися і зробитися упорядкованим. Щоб зрозуміти такі парадокси і їх розв’язання, необхідно осягнути деяке наукове підґрунтя. Так я постановив донести ці наукові поняття, з якомога меншою кількістю зайвих дрібниць, щоб ви могли оцінити і насолодитися прихованим змістом без поглиблених знань числення, термодинаміки чи квантової механіки.
Кілька інших парадоксів для цієї книжки я взяв з курсу теорії відносності для бакалаврів, що його я викладав останні чотирнадцять років. Наприклад, Айнштайнові ідеї щодо простору й часу дають плідну основу для логічних задач, як-от парадокс комори та жердини, парадокс близнят і парадокс дідуся. Інших ж, наприклад з котом чи демоном, як дехто вважає, ще належить задовільно розвіяти.
Я не зосереджувався на найважливіших нерозв’язаних питаннях, коли вибирав свої найбільші загадки фізики, як-от, що таке темна матерія й темна енергія, які разом становлять 95 % Всесвіту, чи що було перед Великим вибухом (якщо взагалі щось було). Це неймовірно складні й глибокі питання, що на них науці ще належить знайти відповіді. Якщо пришвидчувачі частинок, як Великий гадронний колайдер у Женеві, продовжуватимуть робити нові й захопливі відкриття, то цілком можливо, що в недалекому майбутньому знайдеться відповідь на деякі такі запитання, як природа темної матерії – цієї загадкової речовини, що становить майже всю масу галактик. Однак інакші загадки, наприклад достеменний опис часу до Великого вибуху, можливо, назавжди залишаться без відповіді.
Насправді я націлився зробити розсудливий і широкий вибір. Усі парадокси в дальших розділах стосуються глибоких запитань про природу часу й простору, про властивості Всесвіту в найбільшому й найменшому масштабі. Певні припущення звучать дуже дивно спочатку, але ретельне вивчення ідей, що лежать в основі теорії, розставляють все на свої місця. Нумо погляньмо, чи зможемо їм всім покласти край і водночас дати тобі, дорогий читачу, розвагу, що розширює кругозір.
Розділ 1. ПАРАДОКС З ТЕЛЕВІКТОРИНИ
Прості ймовірності, здатні перелопатити ваші мізки
Перед тим як зосередитися на фізиці, я вирішив задля розминки зробити легенький вступ за допомогою кількох неважких, захопливих, але дратівливих головокруток. Я б сказав, що це, як і частина інших у цій книжці, аж ніяк не реальні парадокси, їх просто треба уважно розглянути і ретельно проаналізувати. Але на відміну від розглянутих пізніше, що потребують розуміння основ фізики, парадокси в цьому розділі – це набір логічних задачок, що їх можна розв’язати без жодного наукового підґрунтя. Останній, так званий парадокс Монті Голла – найсоковитіший з усіх. Він так майстерно збиває з пантелику, що я докладу максимум зусиль, щоб детально пояснити й проаналізувати його декількома різними способами. Тоді ви зможете вибрати розв’язок, що вам підходить найбільше.
Усі парадокси в цьому розділі підпадають під одну з двох категорій з незвичними назвами: «достовірні» й «оманні». Достовірний парадокс приводить до висновку, суперечного здоровому глуздові, бо зі здоровим глуздом він не має нічого спільного. Та уважний і логічний (хоч часто підозріло простий) його розгляд доводить правильність такого умовиводу. Фактично, насолоду в цих парадоксах дають спроби знайти найнепробивніше доведення його правдивості – попри постійне неприємне відчуття, що десь та й має бути якась каверза. До них належать парадокси днів народження та Монті Голла.
З другого боку, оманний парадокс починається навдивовижу розумно, а закінчується – ну просто абсурдним результатом. Проте в цьому разі позірно безглуздий висновок є насправді хибний. Чому? Через майже непомітно оманливий чи помилковий етап в доведенні.
Приклади оманних парадоксів – математичні виверти, що кількома алґебричними діями «доводять» щось на кшталт 2 = 1. Не вірте ніякій логіці чи мудруванню, що в цьому переконують. Я не зупинятимуся на жодному такому парадоксі, в основному через те, що не надто хочу надокучати вам алґеброю – якщо раптом вона вам не так до душі, як мені. Досить сказати таке: розрахунки, що ведуть до «розв’язку», часто-густо містять етап ділення на нуль, чого будь-який математик з почуттям власної гідності уникає як вогню. Натомість я зосереджуся на кількох проблемах, що їх ви можете гідно оцінити з абсолютним мінімумом математичних знань. Почнемо з двох оманних парадоксів: про зниклий долар і Бертранів парадокс з коробками.
ЗАГАДКА ЗНИКЛОГО ДОЛАРА
Цю чудову загадку я використав кілька років тому, бувши гостем на телевікторині «Ігри розуму» (але я, звісно, не стверджую, що придумав її). Це відбувалося так: щотижня господар шоу, математик Маркус дю Со́той, описував загадки, а гості змагалися одне з одним, розв’язуючи їх. На додачу, кожен мав озброїтися своїми улюбленими головокрутками, щоб спробувати обдурити іншу команду.
Ось, якраз, загадка.
Три мандрівники заселяються в готель на ніч. Молодий портьє на рецепції бере з них $ 30 за номер з трьома ліжками. Вони погоджуються розділити ціну порівну, і кожен заплатив по $ 10. Далі вони беруть ключ і йдуть заселятися. За кілька хвилин портьє усвідомлює, що зробив помилку. Готель виставив спеціальну пропозицію на цілий тиждень, і він мав би взяти з них лише $ 25 за кімнату. Щоб не дістати на горіхи від свого менеджера, портьє швидко бере п’ять доларів з каси й поспішає загладити провину. По дорозі він усвідомлює, що п’ять доларів порівну між трьома не розділити, тому вирішує кожному з них дати по долару, а два лишити собі. «Так добре буде всім», – думає він собі. Якраз тут постає наша проблема: кожен з трьох друзів заплатив по $ 9. Виходить, готель отримав $ 27, а портьє – решту $ 2. Разом $ 29. А що ж із тим останнім доларом з початкових $ 30?
Можливо, ви побачите розв’язок зразу. Правда, зі мною так не сталося, коли я вперше почув цю загадку. Тож я дам вам трохи подумати, перш ніж ви продовжите читати.
Вдалося? Як бачите, ця загадка тільки звучить парадоксально, бо її так складено. Помилковий хід думок – додавати $ 27 до $ 2, що їх взяв портьє. Для цього немає жодної підстави, адже більше нема загальної суми $ 30, що її треба було б брати до уваги. Гроші портьє, $ 2, слід відняти від $ 27, сплачених друзями. Так залишається $ 25, що лежать у касі.
БЕРТРАНІВ ПАРАДОКС З КОРОБКАМИ
Мій другий приклад оманного парадокса приписують французькому математикові XIX ст. Жозефові Бертрану – це не найвідоміший його парадокс, що має суто математичне спрямування.
Є три коробки, і в кожній з них по дві монети. Кожна коробка має переділку, що розділяє її на дві частини, а в кожній з них – по монеті. Будь-яку половину можна відкрити окремо й побачити всередині монету (тобто другу монету при цьому не видно). В одній коробці дві золоті монети (назвемо її ЗЗ), в другій є дві срібні (називатиметься СС), а в третій (ЗС) – дві різні. Яка ймовірність вибрати ту коробку, де є золота і срібна монети? Очевидно відповідь проста: один до трьох. Загадка полягає не в цьому.
Тепер виберіть яку-небудь коробку. Що коли, піднявши одну з на́кривок, ви всередині побачите золоту монету? Які тепер шанси, що саме ця коробка ЗС? Ну, через те що знайшовши золоту монету, ви впевнені, що це не може бути коробка СС, то ви таку можливість відкидаєте, і залишаються два варіанти: або це коробка ЗЗ, або ж ЗС. Звідси ймовірність, що це ЗС, буде один до двох, так?
Якщо б ви відкрили накривку й натомість знайшли срібну монету, то ви могли б тепер відкинути варіант ЗЗ. Так у вас залишаються СС і ЗС, тобто ймовірність того, що вибрана коробка є ЗС, усе ще один до двох.
Через те що в будь-якому разі під накривкою вибраної вами коробки ви знайдете або золоту, або срібну монету, та через те що загалом є по три монети кожного виду (що дає рівні шанси знайти кожен вид) – існує ймовірність один до двох, що хоч би яку монету ви знайшли, вона буде з коробки ЗС. Отже, коли ви глянете всередину половинки вибраної вами коробки, загальна можливість того, що це ЗС, має змінитися з один до трьох (як було на початку) на один до двох. Але як те, що ви бачите одну з монет, так змінює ймовірність? Ви робите довільний вибір коробки і ще перед підійманням накривки знаєте: шанс, що це ЗС, – один до трьох. Тож як, не отримавши ніякої інформації від того, що ви побачили всередині одну з монет – адже ви повністю впевнені, що так чи інакше знайдете чи то золоту, чи то срібну монету – ймовірність змінюється з одного до трьох на один до двох? Де ж наша помилка?
А відповідь полягає в тому, що чи бачите ви монету в коробці, чи не бачите, ймовірність завжди буде один до трьох, і ніколи – один до двох. Розглянемо випадок, коли ви виявили в коробці золоту монету. Загалом золотих монет є три. Назвемо їх З-1, З-2 та З-3. Нехай коробка ЗЗ містить монети З-1 і З-2, а З-3 буде в коробці ЗС. Якщо відкриєте якусь коробку і виявите в ній золоту монету, тоді шанс, що ви вибрали коробку ЗЗ, – два до трьох. Це через те, що ви дивитеся на монету З-1 або З-2. Шанс, що ця монета – З-3, а отже що ваш вибір впав на коробку ЗС – лиш один до трьох.
ПАРАДОКС ДНІВ НАРОДЖЕННЯ
Це один з найвідоміших достовірних парадоксів. У ньому нема ніякої омани, як у попередніх двох прикладах, нема також помилки в міркуванні чи жонглювання в розповіді. Чи розв’язок вас переконає, чи ні – маю наголосити, що він цілком правильний і послідовний (як логічно, так і математично). Таке відчуття фрустрації робить парадокс ще забавнішим.
Ось як він звучить.
Скільки людей мало б бути в кімнаті, щоб шанс, що будь-які двоє з них народилися в один день, був вищий ніж п’ятдесят на п’ятдесят – іншими словами, щоб будь-які дві особи імовірніше мали спільний день народження, ніж не мали?
Проявімо спершу трохи нехитрого здорового глузду – що, певна річ, виявиться неправильним. Через те що в році 365 днів, уявіть лекційну залу з 365 місцями. У неї заходить сотня студентів і сідає на довільні місця. Напевно, деякі друзі захочуть сісти поруч, дехто вибере усамітнення на задньому ряді, щоб непомітно подрімати, а старанніші віддадуть перевагу місцям поближче. Проте їхнє розташування ролі не грає. Очевидно те, що понад дві третіх усіх місць залишаться порожніми. Звичайно, ніхто не сяде на вже зайняте місце, але ми також вважатимемо, що зважаючи на великий вибір ймовірність, що двоє студентів вибрали б один і той же стілець, досить мала.
Якщо використовувати такий же тверезий підхід до днів народжень, то через рівну кількість як можливих днів, так і стільців у залі можна припустити, що двоє людей мають такі ж малі шанси народитися в один день. Звісно, хоч таке й може трапитися, ми схильні вважати, що це менш імовірно, ніж навпаки.
Безперечно, коли маємо 366 людей, то принаймні двоє поділятимуть дату народження – такий випадок пояснення не потребує. Цікавіше стає, коли зменшувати число людей.
По суті, потрібно тільки 57 осіб у кімнаті, для того щоб імовірність співпадіння дати народження будь-кого з двох була – хоч як неймовірно це б звучало – понад 99%. Себто, треба всього-навсього 57 людей, щоб бути майже впевненим, що двоє з них народилися в один день! Це саме по собі звучить неправдоподібно. Однак, якщо повернутися до власне відповіді на загадку, то найменше число, що забезпечує «щоб будь-які дві особи імовірніше мали спільний день народження, ніж не мали» (тобто, щоб імовірність була більша за 50 %), набагато менше за 57. Насправді це всього 23 людини!
Для більшості такий результат буде спершу приголомшливий, і навіть потім, коли переконаються у його правдивості, він непокоїтиме. А все через те, що в нього інтуїтивно важко повірити. Звернімося зараз до математики, яку я намагатимуся зробити якомога зрозумілішою.
Для початку, не будемо ускладнювати собі життя: нехай рік не буде високосний і всі дні будуть однаково підхожі для днів народження. Також обійдемося без близнюків у кімнаті.
Найпоширеніша помилка – думати, що можна прирівняти кількість людей у кімнаті до кількості днів у році. Так складається враження, що раз 23 особи потенційно мають 365 варіантів вибору днів народження, то їх неспівпадіння набагато ймовірніше, ніж протилежний результат. Але такий підхід до проблеми хибний. Розумієте, для того щоб мати спільний день народження, потрібні пари людей, а не окремі особи. Тому ми повинні брати до уваги наявну кількість різних пар. Почнемо з найлегшого: для лише трьох людей існує три пари (А–Б, А–В і Б–В). Проте чотири людини можуть сформувати шість пар (А–Б, А–В, А–Г, Б–В, Б–Г, В–Г). Коли взяти 23 особи, виявиться, що є 253 різні пари. Бачите, на скільки легше віриться, що з 253 пар людей котрась матиме той самий день народження з 365 можливих.
Щоб точно вирахувати ймовірність, варто почати з одної пари, а далі додавати людей і спостерігати за зміною ймовірності збігу дня народження. Для цього треба визначати не ймовірність збігу, а скорше ймовірність, що кожна нова особа має зовсім інший день народження, ніж усі попередні. Отже, імовірність, що день народження першої і другої людини відрізняються, дорівнює 364 ÷ 365, бо діапазон вибору другої особи зменшився на один день. Тоді ймовірність, що третя людина не матиме спільного дня народження з першою чи другою, рівна 363 ÷ 365. Правда, не забуваймо, що водночас перші двоє й далі мають різнитися між собою днем народження (число 364 ÷ 365). За теорією ймовірності, коли треба вирахувати можливість одночасного настання двох різних подій, маємо перемножити їх імовірності. Так імовірність, що день народження другої особи різниться від першої, та третьої – від перших двох, дорівнює 364/365 х 363/365 = 0,9918. Насамкінець, якщо це ймовірність, що всі троє мають різний день народження, то ймовірність, що якісь двоє з них таки мають спільний день народження, рівна 1 – 0,9918 = 0,0082. Отже, досить очікуваний висновок: для лише трьох людей імовірність спільного дня народження – мізерна.
Так ми продовжуємо по одному додавати людей і подовжувати ланцюжок перемножених дробів, що визначає ймовірність кожної особи мати унікальний день народження. Працюємо в такому дусі, аж доки наш добуток опуститься трохи нижче за 50 %. Це, звісно ж, той момент, коли ймовірність, що хоч котрась пара розділяє день народження, зростає вище за 50 %. Виявляється, треба 22 дроби, а отже 23 людини:
Ось так виходить, що ймовірність будь-яких двох людей із 23, що є в кімнаті, мати спільний день народження дорівнює:
1 – 0,4927 = 0,5073 = 50,73 %
Для цієї загадки знадобилася теорія ймовірностей. Натомість наступна буде певною мірою простіша – на мою думку, це й робить її ще неймовірнішою. Це мій улюблений достовірний парадокс, бо його легко описати, просто пояснити, але збагнути суть – дуже важко.
ПАРАДОКС МОНТІ ГОЛЛА
Ця загадка, що походить від Бертранового парадокса з коробками, показує силу того, що математики називають «умовною ймовірністю». Вона базується на старішій головокрутці за назвою «проблема трьох в’язнів», яку описав американський математик Мартін Ґарднер 1959 року в своїй рубриці «Математичні ігри» в журналі «Саєнтифик Американ». Проте, на мою думку, парадокс Монті Голла – найліпша і набагато зрозуміліша адаптація. Цей парадокс має таку назву, бо вперше його зачитали як частину сценарію довготривалої американської телевікторини «Укладімо угоду», а вів її харизматичний канадець Монті Голл, що ставши телезіркою, змінив написання свого імені з Monte на Monty.
Стів Селвін – американський статистик і професор Каліфорнійського університету в Берклі. Він – відомий педагог; був нагороджений за викладання та наставництво. Як викладач Селвін застосував свої фахові математичні знання в медицині, а саме в біостатистиці. Однак увесь світ його знає не за ці значні успіхи, а через його потішну статтю про парадокс Монті Голла. Її надрукували у виданні наукового часопису «Американ Статистишн» за лютий 1975 року, а займає вона лише півсторінки.
Селвін точно не очікував, що його коротка стаття матиме аж такий величезний вплив, бо, врешті, «Американ Статистишн» – спеціалізований часопис, його читали, як правило, викладачі й науковці. І справді: пройшло аж п’ятнадцять років після публікації цієї проблеми та її розв’язання, доки вона дійшла до свідомісті суспільства. У вересні 1990 року читач журналу «Перейд» (щотижневика, що міг похвалитися десятимільйонним накладом у США) надіслав загадку в рубрику «Спитай Мерилін». У цій рубриці Мерилін вос Сава́нт відповідає на запитання читачів і розв’язує їхні математичні загадки, головокрутки й логічні задачі. Вос Савант уперше піднялася на вершину слави в середині 1980-х, коли увійшла в «Світові рекорди Ґінеса» за найвищий айк’ю у світі (185). Власне цей лист у рубрику «Спитай Мерилін» написав Крейґ Ф. Вітакер, де виклав вос Савант переглянуту версію Селвінового парадокса Монті Голла. Що сталося далі – просто дивовижно.
Поява цієї задачі у «Перейд» та відповідь Мерилін вос Савант прикували до неї увагу спочатку населення країни, а потім і цілого світу. Попри те, що її відповідь цілком суперечить здоровому глуздові, вона абсолютно правильна, як і первинний розв’язок Селвіна. Однак вона породила шквал листів до журналу від обурених математиків, що палко оголошували її хибною. Ось витяги з трьох таких листів:
«Я як професійний математик вкрай занепокоєний браком математичних знань у народних мас. Будьте ласкаві, зробіть корисну річ – зізнайтеся в помилці й будьте надалі обережніша.
Ви напартачили, страшенно напартачили! Здається, у вас труднощі зі сприйняттям основоположних принципів, що тут працюють… У цій країні вже й так достатньо математичного невігластва, і нам не треба, щоб особа з найвищим у світі айк’ю поширювала його ще більше. Ганьба!
Дозвольте запропонувати, перш ніж ви знову намагатиметеся відповісти на схоже запитання, – роздобудьте стандартний підручних з теорії ймовірності і покликайтеся на нього.
Я шокований, що ви все ще не бачите своєї помилки, навіть після того, як вас виправляли щонайменше три математики.
Може, жінки розглядають математичні задачі не так, як чоловіки».
Так-так, досить багато розлючених людей. А скільки потім осоромлених! Вос Савант ще раз звернулася до цієї проблеми в пізнішому виданні й продовжувала наполягати на своєму, чітко й беззаперечно аргументуючи, як і слід було очікувати від когось із показником розумового розвитку 185. Зрештою ця історія опинилася на перших шпальтах «Нью-Йорк таймз» – а втім суперечки й далі вирували, що ви можете перевірити в інтернеті, якщо матимете велике бажання.
Чи вам уже здається: цей парадокс так важко докумекати, що треба бути справжнім генієм, щоб осягнути його? Проте це не так. Насправді багато є простих шляхів його пояснення, а інтернет просто кишить статтями й блоґами (навіть ютюбівськими відео), що саме це й роблять.
Хай там як, досить докучання та історичної блуканини. Вже все, зараз говоритиму лише про саму проблему. Справедливо буде почати цитатою з оригінальної версії Стіва Селвіна 1975 року в «Американ Статистишн».
ЗАДАЧА З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ
Це «Укладімо угоду» – відоме телешоу за участю Монті Голла.
МОНТІ ГОЛЛ. В одній з трьох коробок з надписами А, Б і В лежать ключі від нового «Лінколн континентал», а інші дві – порожні. Виберете коробку з ключами – машина ваша.
УЧАСНИК ШОУ. Ох!
МОНТІ ГОЛЛ. Вибирайте коробку.
УЧАСНИК ШОУ. Я візьму коробку Б.
МОНТІ ГОЛЛ. Отож коробки А і В стоять на столі, а ось коробка Б (учасник міцно її обхоплює). Можливо, саме в цій коробці ключі! Я дам вам $ 100 за неї.
УЧАСНИК ШОУ. Ні, спасибі.
МОНТІ ГОЛЛ. Як щодо $ 200?
УЧАСНИК ШОУ. Ні!
АУДИТОРІЯ. Ні!!
МОНТІ ГОЛЛ. Пам’ятайте – ймовірність, що у вашій коробці ключі до машини – 1 до 3, а що ваша коробка порожня – 2 до 3. Дам вам $500.
АУДИТОРІЯ: Ні!
УЧАСНИК ШОУ. Ні, я певно залишу ящик собі.
МОНТІ ГОЛЛ: Зроблю вам послугу й відкрию одну з коробок, що залишилися (відкриває коробку А). Вона порожня! (Аудиторія аплодує). Тепер або коробка Б, або В містить ключі від машини. Через те що лишилися дві коробки, тепер імовірність, що ключі у вашій коробці, – 1 до 2. Даю $ 1000 готівкою за неї.
СТОП!!!!
А Монті правий? Учасник знає, що принаймні одна з коробок на столі порожня. Тепер він знає, що це коробка А. Та чи таке знання змінює ймовірність того, що він має коробку з ключами, із 1 до 3 на 1 до 2? Одна з коробок на столі точно порожня. Чи допоміг Монті учасникові, показавши, котра з двох коробок порожня? Яка ймовірність виграти машину – 1 до 2 чи 1 до 3?
УЧАСНИК. Я поміняю свою коробку Б на коробку В, що на столі.
МОНТІ ГОЛЛ. Оце дивина!!
ПІДКАЗКА. Учасник знає, що робить!
Стів Селвін,
Школа охорони здоров’я,
Університет Каліфорнії,
Берклі, CA 94720
У вищенаведеній статті Селвін оминає одну вирішальну частину проблеми (її актуальність стане зрозумілою незабаром). Він не висвітлює, що Монті Голл знає, в котрій коробці ключі – а отже завжди може вибрати порожню. Щоб бути справедливим, він усе ж зазначає, що Голл каже: «Зроблю вам послугу й відкрию одну з коробок, що залишилися на столі». Я сприймаю це так: Монті Голл чудово знає, що він відкриє порожню коробку – але я ж бо знаю цей парадокс. Вам може видаватися, що це питання тривіальне – зрештою, як це взагалі може вплинути на шанси учасника? – та ми побачимо, що все рішення на цьому етапі залежить від того, що знає Монті Голл.
Селвінові довелося це роз’яснити у виданні «Американ Статистишн» за серпень 1975 року, бо він опинився в такій самій ситуації, як Мерилін вос Савант роками згодом: його критикували інші математики, що не могли прийняти його розв’язку. Він написав:
Я отримав багато листів з висловлюваннями про мій «Лист до редактора» в «Американ Статистишн» за лютий 1975 року під назвою «Задача з теорії ймовірності». Кілька кореспондентів стверджують, що моя відповідь хибна. Основа для мого розв’язку – Монті Голл знає, у котрому ящику лежать ключі.
Для того щоб ми могли детальніше розглянути цю проблему, подаю трохи змінену, коротшу – відомішу – інтерпретацію, що з’явилася в «Перейд». Тут три коробки замінені трьома дверима:
Уявіть, що ви на телевікторині й маєте вибір з трьох дверей – А, Б, В. Позаду однієї є машина, позаду інших – кози. Ви обираєте, скажімо, двері А, а господар програми, знаючи, що ховається за дверима, відчиняє інші двері (нехай буде Б), щоб показати козу. Він говорить вам: «Хочете змінити вибір на двері В?». Чи то на вашу користь буде поміняти двері?
Безперечно, припускається, що учасник волів би побачити машину, а не козу. Це не уточнюється, але ми вважаємо, що маємо справу не з велосипедистом-козолюбом.
Ось як відповіла Мерилін вос Савант (як і роками раніше Стів Селвін): учасникові завжди слід поміняти свій перший вибір, бо так він подвоїть свої шанси на перемогу з 1 до 3 на 2 до 3. Але як таке можливо? Це головне питання парадокса Монті Голла.
Само собою зрозуміло, більшість учасників шоу, коли перед ними постане такий вибір, задумаються: чи є тут якась каверза? Оскільки шанс, що приз є за одними з цих дверей, мав би бути рівний, то чому б не довіритися своєму першому передчуттю й триматися дверей А? З погляду учасника, машина тепер неодмінно чи за дверима А, чи за дверима В з однаковою ймовірністю, і не повинно бути зовсім ніякої різниці, якщо він стоятиме на своєму чи змінить вибір.
Коли Монті Голл, знаючи, де машина, відчинить двері Б, за якими стоятиме коза, то у вас буде шанс виграти авто 1 до 3, якщо дотримуватиметеся початкового вибору (А), проти шансу 2 до 3, якщо поміняєте вибір на двері В. – рис. див. оригінал
Виглядає воно все досить підозріло і заплутано, так що бачите, чому навіть професійні математики збивалися з пантелику. Ось вам декілька доступних способів пояснення цього парадокса.
Перевірка ймовірностей
Це найточніший, найпослідовніший і найнеспростовніший спосіб доведення, що зміною вибору можна подвоїти шанси на виграш. Пам’ятайте, що перший ваш вибір – двері А. Монті Голл знає, де машина, і відчиняє одні з двох дверей, що залишилися. Виявляється, що там коза. Монті дає вам можливість змінити вибір на В.
Розглянемо спершу випадок, коли ви тримаєтеся свого вибору (двері А).
Машина може бути за будь-якими дверима з однаковою ймовірністю:
- Якщо вона за дверима А, то ролі не грає, котрі саме двері відчинять (Б чи В): ви ВИГРАЛИ.
- Якщо вона за дверима Б, то відчиняють двері В. Коли залишитеся з дверима А: ви ПРОГРАЛИ.
- Якщо вона за дверима В, то відчиняють двері Б. Коли залишитеся з дверима А: ви ПРОГРАЛИ.
Як бачите, тримаючись свого вибору, ви маєте шанс 1 до 3 виграти машину.
А зараз розглянемо варіант зміни вибору.
Знову ж таки, машина може бути за будь-якими дверима з однаковою ймовірністю:
- Якщо вона за дверима А, то ролі не грає, котрі саме двері відчинять (Б чи В): ви ПРОГРАЛИ.
- Якщо вона за дверима Б, то відчиняють двері В. Зміною свого вибору з А на Б ви ВИГРАЛИ.
- Якщо вона за дверима В, то відчиняють двері Б. Зміною свого вибору з А на В ви ВИГРАЛИ.
Отже, ваш шанс виграти машину – 2 до 3 (це якщо ви зміните свій вибір).
Доведення без математики – практичний підхід
Це не зовсім доведення у строгому значенні цього слова, а швидше нематематичний підхід, що дозволяє легше сприймати оригінальний розв’язок.
Уявімо, що дверей не троє, а тисяча: за одними захована машина, а інші 999 приховують кіз. Ви вибираєте одні на власний розсуд – хай це будуть двері 777. Звичайно, у вас можуть бути різні причини вибрати конкретні двері, але факт залишається фактом: вибрати двері, за якими машина, ви маєте шанс 1 до 1000 – це якщо без надприродного талану. Що буде, коли Монті Голл, знаючи, де саме машина, тепер відчинятиме всі інші двері, за котрими ховаються кози – окрім дверей 238. Тепер ви бачите 998 витріщених на вас кіз і двоє зачинених дверей (номер 777, що ви їх обрали, і останні зачинені, номер 238). Волієте тепер триматися початкового вибору, чи змінити його?
Хіба не здаватиметься вам щось підозріле в тому, що господар програми залишив саме ці двері – можливо, він знає щось, до чого ви не мали доступу, коли зробили свій довільний вибір? Згадайте, що він знає, де машина. Він бачить, що ви навмання обираєте двері, які, скоріш за все, приховують козу – ймовірність цього зашкалює. Далі він відчиняє інші 998 дверей, що за ними сидять кози. Ви не відчуватимете примусу змінити свій вибір на ці останні двері? Звісно, що відчуватимете, і будете праві: це майже точно, що машина за дверима 238, які Монті свідомо залишив.
Коли залучити до цього трохи математики, то виходить так: ваш початковий вибір поділяє двері на дві групи. Група 1 містить лише вибрані вами двері, і ймовірність побачити за ними машину – 1 до 3 (або 1 до 1000 у розширеній версії). Усі решта двері містяться в групі 2, тому ймовірність, що виграшні двері десь серед них, – 2 до 3 (або 999 до 1000). Відчинивши одні (чи 998) двері з другої групи, про яких відомо, що за ними ховаються кози, а отже мають нульовий шанс ховати за собою машину – ми залишаємо в цій групі тільки одні невідчинені двері. І все ж, загальна ймовірність, що за цими останніми дверима є машина, залишається 2 до 3 (або 999 до 1000). Це тому що вони успадкували ймовірність, що машина може бути будь-де в цій групі. Нічого не дасть, якщо ви будете відчиняти даремні козячі двері – ймовірність, що машина за котримись дверима з групи 2, не зміниться.
Значення попереднього знання
Безсумнівно, ви вже переконані, але у разі, якщо певні сумніви все ж залишилися, я наведу ще один приклад, що чітко підкреслює цю ключову відмінність двох випадків: коли щось відомо наперед, і коли ні.
Припустімо, вам захотілося придбати двох кошенят. Ви телефонуєте в місцевий зоомагазин. Власник повідомляє вас, що якраз того дня з’явилося двійко кошенят від одної матері: чорненьке і смугастеньке. Ви запитуєте: котик чи кішечка? Обміркуємо дві різні відповіді власника крамниці:
(а) Він говорить вам: «Я оглянув лиш одне, і то котик». Якщо немає жодної іншої інформації – яка ймовірність, що обоє котики?
(б) Він говорить: «Я оглянув смугасте, і то котик». А тепер яка ймовірність, що вони обоє – котики?
Так виходить, що відповіді для цих двох випадків різні. Хоча ми в обох випадках знаємо, що одне з кошенят – котик, проте тільки в другому випадку нас сповіщають нас, котре ж саме. Це додаткове знання змінює ймовірність. Погляньмо, як саме.
Почнемо з усіх можливих варіантів, а їх є чотири:
чорне смугасте
1 котик котик
2 котик кішечка
3 кішечка котик
4 кішечка кішечка
А тепер обміркуємо випадок (а): «Принаймні одне з них – котик». Це каже нам, що можливий який-небудь один варіант із трьох перших: (1) обоє котики; (2) чорне є котик, смугасте є кішечка; (3) чорне – кішечка, смугасте –котик. Отже, існує шанс 1 до 3, що вони обидва котики.
А втім, у випадку (б), де однозначно вказано, що смугастеньке кошеня є котик, це додаткове повідомлення вилучає табличний варіант 2, а також варіант 4. Так залишаються лише два варіанти: або обоє котики, або ж смугасте котик, а чорне – кішечка. Тепер імовірність, що обоє котики, – 1 до 2.
Бачимо, імовірність, що обидва кошенята – котики, змінюється з 1 до 3 на 1 до 2, як тільки ми дізнаємося, котре з них виявилося котиком. Це чисто та сама ситуація, що й із парадоксом Монті Голла.
Але заждіть-но, чую закостенілого скептика, що каже: в оповіді з кошенятами власник зоомагазину передав вам додаткову інформацію, щоб ви могли вирахувати ймовірності; Монті Голл такого не робив. Це заперечення приводить нас до кінцевої частини пояснення: нарешті ми маємо змогу розтлумачити проблему, що так сильно заплутала як читачів Селвінової статті в «Американ Статистишн» 1975 року, так і тих, хто побачив пояснення Мерилін вос Савант у журналі «Перейд» 1990 року. Боюся, ми змушені ще раз, востаннє, повернутися до парадокса Монті Голла.
Розгляньмо ситуацію, коли Монті Голл не знає, де заховано машину. В такому випадку, якщо він відчинить двері Б, а за ними буде коза, то тоді ви й справді залишитеся з однаковою ймовірністю, що машина може бути за дверима А і за дверима В. Як це так виходить? Ну уявіть, що ви граєте в гру 150 разів лише з трьома дверима. Перед кожною спробою незалежний суддя переміщує машину між трьома дверима в довільному порядку, так що навіть сам Монті Голл не має поняття, де вона. Тепер, коли ви виберете котрісь двері, а Монті Голл навмання відчинить одні з двох, що залишилися, то він побачить за ними машину, в середньому, в третині спроб. За статистикою, це відповідає приблизно 50 випадкам зі 150 спроб. Звісно, що в цих 50 випадках гру завершено: ви не можете продовжувати, бо не можете виграти машину. Це залишає 100 випадків, коли Монті Голл таки виявляє за дверима Б козу. Кожен такий випадок дає вам шанс 1 до 2, що машина міститься за дверима, котрі ви спочатку вибрали. Нема ніяких підстав змінювати вибір. Тобто в 50 спробах машина дійсно буде за вашими дверима, а в інших 50 – за дверима В. Додайте до цього ті 50 випадків, коли машина за дверима, відчиненими Монті, і ми будемо мати 3 групи по 50. Це засвідчує рівні імовірності перебування машини за будь-якими з трьох дверей.
Зрозуміло, що якби Монті знав, де знаходиться машина, то йому б не треба було витрачати ті 50 спроб. Він би просто відчинив потрібні двері. Підіб’ємо підсумок. Нехай ваш вибір завжди падає на двері А. У 50 зі 150 випадків машина справді буде за ними, а тому ви матимете шанс перемогти 1 до 3, якщо залишитеся зі своїм вибором. З інших 100 випадків половину разів машина буде за дверима В, – отже, Монті відчинить двері Б – а іншу половину вона буде за Б, тоді він відчинить В. У всіх цих випадках він відчиняє двері, за якими коза, що залишає машину захованою за іншими дверима. Отже, коли ви зміните вибір у кожному зі 150 випадків, ви виграєте машину в 100 з них – загалом у 2 випадках із 3.
Спробуй і переконайся
В останньому своєму дописі з цього питання Мерилін вос Савант оприлюднила результати понад тисячі шкільних експериментів, що проводилися з метою дослідити його. Практично всі результати доводять, що правильне рішення – це змінити вибір. Я також вдався до цього методу розв’язання парадокса («спробуй і переконайся»), коли декілька років тому намагався пояснити його другові. Протягом довгої автоподорожі під час підготовки до науково-документального фільму для Бі-Бі-Сі я переказав цей парадокс своєму кінооператорові Енді Джексону. Мушу зізнатися, на той момент я ще не відшліфував викладені тут доводи й пояснення і вирішив вдатися до наочного показу: витягнув колоду карт. Вибравши три карти – одну червону та дві чорні – я їх перетасував і поклав уря́д лицевим боком донизу на сидіння між нами. Далі я обережно підглядав під кожну, щоб побачити, де була червона. Я попросив Енді вибрати одну, але не перевертати її. Потім я обернув одну з двох, що залишилися, – ту, що я знав, що вона чорна, і дав йому можливість залишитися зі своїм початковим вибором, або поміняти його. Вистачило до двадцяти спроб, щоб показати йому, що було приблизно вдвічі ймовірніше витягнути червону карту, якщо він змінить вибір. Він не зовсім зрозумів причину, але принаймні переконався, що я правий.
Сподіваюся, Енді прочитає цей розділ і нарешті зрозуміє – як, маю надію, і ви – чому так стається.
Отже, досить легковажити: нас чекає ще купа проблем суто фізичних.
Про автора
Джим Ал-Халілі (офіцер Ордену Британської імперії) – професор, письменник і теле- та радіоведучий, що часто виступає на Бі-Бі-Сі. Це провідний фізик-теоретик з Університету Суррей, де він викладає і проводить дослідження в галузі квантової механіки. Лауреат Премії Майкла Фарадея Королівського товариства («за успіхи в донесенні науки до британської спільноти») та Премії Келвіна від Лондонського Інституту фізики (за поширення наукових знань), почесний член Британської наукової асоціації. Автор низки науково-популярних книжок, зокрема «Дослідники: Золота доба в арабській науці», один з найвідоміших у світі популяризаторів науки. Представив декілька документальних теле- і радіопередач, серед яких: «Хімія: Мінлива історія» та «Таємне життя хаосу», номіновані на Премію Британської академії телебачення та кіномистецтва. «Парадокс…» – його п’ята книжка.
Про книжку
Впродовж всього існування людства науковці вигадували теорії та пропонували ідеї, що, здається, просто не в’яжуться докупи. Їх називають парадоксами. Парадокси, запропоновані Ал-Халілі, переважно фізичні й астрономічні. Серед них є такі, що спантеличували навіть найбільші уми. Наприклад, як кіт може бути водночас і мертвий, і живий? Або як хтось може бути на десять років старший за свого близнюка?
За допомогою простих пояснень, що дозволяють зазирнути в голову тих, хто створив парадокси, Ал-Халілі допомагає нам зрозуміти, що насправді їх можна розв’язати, якщо поглянути на них з правильного боку. Він виявляє логіку, що лежить в їхній основі, так само переконливо, як описує своє довготривале захоплення цими класичними парадоксами. Так він вдихає життя в дану групу найзахопливіших понять у людському знанні. «Парадокс…» – розвага, що розширює кругозір.
Відгуки
Це глибока книжка, що завдяки зрозумілому стилеві викладу здається простою. Автор… має таке резюме, що засоромило б більшість науковців… Це не дивно, зважаючи на його схильність жваво й доступно подавати важкі для сприйняття речі. Настійно рекомендую цю книжку всім, хто цікавиться філософією та наукою. – Веблог «Книжкова рапсодія»
Це дослідження загадок фізики націлене на читачів наукпопу, але місцями все ж потрібно мати принаймні базові знання з вищої математики. Деякі з тих відомих парадоксів (чи, точніше, парадоксів сприйняття), що їх розбирає квантовий фізик, професор Ал-Халілі, досить легкі для розуміння. Наприклад, є такий парадокс, що пояснює, чому необхідна група лише з 57 людей, щоб двоє серед них точно мали спільний день народження – дарма що нам може підказувати наш мозок. Проте інші парадокси потребують трішки роз’яснення та інколи певних знань з історії фізики чи математики, зокрема відомий парадокс Зенона про Ахіллеса та черепаху, що, як видається, наводить на думку, що хай би як швидко Ахіллес біг, він ніколи не наздожене повільнішу черепаху. Це дуже цікава книжка, тут є деякі дотепні несподіванки, наприклад парадокс Ольберса: чому небо темніє вночі, хоч у ньому мільярди зір – це забезпечує доказ теорії Великого вибуху. Хоча вона не для пересічного любителя загадок, ця книжка мала б привабити читачів з необхідними предметними знаннями. – Дейвід Пітт, Букліст
Поки він не поспішаючи розкладає частинки пазлу кожного парадокса й використовує кожен момент, щоб подати доречне (чи не дуже) пояснення з фізики, ми розуміємо, що ця книжка не претендує бути підручником з теорії ймовірності, квантової механіки та законів термодинаміки. Натомість маємо зелене світло для подальших досліджень. Це тому що навіть пояснюючи складні поняття простору, часу і просторочасу, Ал-Халілі знаходить час посвятити читача в новаторські експерименти, суперництво та розвиток теорій – давніх, як сама наука. Так у відкриття він вносить історію й емоції, у відкриття, що збуджує цікавість у кожної людини (може, й інших створінь). Як і я свого часу, ви часто ловитимете себе на тому, що вгрузли по вуха в матеріали з вікіпедії та копаєтеся у власній голові – бажаючи знайти більше… – Наука під мікроскопом
Нова книжка професора Ал-Халілі розглядає по-новому деякі популярні загадки науки… Для поціновувачів наукової фантастики будуть інформативні міркування Ал-Халілі про теорію ймовірності й подорожі в часі; кота Шредінґера знову випустять з коробки. Ал-Халілі – майстер робити складне простим – завершує свою книжку парадоксом, що може от-от проявитися. Це якщо ЦЕРН цього літа повідомить, що дійсно існують частинки, швидкість яких перевершує швидкість світла. А це кине виклик законам фізики Айнштайна. – Індепендент
Читачі, що люблять випробовувати свої розумові здібності й дістають задоволення від наукових таємниць, насолодяться легкодоступним і безтурботним обговоренням разом з Ал-Халілі. – Паблішерз віклі
Надзвичайно цікава книжка з деякими дотепними несподіванками. – Букліст онлайн
Оригінал тут.
Зміст
Обкладинка
Титульна сторінка
Авторські права
Присвята
Передмова
1. Парадокс телевікторини
2. Ахіллес і черепаха
3. Парадокс Ольберса
4. Демон Максвелла
5. Парадокс комори та жердини
6. Парадокс близнят
7. Парадокс убитого дідуся
8. Парадокс демона Лапласа
9. Парадокс кота Шредінґера
10. Парадокс Фермі
11. Решта питань
Подяки
Про автора
Передмова
Парадокси трапляються щонайрізноманітніші. Деякі – просто логічні парадокси, що їх багато не подосліджуєш, а інші – то вершечки айсбергів цілих галузей науки. Немало з них можна спростувати, якщо уважно розглянути їхні основні положення, з яких одне чи більше трапляються помилкові. Власне кажучи, ці парадокси не слід взагалі вважати такими, бо щойно проблему розв’язано, парадокс більше не парадокс.
Справжній парадокс – це твердження, що веде до самосуперечного міркування чи «замкнутого кола» або описує логічно неможливий випадок. Проте насправді існує тенденція надавати слову «парадокс» ширшого значення, щоб воно охоплювало те, що я волію називати «парадоксом сприйняття». Такі загадки мають вихід. Парадокс може містити підступ чи хитрість, щоб навмисне збити з пантелику слухача чи читача. Варто лише викрити ці штуки, і зникне суперечність або безглуздя. Існує ще один вид парадоксів сприйняття. Там твердження й висновки, хоч і здаються нісенітницею, чи щонайменше суперечать здоровому глуздові, після глибоких роздумів набувають сенсу. Навіть якщо підсумок усе ще дивує.
А ще є фізичні парадокси. Усіх їх (ну, майже всіх) можна розв’язати, якщо знати дещицю основних наукових засад. Саме на такі парадокси я зверну увагу в цій книжці.
Отже, розгляньмо дійсно логічний парадокс, просто щоб було зрозуміло, про що я не говоритиму. Це твердження, що побудоване так, що з замкнутого кола навсправжки годі виплутатися.
Наприклад, таке формулювання: «Це твердження – брехня». Думаю, самі слова вам видаються досить простими після першого читання. Проте вам стане очевидний логічний парадокс, коли вдумаєтеся в їхнє значення й уважно розглянете внутрішній зміст. Три простих слова можуть стати вашим головним болем? Якщо так, то я б сказав, що він забавний, можливо, він і сам парадокс. Так чи інак, ви відчуватимете себе по-садистськи зобов'язаним передати його друзям і близьким.
Розумієте, «це твердження – брехня» каже вам, що проголошуючи себе неправдою, воно саме має брехати, а тому вже не обманює, а говорить правду, тобто, по суті, бреше, а значить воно не брехня. Такий цикл нескінченний.
Таких парадоксів сила-силенна. Ця книжка не про них.
Натомість тут мова про особисто мої улюблені плутанки й загадки науки, що їх багато хто називає парадоксами. Якщо ж розглянути їх уважно і дивитися під правильним кутом, то виявиться, що вони ніякі не парадокси. Дарма що початкове враження про них сильно суперечить здоровому глуздові, завжди виходить так, що в них є якийсь тонкий фізичний недогляд. Взявши його до уваги, ми бачимо, як він вибиває наріжний камінь парадокса, і вся конструкція валиться додолу. Багато з них продовжують величати парадоксами навіть після спростування. Певною мірою на це впливає знаменитість, набута після їх формулювання (перед тим, як ми визначили, в чому ми помилялися). А почасти тому, що так подані, вони корисні інструменти в арсеналі науковців і допомагають їм осмислювати деякі складні поняття. І, звісно, через те що досліджувати їх – величезне задоволення.
Ми побачимо багато загадок, що дійсно спочатку будуть видаватися справжніми парадоксами, а не просто сприйманими за такі. Ось у чому суть. Візьмімо простий варіант усім відомого парадокса подорожі в часі: що як за допомогою машини часу ви повернетеся в минуле і вб’єте себе молодшого? Що станеться з убивцею? Чи ви враз перестанете існувати, бо не дали молодшому собі вирости? Якщо так, і ви ніколи не дійшли віку, в якому стали душогубним мандрівником у часі, то хто вбив вас молодшого? Ваша старша версія має незаперечне алібі: ви ніколи й не існували! Тож коли ви не дожили, щоб повернутись у часі і вбити себе молодшого, тоді ви не вб’єте себе молодшого й живете далі, щоб, ставши старшим, вернутися в минуле і вбити себе. Отже, ви це робите і не виживаєте, і так далі. Видається, що це зразковий логічний парадокс, проте фізики не відкидають можливості мандрівок у часі (звісно, теоретично). То як можна виплутатися з цього замкнутого кола парадокса? Я обговорюватиму власне цей парадокс у 7 розділі.
Не для всіх речей, сприйнятих як парадокси потрібен науковий досвід, щоб у них розібратися. Щоб показати це, я присвятив перший розділ кільком таким позірним парадоксам, що їх можна розв’язати, просто логічно помисливши. Що я маю на увазі? Ось, наприклад, простий статистичний парадокс, де цілком можливо зробити неправильні висновки з базового взаємозв’язку: відомо, що міста з більшою кількістю церков зазвичай мають вищі показники злочинності. Якщо не вважати церкву розплідником беззаконня і злочинності – що видається вельми малоймовірним, хоч би які у вас були погляди на релігію та мораль – то це дещо парадоксально. Проте розв’язок простий. Як значніша кількість церков, так і вищий загальний рівень злочинності – природні наслідки більшої чисельності населення. Лише тому, що з А випливає Б та з А випливає В, не означає, що з Б випливає В, чи навпаки.
А ось ще один приклад нескладної головокрутки, що звучить спочатку парадоксально, але після пояснення ця парадоксальність зникає. Кілька років тому її переказав мені один шотландський професор фізики, мій колега та близький друг. Він стверджує: «Кожен шотландець, що їде на південь в Англію, підвищує середній айк’ю обох країн». Суть ось у чому: через те що всі шотландці вважають себе розумнішими за всіх англійців, то будь-хто з них підвищить середній айк’ю Англії, якщо житиме там. Однак покинути Шотландію – це таке безглуздя, що лише дурніші з них так вчинять, відповідно, трохи підвищуючи середній рівень розумового розвитку тих, що залишаються. Як бачите, те, що на перший погляд звучить як парадоксальна заява, проста логіка розв’язує прекрасно – навіть якщо, певна річ, непереконливо для англійців.
Трохи розважившись у 1 розділі кількома добре відомими парадоксами, що для їх розв’язання не треба ніякої науки, ми продовжимо дев’ятьма вибраними парадоксами фізики. Я розкрию кожен і поясню, як він розвіюється, виявляючи основну логіку, що показує його оманливість, або ж що проблеми взагалі нема. Всі вони можуть розважити, бо містять поживу для мозку і тому, що вихід є. Все, що потрібно – це знати, де шукати, де знайти ту Ахіллесову п’яту, що її можна виявити старанним намацуванням і кращим розумінням науки, аж доки парадокс перестає бути парадоксом.
Деякі назви цих парадоксів будуть знайомі. Візьмемо для прикладу парадокс Шредінґерового кота, де нещасний представник родини котячих закритий у запечатаній коробці і, поки не відкрити коробку, він водночас живий і мертвий. Мабуть, не такий відомий, хоч дехто про нього знає, – демон Максвелла. Це міфічна істота, що керує іншою герметичною коробкою і яка, скидається, здатна порушити найсвятішу заповідь науки, другий закон термодинаміки, змушуючи вміст коробки не змішуватися і зробитися упорядкованим. Щоб зрозуміти такі парадокси і їх розв’язання, необхідно осягнути деяке наукове підґрунтя. Так я постановив донести ці наукові поняття, з якомога меншою кількістю зайвих дрібниць, щоб ви могли оцінити і насолодитися прихованим змістом без поглиблених знань числення, термодинаміки чи квантової механіки.
Кілька інших парадоксів для цієї книжки я взяв з курсу теорії відносності для бакалаврів, що його я викладав останні чотирнадцять років. Наприклад, Айнштайнові ідеї щодо простору й часу дають плідну основу для логічних задач, як-от парадокс комори та жердини, парадокс близнят і парадокс дідуся. Інших ж, наприклад з котом чи демоном, як дехто вважає, ще належить задовільно розвіяти.
Я не зосереджувався на найважливіших нерозв’язаних питаннях, коли вибирав свої найбільші загадки фізики, як-от, що таке темна матерія й темна енергія, які разом становлять 95 % Всесвіту, чи що було перед Великим вибухом (якщо взагалі щось було). Це неймовірно складні й глибокі питання, що на них науці ще належить знайти відповіді. Якщо пришвидчувачі частинок, як Великий гадронний колайдер у Женеві, продовжуватимуть робити нові й захопливі відкриття, то цілком можливо, що в недалекому майбутньому знайдеться відповідь на деякі такі запитання, як природа темної матерії – цієї загадкової речовини, що становить майже всю масу галактик. Однак інакші загадки, наприклад достеменний опис часу до Великого вибуху, можливо, назавжди залишаться без відповіді.
Насправді я націлився зробити розсудливий і широкий вибір. Усі парадокси в дальших розділах стосуються глибоких запитань про природу часу й простору, про властивості Всесвіту в найбільшому й найменшому масштабі. Певні припущення звучать дуже дивно спочатку, але ретельне вивчення ідей, що лежать в основі теорії, розставляють все на свої місця. Нумо погляньмо, чи зможемо їм всім покласти край і водночас дати тобі, дорогий читачу, розвагу, що розширює кругозір.
Розділ 1. ПАРАДОКС З ТЕЛЕВІКТОРИНИ
Прості ймовірності, здатні перелопатити ваші мізки
Перед тим як зосередитися на фізиці, я вирішив задля розминки зробити легенький вступ за допомогою кількох неважких, захопливих, але дратівливих головокруток. Я б сказав, що це, як і частина інших у цій книжці, аж ніяк не реальні парадокси, їх просто треба уважно розглянути і ретельно проаналізувати. Але на відміну від розглянутих пізніше, що потребують розуміння основ фізики, парадокси в цьому розділі – це набір логічних задачок, що їх можна розв’язати без жодного наукового підґрунтя. Останній, так званий парадокс Монті Голла – найсоковитіший з усіх. Він так майстерно збиває з пантелику, що я докладу максимум зусиль, щоб детально пояснити й проаналізувати його декількома різними способами. Тоді ви зможете вибрати розв’язок, що вам підходить найбільше.
Усі парадокси в цьому розділі підпадають під одну з двох категорій з незвичними назвами: «достовірні» й «оманні». Достовірний парадокс приводить до висновку, суперечного здоровому глуздові, бо зі здоровим глуздом він не має нічого спільного. Та уважний і логічний (хоч часто підозріло простий) його розгляд доводить правильність такого умовиводу. Фактично, насолоду в цих парадоксах дають спроби знайти найнепробивніше доведення його правдивості – попри постійне неприємне відчуття, що десь та й має бути якась каверза. До них належать парадокси днів народження та Монті Голла.
З другого боку, оманний парадокс починається навдивовижу розумно, а закінчується – ну просто абсурдним результатом. Проте в цьому разі позірно безглуздий висновок є насправді хибний. Чому? Через майже непомітно оманливий чи помилковий етап в доведенні.
Приклади оманних парадоксів – математичні виверти, що кількома алґебричними діями «доводять» щось на кшталт 2 = 1. Не вірте ніякій логіці чи мудруванню, що в цьому переконують. Я не зупинятимуся на жодному такому парадоксі, в основному через те, що не надто хочу надокучати вам алґеброю – якщо раптом вона вам не так до душі, як мені. Досить сказати таке: розрахунки, що ведуть до «розв’язку», часто-густо містять етап ділення на нуль, чого будь-який математик з почуттям власної гідності уникає як вогню. Натомість я зосереджуся на кількох проблемах, що їх ви можете гідно оцінити з абсолютним мінімумом математичних знань. Почнемо з двох оманних парадоксів: про зниклий долар і Бертранів парадокс з коробками.
ЗАГАДКА ЗНИКЛОГО ДОЛАРА
Цю чудову загадку я використав кілька років тому, бувши гостем на телевікторині «Ігри розуму» (але я, звісно, не стверджую, що придумав її). Це відбувалося так: щотижня господар шоу, математик Маркус дю Со́той, описував загадки, а гості змагалися одне з одним, розв’язуючи їх. На додачу, кожен мав озброїтися своїми улюбленими головокрутками, щоб спробувати обдурити іншу команду.
Ось, якраз, загадка.
Три мандрівники заселяються в готель на ніч. Молодий портьє на рецепції бере з них $ 30 за номер з трьома ліжками. Вони погоджуються розділити ціну порівну, і кожен заплатив по $ 10. Далі вони беруть ключ і йдуть заселятися. За кілька хвилин портьє усвідомлює, що зробив помилку. Готель виставив спеціальну пропозицію на цілий тиждень, і він мав би взяти з них лише $ 25 за кімнату. Щоб не дістати на горіхи від свого менеджера, портьє швидко бере п’ять доларів з каси й поспішає загладити провину. По дорозі він усвідомлює, що п’ять доларів порівну між трьома не розділити, тому вирішує кожному з них дати по долару, а два лишити собі. «Так добре буде всім», – думає він собі. Якраз тут постає наша проблема: кожен з трьох друзів заплатив по $ 9. Виходить, готель отримав $ 27, а портьє – решту $ 2. Разом $ 29. А що ж із тим останнім доларом з початкових $ 30?
Можливо, ви побачите розв’язок зразу. Правда, зі мною так не сталося, коли я вперше почув цю загадку. Тож я дам вам трохи подумати, перш ніж ви продовжите читати.
Вдалося? Як бачите, ця загадка тільки звучить парадоксально, бо її так складено. Помилковий хід думок – додавати $ 27 до $ 2, що їх взяв портьє. Для цього немає жодної підстави, адже більше нема загальної суми $ 30, що її треба було б брати до уваги. Гроші портьє, $ 2, слід відняти від $ 27, сплачених друзями. Так залишається $ 25, що лежать у касі.
БЕРТРАНІВ ПАРАДОКС З КОРОБКАМИ
Мій другий приклад оманного парадокса приписують французькому математикові XIX ст. Жозефові Бертрану – це не найвідоміший його парадокс, що має суто математичне спрямування.
Є три коробки, і в кожній з них по дві монети. Кожна коробка має переділку, що розділяє її на дві частини, а в кожній з них – по монеті. Будь-яку половину можна відкрити окремо й побачити всередині монету (тобто другу монету при цьому не видно). В одній коробці дві золоті монети (назвемо її ЗЗ), в другій є дві срібні (називатиметься СС), а в третій (ЗС) – дві різні. Яка ймовірність вибрати ту коробку, де є золота і срібна монети? Очевидно відповідь проста: один до трьох. Загадка полягає не в цьому.
Тепер виберіть яку-небудь коробку. Що коли, піднявши одну з на́кривок, ви всередині побачите золоту монету? Які тепер шанси, що саме ця коробка ЗС? Ну, через те що знайшовши золоту монету, ви впевнені, що це не може бути коробка СС, то ви таку можливість відкидаєте, і залишаються два варіанти: або це коробка ЗЗ, або ж ЗС. Звідси ймовірність, що це ЗС, буде один до двох, так?
Якщо б ви відкрили накривку й натомість знайшли срібну монету, то ви могли б тепер відкинути варіант ЗЗ. Так у вас залишаються СС і ЗС, тобто ймовірність того, що вибрана коробка є ЗС, усе ще один до двох.
Через те що в будь-якому разі під накривкою вибраної вами коробки ви знайдете або золоту, або срібну монету, та через те що загалом є по три монети кожного виду (що дає рівні шанси знайти кожен вид) – існує ймовірність один до двох, що хоч би яку монету ви знайшли, вона буде з коробки ЗС. Отже, коли ви глянете всередину половинки вибраної вами коробки, загальна можливість того, що це ЗС, має змінитися з один до трьох (як було на початку) на один до двох. Але як те, що ви бачите одну з монет, так змінює ймовірність? Ви робите довільний вибір коробки і ще перед підійманням накривки знаєте: шанс, що це ЗС, – один до трьох. Тож як, не отримавши ніякої інформації від того, що ви побачили всередині одну з монет – адже ви повністю впевнені, що так чи інакше знайдете чи то золоту, чи то срібну монету – ймовірність змінюється з одного до трьох на один до двох? Де ж наша помилка?
А відповідь полягає в тому, що чи бачите ви монету в коробці, чи не бачите, ймовірність завжди буде один до трьох, і ніколи – один до двох. Розглянемо випадок, коли ви виявили в коробці золоту монету. Загалом золотих монет є три. Назвемо їх З-1, З-2 та З-3. Нехай коробка ЗЗ містить монети З-1 і З-2, а З-3 буде в коробці ЗС. Якщо відкриєте якусь коробку і виявите в ній золоту монету, тоді шанс, що ви вибрали коробку ЗЗ, – два до трьох. Це через те, що ви дивитеся на монету З-1 або З-2. Шанс, що ця монета – З-3, а отже що ваш вибір впав на коробку ЗС – лиш один до трьох.
ПАРАДОКС ДНІВ НАРОДЖЕННЯ
Це один з найвідоміших достовірних парадоксів. У ньому нема ніякої омани, як у попередніх двох прикладах, нема також помилки в міркуванні чи жонглювання в розповіді. Чи розв’язок вас переконає, чи ні – маю наголосити, що він цілком правильний і послідовний (як логічно, так і математично). Таке відчуття фрустрації робить парадокс ще забавнішим.
Ось як він звучить.
Скільки людей мало б бути в кімнаті, щоб шанс, що будь-які двоє з них народилися в один день, був вищий ніж п’ятдесят на п’ятдесят – іншими словами, щоб будь-які дві особи імовірніше мали спільний день народження, ніж не мали?
Проявімо спершу трохи нехитрого здорового глузду – що, певна річ, виявиться неправильним. Через те що в році 365 днів, уявіть лекційну залу з 365 місцями. У неї заходить сотня студентів і сідає на довільні місця. Напевно, деякі друзі захочуть сісти поруч, дехто вибере усамітнення на задньому ряді, щоб непомітно подрімати, а старанніші віддадуть перевагу місцям поближче. Проте їхнє розташування ролі не грає. Очевидно те, що понад дві третіх усіх місць залишаться порожніми. Звичайно, ніхто не сяде на вже зайняте місце, але ми також вважатимемо, що зважаючи на великий вибір ймовірність, що двоє студентів вибрали б один і той же стілець, досить мала.
Якщо використовувати такий же тверезий підхід до днів народжень, то через рівну кількість як можливих днів, так і стільців у залі можна припустити, що двоє людей мають такі ж малі шанси народитися в один день. Звісно, хоч таке й може трапитися, ми схильні вважати, що це менш імовірно, ніж навпаки.
Безперечно, коли маємо 366 людей, то принаймні двоє поділятимуть дату народження – такий випадок пояснення не потребує. Цікавіше стає, коли зменшувати число людей.
По суті, потрібно тільки 57 осіб у кімнаті, для того щоб імовірність співпадіння дати народження будь-кого з двох була – хоч як неймовірно це б звучало – понад 99%. Себто, треба всього-навсього 57 людей, щоб бути майже впевненим, що двоє з них народилися в один день! Це саме по собі звучить неправдоподібно. Однак, якщо повернутися до власне відповіді на загадку, то найменше число, що забезпечує «щоб будь-які дві особи імовірніше мали спільний день народження, ніж не мали» (тобто, щоб імовірність була більша за 50 %), набагато менше за 57. Насправді це всього 23 людини!
Для більшості такий результат буде спершу приголомшливий, і навіть потім, коли переконаються у його правдивості, він непокоїтиме. А все через те, що в нього інтуїтивно важко повірити. Звернімося зараз до математики, яку я намагатимуся зробити якомога зрозумілішою.
Для початку, не будемо ускладнювати собі життя: нехай рік не буде високосний і всі дні будуть однаково підхожі для днів народження. Також обійдемося без близнюків у кімнаті.
Найпоширеніша помилка – думати, що можна прирівняти кількість людей у кімнаті до кількості днів у році. Так складається враження, що раз 23 особи потенційно мають 365 варіантів вибору днів народження, то їх неспівпадіння набагато ймовірніше, ніж протилежний результат. Але такий підхід до проблеми хибний. Розумієте, для того щоб мати спільний день народження, потрібні пари людей, а не окремі особи. Тому ми повинні брати до уваги наявну кількість різних пар. Почнемо з найлегшого: для лише трьох людей існує три пари (А–Б, А–В і Б–В). Проте чотири людини можуть сформувати шість пар (А–Б, А–В, А–Г, Б–В, Б–Г, В–Г). Коли взяти 23 особи, виявиться, що є 253 різні пари. Бачите, на скільки легше віриться, що з 253 пар людей котрась матиме той самий день народження з 365 можливих.
Щоб точно вирахувати ймовірність, варто почати з одної пари, а далі додавати людей і спостерігати за зміною ймовірності збігу дня народження. Для цього треба визначати не ймовірність збігу, а скорше ймовірність, що кожна нова особа має зовсім інший день народження, ніж усі попередні. Отже, імовірність, що день народження першої і другої людини відрізняються, дорівнює 364 ÷ 365, бо діапазон вибору другої особи зменшився на один день. Тоді ймовірність, що третя людина не матиме спільного дня народження з першою чи другою, рівна 363 ÷ 365. Правда, не забуваймо, що водночас перші двоє й далі мають різнитися між собою днем народження (число 364 ÷ 365). За теорією ймовірності, коли треба вирахувати можливість одночасного настання двох різних подій, маємо перемножити їх імовірності. Так імовірність, що день народження другої особи різниться від першої, та третьої – від перших двох, дорівнює 364/365 х 363/365 = 0,9918. Насамкінець, якщо це ймовірність, що всі троє мають різний день народження, то ймовірність, що якісь двоє з них таки мають спільний день народження, рівна 1 – 0,9918 = 0,0082. Отже, досить очікуваний висновок: для лише трьох людей імовірність спільного дня народження – мізерна.
Так ми продовжуємо по одному додавати людей і подовжувати ланцюжок перемножених дробів, що визначає ймовірність кожної особи мати унікальний день народження. Працюємо в такому дусі, аж доки наш добуток опуститься трохи нижче за 50 %. Це, звісно ж, той момент, коли ймовірність, що хоч котрась пара розділяє день народження, зростає вище за 50 %. Виявляється, треба 22 дроби, а отже 23 людини:
Ось так виходить, що ймовірність будь-яких двох людей із 23, що є в кімнаті, мати спільний день народження дорівнює:
1 – 0,4927 = 0,5073 = 50,73 %
Для цієї загадки знадобилася теорія ймовірностей. Натомість наступна буде певною мірою простіша – на мою думку, це й робить її ще неймовірнішою. Це мій улюблений достовірний парадокс, бо його легко описати, просто пояснити, але збагнути суть – дуже важко.
ПАРАДОКС МОНТІ ГОЛЛА
Ця загадка, що походить від Бертранового парадокса з коробками, показує силу того, що математики називають «умовною ймовірністю». Вона базується на старішій головокрутці за назвою «проблема трьох в’язнів», яку описав американський математик Мартін Ґарднер 1959 року в своїй рубриці «Математичні ігри» в журналі «Саєнтифик Американ». Проте, на мою думку, парадокс Монті Голла – найліпша і набагато зрозуміліша адаптація. Цей парадокс має таку назву, бо вперше його зачитали як частину сценарію довготривалої американської телевікторини «Укладімо угоду», а вів її харизматичний канадець Монті Голл, що ставши телезіркою, змінив написання свого імені з Monte на Monty.
Стів Селвін – американський статистик і професор Каліфорнійського університету в Берклі. Він – відомий педагог; був нагороджений за викладання та наставництво. Як викладач Селвін застосував свої фахові математичні знання в медицині, а саме в біостатистиці. Однак увесь світ його знає не за ці значні успіхи, а через його потішну статтю про парадокс Монті Голла. Її надрукували у виданні наукового часопису «Американ Статистишн» за лютий 1975 року, а займає вона лише півсторінки.
Селвін точно не очікував, що його коротка стаття матиме аж такий величезний вплив, бо, врешті, «Американ Статистишн» – спеціалізований часопис, його читали, як правило, викладачі й науковці. І справді: пройшло аж п’ятнадцять років після публікації цієї проблеми та її розв’язання, доки вона дійшла до свідомісті суспільства. У вересні 1990 року читач журналу «Перейд» (щотижневика, що міг похвалитися десятимільйонним накладом у США) надіслав загадку в рубрику «Спитай Мерилін». У цій рубриці Мерилін вос Сава́нт відповідає на запитання читачів і розв’язує їхні математичні загадки, головокрутки й логічні задачі. Вос Савант уперше піднялася на вершину слави в середині 1980-х, коли увійшла в «Світові рекорди Ґінеса» за найвищий айк’ю у світі (185). Власне цей лист у рубрику «Спитай Мерилін» написав Крейґ Ф. Вітакер, де виклав вос Савант переглянуту версію Селвінового парадокса Монті Голла. Що сталося далі – просто дивовижно.
Поява цієї задачі у «Перейд» та відповідь Мерилін вос Савант прикували до неї увагу спочатку населення країни, а потім і цілого світу. Попри те, що її відповідь цілком суперечить здоровому глуздові, вона абсолютно правильна, як і первинний розв’язок Селвіна. Однак вона породила шквал листів до журналу від обурених математиків, що палко оголошували її хибною. Ось витяги з трьох таких листів:
«Я як професійний математик вкрай занепокоєний браком математичних знань у народних мас. Будьте ласкаві, зробіть корисну річ – зізнайтеся в помилці й будьте надалі обережніша.
Ви напартачили, страшенно напартачили! Здається, у вас труднощі зі сприйняттям основоположних принципів, що тут працюють… У цій країні вже й так достатньо математичного невігластва, і нам не треба, щоб особа з найвищим у світі айк’ю поширювала його ще більше. Ганьба!
Дозвольте запропонувати, перш ніж ви знову намагатиметеся відповісти на схоже запитання, – роздобудьте стандартний підручних з теорії ймовірності і покликайтеся на нього.
Я шокований, що ви все ще не бачите своєї помилки, навіть після того, як вас виправляли щонайменше три математики.
Може, жінки розглядають математичні задачі не так, як чоловіки».
Так-так, досить багато розлючених людей. А скільки потім осоромлених! Вос Савант ще раз звернулася до цієї проблеми в пізнішому виданні й продовжувала наполягати на своєму, чітко й беззаперечно аргументуючи, як і слід було очікувати від когось із показником розумового розвитку 185. Зрештою ця історія опинилася на перших шпальтах «Нью-Йорк таймз» – а втім суперечки й далі вирували, що ви можете перевірити в інтернеті, якщо матимете велике бажання.
Чи вам уже здається: цей парадокс так важко докумекати, що треба бути справжнім генієм, щоб осягнути його? Проте це не так. Насправді багато є простих шляхів його пояснення, а інтернет просто кишить статтями й блоґами (навіть ютюбівськими відео), що саме це й роблять.
Хай там як, досить докучання та історичної блуканини. Вже все, зараз говоритиму лише про саму проблему. Справедливо буде почати цитатою з оригінальної версії Стіва Селвіна 1975 року в «Американ Статистишн».
ЗАДАЧА З ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ
Це «Укладімо угоду» – відоме телешоу за участю Монті Голла.
МОНТІ ГОЛЛ. В одній з трьох коробок з надписами А, Б і В лежать ключі від нового «Лінколн континентал», а інші дві – порожні. Виберете коробку з ключами – машина ваша.
УЧАСНИК ШОУ. Ох!
МОНТІ ГОЛЛ. Вибирайте коробку.
УЧАСНИК ШОУ. Я візьму коробку Б.
МОНТІ ГОЛЛ. Отож коробки А і В стоять на столі, а ось коробка Б (учасник міцно її обхоплює). Можливо, саме в цій коробці ключі! Я дам вам $ 100 за неї.
УЧАСНИК ШОУ. Ні, спасибі.
МОНТІ ГОЛЛ. Як щодо $ 200?
УЧАСНИК ШОУ. Ні!
АУДИТОРІЯ. Ні!!
МОНТІ ГОЛЛ. Пам’ятайте – ймовірність, що у вашій коробці ключі до машини – 1 до 3, а що ваша коробка порожня – 2 до 3. Дам вам $500.
АУДИТОРІЯ: Ні!
УЧАСНИК ШОУ. Ні, я певно залишу ящик собі.
МОНТІ ГОЛЛ: Зроблю вам послугу й відкрию одну з коробок, що залишилися (відкриває коробку А). Вона порожня! (Аудиторія аплодує). Тепер або коробка Б, або В містить ключі від машини. Через те що лишилися дві коробки, тепер імовірність, що ключі у вашій коробці, – 1 до 2. Даю $ 1000 готівкою за неї.
СТОП!!!!
А Монті правий? Учасник знає, що принаймні одна з коробок на столі порожня. Тепер він знає, що це коробка А. Та чи таке знання змінює ймовірність того, що він має коробку з ключами, із 1 до 3 на 1 до 2? Одна з коробок на столі точно порожня. Чи допоміг Монті учасникові, показавши, котра з двох коробок порожня? Яка ймовірність виграти машину – 1 до 2 чи 1 до 3?
УЧАСНИК. Я поміняю свою коробку Б на коробку В, що на столі.
МОНТІ ГОЛЛ. Оце дивина!!
ПІДКАЗКА. Учасник знає, що робить!
Стів Селвін,
Школа охорони здоров’я,
Університет Каліфорнії,
Берклі, CA 94720
У вищенаведеній статті Селвін оминає одну вирішальну частину проблеми (її актуальність стане зрозумілою незабаром). Він не висвітлює, що Монті Голл знає, в котрій коробці ключі – а отже завжди може вибрати порожню. Щоб бути справедливим, він усе ж зазначає, що Голл каже: «Зроблю вам послугу й відкрию одну з коробок, що залишилися на столі». Я сприймаю це так: Монті Голл чудово знає, що він відкриє порожню коробку – але я ж бо знаю цей парадокс. Вам може видаватися, що це питання тривіальне – зрештою, як це взагалі може вплинути на шанси учасника? – та ми побачимо, що все рішення на цьому етапі залежить від того, що знає Монті Голл.
Селвінові довелося це роз’яснити у виданні «Американ Статистишн» за серпень 1975 року, бо він опинився в такій самій ситуації, як Мерилін вос Савант роками згодом: його критикували інші математики, що не могли прийняти його розв’язку. Він написав:
Я отримав багато листів з висловлюваннями про мій «Лист до редактора» в «Американ Статистишн» за лютий 1975 року під назвою «Задача з теорії ймовірності». Кілька кореспондентів стверджують, що моя відповідь хибна. Основа для мого розв’язку – Монті Голл знає, у котрому ящику лежать ключі.
Для того щоб ми могли детальніше розглянути цю проблему, подаю трохи змінену, коротшу – відомішу – інтерпретацію, що з’явилася в «Перейд». Тут три коробки замінені трьома дверима:
Уявіть, що ви на телевікторині й маєте вибір з трьох дверей – А, Б, В. Позаду однієї є машина, позаду інших – кози. Ви обираєте, скажімо, двері А, а господар програми, знаючи, що ховається за дверима, відчиняє інші двері (нехай буде Б), щоб показати козу. Він говорить вам: «Хочете змінити вибір на двері В?». Чи то на вашу користь буде поміняти двері?
Безперечно, припускається, що учасник волів би побачити машину, а не козу. Це не уточнюється, але ми вважаємо, що маємо справу не з велосипедистом-козолюбом.
Ось як відповіла Мерилін вос Савант (як і роками раніше Стів Селвін): учасникові завжди слід поміняти свій перший вибір, бо так він подвоїть свої шанси на перемогу з 1 до 3 на 2 до 3. Але як таке можливо? Це головне питання парадокса Монті Голла.
Само собою зрозуміло, більшість учасників шоу, коли перед ними постане такий вибір, задумаються: чи є тут якась каверза? Оскільки шанс, що приз є за одними з цих дверей, мав би бути рівний, то чому б не довіритися своєму першому передчуттю й триматися дверей А? З погляду учасника, машина тепер неодмінно чи за дверима А, чи за дверима В з однаковою ймовірністю, і не повинно бути зовсім ніякої різниці, якщо він стоятиме на своєму чи змінить вибір.
Коли Монті Голл, знаючи, де машина, відчинить двері Б, за якими стоятиме коза, то у вас буде шанс виграти авто 1 до 3, якщо дотримуватиметеся початкового вибору (А), проти шансу 2 до 3, якщо поміняєте вибір на двері В. – рис. див. оригінал
Виглядає воно все досить підозріло і заплутано, так що бачите, чому навіть професійні математики збивалися з пантелику. Ось вам декілька доступних способів пояснення цього парадокса.
Перевірка ймовірностей
Це найточніший, найпослідовніший і найнеспростовніший спосіб доведення, що зміною вибору можна подвоїти шанси на виграш. Пам’ятайте, що перший ваш вибір – двері А. Монті Голл знає, де машина, і відчиняє одні з двох дверей, що залишилися. Виявляється, що там коза. Монті дає вам можливість змінити вибір на В.
Розглянемо спершу випадок, коли ви тримаєтеся свого вибору (двері А).
Машина може бути за будь-якими дверима з однаковою ймовірністю:
- Якщо вона за дверима А, то ролі не грає, котрі саме двері відчинять (Б чи В): ви ВИГРАЛИ.
- Якщо вона за дверима Б, то відчиняють двері В. Коли залишитеся з дверима А: ви ПРОГРАЛИ.
- Якщо вона за дверима В, то відчиняють двері Б. Коли залишитеся з дверима А: ви ПРОГРАЛИ.
Як бачите, тримаючись свого вибору, ви маєте шанс 1 до 3 виграти машину.
А зараз розглянемо варіант зміни вибору.
Знову ж таки, машина може бути за будь-якими дверима з однаковою ймовірністю:
- Якщо вона за дверима А, то ролі не грає, котрі саме двері відчинять (Б чи В): ви ПРОГРАЛИ.
- Якщо вона за дверима Б, то відчиняють двері В. Зміною свого вибору з А на Б ви ВИГРАЛИ.
- Якщо вона за дверима В, то відчиняють двері Б. Зміною свого вибору з А на В ви ВИГРАЛИ.
Отже, ваш шанс виграти машину – 2 до 3 (це якщо ви зміните свій вибір).
Доведення без математики – практичний підхід
Це не зовсім доведення у строгому значенні цього слова, а швидше нематематичний підхід, що дозволяє легше сприймати оригінальний розв’язок.
Уявімо, що дверей не троє, а тисяча: за одними захована машина, а інші 999 приховують кіз. Ви вибираєте одні на власний розсуд – хай це будуть двері 777. Звичайно, у вас можуть бути різні причини вибрати конкретні двері, але факт залишається фактом: вибрати двері, за якими машина, ви маєте шанс 1 до 1000 – це якщо без надприродного талану. Що буде, коли Монті Голл, знаючи, де саме машина, тепер відчинятиме всі інші двері, за котрими ховаються кози – окрім дверей 238. Тепер ви бачите 998 витріщених на вас кіз і двоє зачинених дверей (номер 777, що ви їх обрали, і останні зачинені, номер 238). Волієте тепер триматися початкового вибору, чи змінити його?
Хіба не здаватиметься вам щось підозріле в тому, що господар програми залишив саме ці двері – можливо, він знає щось, до чого ви не мали доступу, коли зробили свій довільний вибір? Згадайте, що він знає, де машина. Він бачить, що ви навмання обираєте двері, які, скоріш за все, приховують козу – ймовірність цього зашкалює. Далі він відчиняє інші 998 дверей, що за ними сидять кози. Ви не відчуватимете примусу змінити свій вибір на ці останні двері? Звісно, що відчуватимете, і будете праві: це майже точно, що машина за дверима 238, які Монті свідомо залишив.
Коли залучити до цього трохи математики, то виходить так: ваш початковий вибір поділяє двері на дві групи. Група 1 містить лише вибрані вами двері, і ймовірність побачити за ними машину – 1 до 3 (або 1 до 1000 у розширеній версії). Усі решта двері містяться в групі 2, тому ймовірність, що виграшні двері десь серед них, – 2 до 3 (або 999 до 1000). Відчинивши одні (чи 998) двері з другої групи, про яких відомо, що за ними ховаються кози, а отже мають нульовий шанс ховати за собою машину – ми залишаємо в цій групі тільки одні невідчинені двері. І все ж, загальна ймовірність, що за цими останніми дверима є машина, залишається 2 до 3 (або 999 до 1000). Це тому що вони успадкували ймовірність, що машина може бути будь-де в цій групі. Нічого не дасть, якщо ви будете відчиняти даремні козячі двері – ймовірність, що машина за котримись дверима з групи 2, не зміниться.
Значення попереднього знання
Безсумнівно, ви вже переконані, але у разі, якщо певні сумніви все ж залишилися, я наведу ще один приклад, що чітко підкреслює цю ключову відмінність двох випадків: коли щось відомо наперед, і коли ні.
Припустімо, вам захотілося придбати двох кошенят. Ви телефонуєте в місцевий зоомагазин. Власник повідомляє вас, що якраз того дня з’явилося двійко кошенят від одної матері: чорненьке і смугастеньке. Ви запитуєте: котик чи кішечка? Обміркуємо дві різні відповіді власника крамниці:
(а) Він говорить вам: «Я оглянув лиш одне, і то котик». Якщо немає жодної іншої інформації – яка ймовірність, що обоє котики?
(б) Він говорить: «Я оглянув смугасте, і то котик». А тепер яка ймовірність, що вони обоє – котики?
Так виходить, що відповіді для цих двох випадків різні. Хоча ми в обох випадках знаємо, що одне з кошенят – котик, проте тільки в другому випадку нас сповіщають нас, котре ж саме. Це додаткове знання змінює ймовірність. Погляньмо, як саме.
Почнемо з усіх можливих варіантів, а їх є чотири:
чорне смугасте
1 котик котик
2 котик кішечка
3 кішечка котик
4 кішечка кішечка
А тепер обміркуємо випадок (а): «Принаймні одне з них – котик». Це каже нам, що можливий який-небудь один варіант із трьох перших: (1) обоє котики; (2) чорне є котик, смугасте є кішечка; (3) чорне – кішечка, смугасте –котик. Отже, існує шанс 1 до 3, що вони обидва котики.
А втім, у випадку (б), де однозначно вказано, що смугастеньке кошеня є котик, це додаткове повідомлення вилучає табличний варіант 2, а також варіант 4. Так залишаються лише два варіанти: або обоє котики, або ж смугасте котик, а чорне – кішечка. Тепер імовірність, що обоє котики, – 1 до 2.
Бачимо, імовірність, що обидва кошенята – котики, змінюється з 1 до 3 на 1 до 2, як тільки ми дізнаємося, котре з них виявилося котиком. Це чисто та сама ситуація, що й із парадоксом Монті Голла.
Але заждіть-но, чую закостенілого скептика, що каже: в оповіді з кошенятами власник зоомагазину передав вам додаткову інформацію, щоб ви могли вирахувати ймовірності; Монті Голл такого не робив. Це заперечення приводить нас до кінцевої частини пояснення: нарешті ми маємо змогу розтлумачити проблему, що так сильно заплутала як читачів Селвінової статті в «Американ Статистишн» 1975 року, так і тих, хто побачив пояснення Мерилін вос Савант у журналі «Перейд» 1990 року. Боюся, ми змушені ще раз, востаннє, повернутися до парадокса Монті Голла.
Розгляньмо ситуацію, коли Монті Голл не знає, де заховано машину. В такому випадку, якщо він відчинить двері Б, а за ними буде коза, то тоді ви й справді залишитеся з однаковою ймовірністю, що машина може бути за дверима А і за дверима В. Як це так виходить? Ну уявіть, що ви граєте в гру 150 разів лише з трьома дверима. Перед кожною спробою незалежний суддя переміщує машину між трьома дверима в довільному порядку, так що навіть сам Монті Голл не має поняття, де вона. Тепер, коли ви виберете котрісь двері, а Монті Голл навмання відчинить одні з двох, що залишилися, то він побачить за ними машину, в середньому, в третині спроб. За статистикою, це відповідає приблизно 50 випадкам зі 150 спроб. Звісно, що в цих 50 випадках гру завершено: ви не можете продовжувати, бо не можете виграти машину. Це залишає 100 випадків, коли Монті Голл таки виявляє за дверима Б козу. Кожен такий випадок дає вам шанс 1 до 2, що машина міститься за дверима, котрі ви спочатку вибрали. Нема ніяких підстав змінювати вибір. Тобто в 50 спробах машина дійсно буде за вашими дверима, а в інших 50 – за дверима В. Додайте до цього ті 50 випадків, коли машина за дверима, відчиненими Монті, і ми будемо мати 3 групи по 50. Це засвідчує рівні імовірності перебування машини за будь-якими з трьох дверей.
Зрозуміло, що якби Монті знав, де знаходиться машина, то йому б не треба було витрачати ті 50 спроб. Він би просто відчинив потрібні двері. Підіб’ємо підсумок. Нехай ваш вибір завжди падає на двері А. У 50 зі 150 випадків машина справді буде за ними, а тому ви матимете шанс перемогти 1 до 3, якщо залишитеся зі своїм вибором. З інших 100 випадків половину разів машина буде за дверима В, – отже, Монті відчинить двері Б – а іншу половину вона буде за Б, тоді він відчинить В. У всіх цих випадках він відчиняє двері, за якими коза, що залишає машину захованою за іншими дверима. Отже, коли ви зміните вибір у кожному зі 150 випадків, ви виграєте машину в 100 з них – загалом у 2 випадках із 3.
Спробуй і переконайся
В останньому своєму дописі з цього питання Мерилін вос Савант оприлюднила результати понад тисячі шкільних експериментів, що проводилися з метою дослідити його. Практично всі результати доводять, що правильне рішення – це змінити вибір. Я також вдався до цього методу розв’язання парадокса («спробуй і переконайся»), коли декілька років тому намагався пояснити його другові. Протягом довгої автоподорожі під час підготовки до науково-документального фільму для Бі-Бі-Сі я переказав цей парадокс своєму кінооператорові Енді Джексону. Мушу зізнатися, на той момент я ще не відшліфував викладені тут доводи й пояснення і вирішив вдатися до наочного показу: витягнув колоду карт. Вибравши три карти – одну червону та дві чорні – я їх перетасував і поклав уря́д лицевим боком донизу на сидіння між нами. Далі я обережно підглядав під кожну, щоб побачити, де була червона. Я попросив Енді вибрати одну, але не перевертати її. Потім я обернув одну з двох, що залишилися, – ту, що я знав, що вона чорна, і дав йому можливість залишитися зі своїм початковим вибором, або поміняти його. Вистачило до двадцяти спроб, щоб показати йому, що було приблизно вдвічі ймовірніше витягнути червону карту, якщо він змінить вибір. Він не зовсім зрозумів причину, але принаймні переконався, що я правий.
Сподіваюся, Енді прочитає цей розділ і нарешті зрозуміє – як, маю надію, і ви – чому так стається.
Отже, досить легковажити: нас чекає ще купа проблем суто фізичних.
Про автора
Джим Ал-Халілі (офіцер Ордену Британської імперії) – професор, письменник і теле- та радіоведучий, що часто виступає на Бі-Бі-Сі. Це провідний фізик-теоретик з Університету Суррей, де він викладає і проводить дослідження в галузі квантової механіки. Лауреат Премії Майкла Фарадея Королівського товариства («за успіхи в донесенні науки до британської спільноти») та Премії Келвіна від Лондонського Інституту фізики (за поширення наукових знань), почесний член Британської наукової асоціації. Автор низки науково-популярних книжок, зокрема «Дослідники: Золота доба в арабській науці», один з найвідоміших у світі популяризаторів науки. Представив декілька документальних теле- і радіопередач, серед яких: «Хімія: Мінлива історія» та «Таємне життя хаосу», номіновані на Премію Британської академії телебачення та кіномистецтва. «Парадокс…» – його п’ята книжка.
Про книжку
Впродовж всього існування людства науковці вигадували теорії та пропонували ідеї, що, здається, просто не в’яжуться докупи. Їх називають парадоксами. Парадокси, запропоновані Ал-Халілі, переважно фізичні й астрономічні. Серед них є такі, що спантеличували навіть найбільші уми. Наприклад, як кіт може бути водночас і мертвий, і живий? Або як хтось може бути на десять років старший за свого близнюка?
За допомогою простих пояснень, що дозволяють зазирнути в голову тих, хто створив парадокси, Ал-Халілі допомагає нам зрозуміти, що насправді їх можна розв’язати, якщо поглянути на них з правильного боку. Він виявляє логіку, що лежить в їхній основі, так само переконливо, як описує своє довготривале захоплення цими класичними парадоксами. Так він вдихає життя в дану групу найзахопливіших понять у людському знанні. «Парадокс…» – розвага, що розширює кругозір.
Відгуки
Це глибока книжка, що завдяки зрозумілому стилеві викладу здається простою. Автор… має таке резюме, що засоромило б більшість науковців… Це не дивно, зважаючи на його схильність жваво й доступно подавати важкі для сприйняття речі. Настійно рекомендую цю книжку всім, хто цікавиться філософією та наукою. – Веблог «Книжкова рапсодія»
Це дослідження загадок фізики націлене на читачів наукпопу, але місцями все ж потрібно мати принаймні базові знання з вищої математики. Деякі з тих відомих парадоксів (чи, точніше, парадоксів сприйняття), що їх розбирає квантовий фізик, професор Ал-Халілі, досить легкі для розуміння. Наприклад, є такий парадокс, що пояснює, чому необхідна група лише з 57 людей, щоб двоє серед них точно мали спільний день народження – дарма що нам може підказувати наш мозок. Проте інші парадокси потребують трішки роз’яснення та інколи певних знань з історії фізики чи математики, зокрема відомий парадокс Зенона про Ахіллеса та черепаху, що, як видається, наводить на думку, що хай би як швидко Ахіллес біг, він ніколи не наздожене повільнішу черепаху. Це дуже цікава книжка, тут є деякі дотепні несподіванки, наприклад парадокс Ольберса: чому небо темніє вночі, хоч у ньому мільярди зір – це забезпечує доказ теорії Великого вибуху. Хоча вона не для пересічного любителя загадок, ця книжка мала б привабити читачів з необхідними предметними знаннями. – Дейвід Пітт, Букліст
Поки він не поспішаючи розкладає частинки пазлу кожного парадокса й використовує кожен момент, щоб подати доречне (чи не дуже) пояснення з фізики, ми розуміємо, що ця книжка не претендує бути підручником з теорії ймовірності, квантової механіки та законів термодинаміки. Натомість маємо зелене світло для подальших досліджень. Це тому що навіть пояснюючи складні поняття простору, часу і просторочасу, Ал-Халілі знаходить час посвятити читача в новаторські експерименти, суперництво та розвиток теорій – давніх, як сама наука. Так у відкриття він вносить історію й емоції, у відкриття, що збуджує цікавість у кожної людини (може, й інших створінь). Як і я свого часу, ви часто ловитимете себе на тому, що вгрузли по вуха в матеріали з вікіпедії та копаєтеся у власній голові – бажаючи знайти більше… – Наука під мікроскопом
Нова книжка професора Ал-Халілі розглядає по-новому деякі популярні загадки науки… Для поціновувачів наукової фантастики будуть інформативні міркування Ал-Халілі про теорію ймовірності й подорожі в часі; кота Шредінґера знову випустять з коробки. Ал-Халілі – майстер робити складне простим – завершує свою книжку парадоксом, що може от-от проявитися. Це якщо ЦЕРН цього літа повідомить, що дійсно існують частинки, швидкість яких перевершує швидкість світла. А це кине виклик законам фізики Айнштайна. – Індепендент
Читачі, що люблять випробовувати свої розумові здібності й дістають задоволення від наукових таємниць, насолодяться легкодоступним і безтурботним обговоренням разом з Ал-Халілі. – Паблішерз віклі
Надзвичайно цікава книжка з деякими дотепними несподіванками. – Букліст онлайн