r2u.org.ua / e2u.org.ua

2.7. Платон, Попер, Пенроуз
Дальші три розділи покажуть, що платонізм усе ще має істотний вплив на три сфери людської думки: чисту математику, фундаментальну фізику та теологію. Не потрібно погоджуватися з тим, що це бажаний і виправданий стан справ, щоб хотіти зрозуміти, чому це так. Варто вділити кілька сторінок з описом його історичного походження. Почнемо з Пітагора, який народився на грецькому острові Самосі за понад сто років до Платона і вивчав математику в Талеса в Мілеті. Він провів якийсь час у Єгипті та Вавилоні, але врешті оселився в Кротоні, на півдні Італії, де заснував школу послідовників, які називали себе пітагорійцями. Розповіді про його життя далеко не вірогідні, можливо, трохи більше ніж міти, але його школа, яку можна було б також назвати релігійним культом, поставила математику в серцевину реальності. Ось одне з їхніх переконань:
«Вдихання апейрона» [або, можливо, «поява структури в безмежному космічному хаосі»] також робить світ математичним, не просто можливим для опису за допомогою математики, а справді математичним, бо він демонструє числа та реальність, яку слід підтримувати за тим же принципом.
Грецький філософ Платон провів більшу частину свого життя в Атенах, де відкрив Академію, присвячену філософському мисленню в 386 році до н.е. Багато його книг зберігають і розкривають повністю пропрацьовану філософію. Його «Республіка» чудово чітка, але «Тимей», у якому виклав свої космогонії та релігійні погляди, незрозумілий без експертного тлумачення. Його платонізм протягом століть перетворився на неоплатонізм, і він справив значний вплив на ранньохристиянську церкву. Платонічний деміург, єдиний творець поза простором і часом, має багато спільного з християнським Богом, але не має особистих характеристик останнього.
Поняття Платона про ідеальні форми, пояснене в «Республіці», було центральне в його філософії. Він вважав, що краса, істина, справедливість та інші форми реальніші, ніж окремі їхні приклади, з якими ми стикаємося у своєму звичайному житті. Через Сократа він висловлює зневагу до тих, хто вважав, що матеріальний світ справжній, вважаючи за краще описувати його як слабку тінь первинної реальності ідеальних форм. Ці форми жодним чином не обмежувалися лише абстрактними сутностями:

Бог створив лише одну сутнісну Форму Ліжка в первинній природі речей, або тому, що він так хотів, або тому, що якась необхідність заважала йому зробити більше ніж одну; у будь-якому разі він не виробив більш ніж одну, і більше ніж одна не могла бути вироблена... І я гадаю, що Бог це знав, а що він хотів бути творцем справжнього Ліжка, а не просто столяром, який виготовляє певне ліжко, то вирішив зробити первинну реальність унікальною.[20]

Усі його форми існували в ідеальному світі поза простором і часом, і філософи могли вловити їх проблиски або, можливо, згадати їх з попереднього існування, доклавши достатніх зусиль. На Платона сильно впливали старший Сократ і пітагорійці, але він надавав математиці нижчий статус, ніж вивченню реальності, що осягається лише розумом, хоча обоє стосувалися ідеальних форм. Математика (під якою він мав на увазі аритметику та геометрію) переймалася міркуванням з припущень, а не перших принципів, і тому ніколи врешті не міг зрозуміти її предмет. Платон мало цікавився тим, що ми називаємо фізикою, вважаючи, що філософи повинні зосереджувати свою увагу на реальності, а не на недосконалих наближеннях до неї, які надавав фізичний світ.
Існують реальні відмінності між ідеальними формами, запропонованими Платоном, і тими, що ми називаємо поняттями. Поняття – це психічні стани; вони залежать від нашого існування і можуть бути невиразними. Вони можуть бути модифікованими або розвиватися з часом. Ідеальні форми, з іншого боку, існують самі по собі, і вони існували б, навіть якби люди ніколи не існували. Платон вважав, що кожна ідеальна форма унікальна, але це викликає величезні проблеми. Як кути ідеального трикутника можуть дорівнювати 180°, якщо кожен з них не має якогось встановленого значення? Очевидне розв’язання цієї проблеми полягає в тому, щоб мати різний ідеальний трикутник для кожного розміру і форми, але це свідчить про те, що з подібних причин має бути величезна різноманітність ідеальних ліжок. Навіть якщо хтось прийме це, у нього все ще будуть проблеми в ситуаціях, коли йдеться про кілька однакових трикутників у різних положеннях, як на рисунку 2.5.
Арістотель навчався в Платоновій Академії, але не погодився з великою частиною того, що Платон писав про філософію математики. Ставлення Арістотеля до світу було експериментальніше та емпіричніше. Зокрема, він розмежував фізику та математику і вважав фізику фундаментальнішою. Хоч у нас немає систематичної оцінки філософії математики Арістотеля, схоже, він вважав математику такою, що виникає завдяки процесові абстрагування від фізичного світу. Значення, яке Арістотель пов'язує зі словом "форма" – він також вживав слово "сутність" – істотно відрізняється від Платонового:

Математик теоретизує з абстракціями, бо він теоретизує, видаливши все відчутне, таке як вага та легкість, твердість та її протилежність, тепло та холод та інші відчутні протилежності. Він залишає лише кількісні та безперервні в одному, двох чи трьох [вимірах], і їх властивості як кількісні та безперервні, не враховуючи їх у жодному іншому аспекті.[21]

Арістотель сприймав за самоочевидне, що правильна абстракція геометричних аспектів світу була Евклідова геометрія – не, як ми знаємо тепер, а щось близьке, але в певних контекстах зовсім відмінне від Евклідової геометрії. Тому він готовий був зробити висновок, що властивості Евклідової геометрії, зокрема неперервність простору, обов'язково були відображені у фізичному світі. Сучасна експериментальна наука більше відповідає філософії Арістотеля, ніж філософії Платона, але платонізм зберігається в чистій математиці та теології.

Рис. 2.5. Чотири однакові трикутники.

Розповіді Платона та Арістотеля про людську душу важко пояснити, бо в кожному випадку різні тексти не узгоджуються між собою. Можливо, досить сказати, що їхні уявлення про душу відрізняються приблизно так само, як і їхні уявлення про форму. Тому ми не будемо намагатися детально описати їх вплив на пізніших філософів, таких як Авґустин і Декарт, хоча ці впливи мали велике значення.
Живучістю платонізм до нинішнього дня більше, ніж будь-кому іншому, завдячує неоплатоністові Плотіну (204–70 рр.) та святому Авґустину (354–430 рр.). Розглянемо їх у зворотному порядку. Авґустин, за винятком кількох років у Римі та Мілані, провів своє життя в Північній Африці, і останні 35 років був єпископом Гіпону-Регію (Анаба, Алжир). Велика кількість його творів збереглася до наших днів і розкриває його витончений і важливий внесок у християнську думку. Він розділив реальність на перехідний світ відчутних, або фізичних, сутностей та вічну духовну сферу, бо Бог – первинне джерело обох. Люди повинні були складатися з двох субстанцій, своїх матеріальних тіл і душ. Авґустин сприйняв як належне, що душа була вища і що вона була і нематеріальна, і безсмертна. Він стверджував, що люди можуть безпосередньо сприймати абсолютні істини математики та логіки за активною підтримкою Бога, процесом, який він назвав просвітленням (illumination). У свої пізніші роки він ставав дедалі фаталістичнішим, тобто прихильним до вчення про передвизначення, яке ніколи не було прийняте католицькою церквою. Більше про його вплив на християнську думку в 5 розділі.
Авґустин був важливіший за Плотіна в тому, що його синтез ідей Плотіна з ранньохристиянськими традиціями лежить в основі більшої частини сучасної теології. Бог Авґустина – це розвиток того, кого Плотін називає Єдиним. Єдине – це первинний, самоспричинений перший принцип, джерело світу платонічних форм, просте за своєю суттю, але само по собі не описовне; абстрактніше, ніж уявлення Авґустина про Бога, і не має елементу творчої любові. Авґустин прокоментував, що читав Святе Письмо та, зокрема, вчення апостола Павла, після ознайомлення з книгами платоністів, і наголосив на браку в цих книгах будь-якої згадки про милосердя, любов, жертовність, викуплення, спасіння та інші конкретно християнські догми.[22]
Попри зусилля Платона, Арістотеля, Авґустина, середньовічних філософів, Декарта та пізніших діячів, філософи все ще сперечаються щодо природи реальності, особливо у зв'язку з людською свідомістю. Повторення історичного розвитку цього предмета передбачало б пояснення таких понять, як субстанція, сутність (essence), прості природи та інші категорії, які значною мірою забуті в сучасному світі. Замість цього ми перейдемо безпосередньо до антиплатоністських філософських поглядів Карла Попера, одного з найвідоміших філософів науки у ХХ столітті.
Попер провів ранню частину своєї кар'єри у Відні та був пов'язаний з так званим Віденським гуртком філософів. Єврейське походження та піднесення нацизму змусили його емігрувати до Нової Зеландії в 1937 р. Більшу частину свого подальшого життя він провів у Лондонській школі економіки, проте відповідальний за гостру суперечку зі своїм колишнім студентом Імре Лакатошем, незабаром після свого виходу на пенсію в 1969 р. Лакатош був не єдиним, з ким він мав глибокі розбіжності; до цього списку ввійшли Людвіг Вітґенштайн та оксфордські філософи. Якось він описав останніх як "людей, що завжди нав’язливо чистять свої окуляри, а не дивляться через них на світ". Браян Мейґі, який його добре знав, писав, що він нещадно вів суперечки, виходячи за допустимі межі агресії, і що він, здається, не може прийняти існування різних поглядів.
У своїй книжці «Особистість та її мозок» (The Self and Its Brain) Попер припустив, що реальність має три аспекти. Його Світ 1, Всесвіт фізичних сутностей, містить у собі матеріальні тіла, сили та поля. Зокрема, він містить мозок, що розглядається як фізична сутність. Світ 1 краще зрозумілий, ніж будь-який інший світ, і всі наші високорозвинені математичні теорії стосуються його поведінки.
Попер визнає, що його Світ 2, світ психічних станів, суперечливіший. Поділ світу на фізичне та психічне не потребує пояснень, якщо бути психофізичним дуалістом. Редукціоніст же може обґрунтувати це покликанням на надзвичайний характер психічного світу, який перебуває біля вершини ієрархії редукціоністів. Глибина і складність наших процесів мислення не мають паралелі ніде в нашому світі, а може, і у Всесвіті. Якщо якийсь аспект редукціоністського світу заслуговує особливої уваги, то вибір повинен випасти на наші психічні сили. Попер продовжує:

Під Світом 3 я маю на увазі світ продуктів людського розуму, таких як розповіді, пояснювальні міти, інструменти, наукові теорії (чи то істинні, чи помилкові), наукові проблеми, соціальні інститути та твори мистецтва. Об'єкти світу 3 – це наші власні творіння, хоча вони не завжди результат запланованого продукування окремими людьми.[23]

Попер пояснює, що, хоча книжка належить до Світу 1, її зміст, який залишається інваріантним у різних примірниках, належить до Світу 3 як результат домовленості про тлумачення слів на сторінках. Він також покликається на певні матеріальні предмети, такі як картина або скульптура, що належать як до Світу 1, так і до Світу 3; аспект Світу 3 – те, що робить об'єкт значущим для людини. З цієї причини він розглядає суб'єкти у Світі 3 як абстрактні та публічні, або принаймні потенційно публічні. Вони можуть належати свідомості лише однієї людини, як це відбувається з математичною теоремою, про яку ще нікого іншого не повідомляли. Він наполягає, що сутності у Світі 3 реальні, бо вони можуть спонукати людей діяти у Світі 1 так, як вони інакше не вчинили б – це, справді, його критерій реальності. Зокрема, закон про належне покарання за вбивство може привести до страти особи, навіть якщо закон – нематеріальна сутність, належна суспільству загалом.
На рисунку 2.6 показані зв’язки між трьома світами Попера. Попер заявляє, що немає прямого зв’язку між його світами 1 і 3; сутності у Світі 3 можуть впливати на психічні стани людей, а це, своєю чергою, може впливати на їхні дії, а отже і на Світ 1.

Рис. 2.6. Три світи Попера.
[Світ 1 (фізичний) Світ 2 (психічний) Світ 3 (культурний)]

Я описав Світ 3 як такий, що складається з продуктів людського розуму. Але людський розум, своєю чергою, реагує на ці продукти: є зворотний зв'язок. На розум художника, наприклад, або інженера, сильно впливають самі об’єкти, над якими він працює. І на нього також впливають праці інших, попередників, а також сучасників. Цей вплив і свідомий, і несвідомий. Це залежить від очікувань, преференцій, програм. А що ми продукт інших розумів та власного розуму, то можемо сказати, що ми належимо до Світу 3.[24]

Попер протиставляє свій Світ 3 вічному світові ідеальних форм Платона такими словами:

Я противник того, що назвав би "есенціалізмом". Отже, на мій погляд, ідеальні сутності Платона не грають ніякої ролі у Світі 3. (Тобто Платонів Світ 3, хоча явно в деякому сенсі випередження мого Світу 3, здається мені помилковою конструкцією.) З іншого боку, Платон ніколи не допустив би таких сутностей, як проблеми чи припущення – особливо хибні припущення, – у свій світ об’єктів, доступних для розміння.[25]

Попер заявляє, що історія, повторювана усно в межах доісторичного племені і врешті-решт забута, з'являється у Світі 3, але потім "у певному сенсі зникає".[26] Радикальніше, з розповіді Попера про Світ 3 випливає, що якби людська раса разом з усіма нашими культурними продуктами мала б загинути внаслідок довкільної катастрофи, тоді Світи 2 та 3 зникли б цілком. Попри часозалежний статус, вони всі тепер однаково реальні.
Його неспроможність повністю вирізнити відмінність між Світом 3 та платонічним світом очевидна в його трактуванні музичних композицій:

Можна навіть сказати, що всю глибину [Моцартової симфонії «Юпітер»] неможливо охопити жодним виконанням, а лише слухаючи її знову і знову в різних інтерпретаціях. У цьому сенсі об'єкт Світу 3 – це справжній ідеальний об'єкт, який існує, але його немає ніде, й існування якого є якимось чином можливість його переусвідомлення людьми.[27]

Далі він припускає, що його "Світ 3, можливо, найкраще задуманий в платонічному ключі", перш ніж повторити відмінності між двома поняттями. Він міг (і повинен) зберегти відмінність, відзначивши, що "Моцартова симфонія «Юпітер»" – це загальний термін, що посилається на низку різних сутностей у Світі 3, що характеризується їх відповідністю до оригінальної музики. Використання одного слова для позначення їх усіх не створює ідеальної сутності з нічого.
У фізичному чи історичному контексті відрізнення істини та знання про істину зазвичай не розглядається як таке, що порушує філософські питання. Розглянемо питання про те, чи народився в Єгипті тисячний предок по чоловічій лінії британського прем'єр-міністра. Ми вважаємо це правдивим чи неправдивим, дарма що ніяких доказів тепер того чи того немає, бо ми розглядаємо історичні події як реальні. Ми робимо це тому, що в нас є багато підтвердних доказів для загальнішого твердження; той факт, що докази не містять відповіді на конкретне питання, не вважається важливим.
Однак ніхто не змушений приймати однаковий погляд на сутності у Світі 3. Однороги існують у Світі 3, хоча не існують у Світі 1. Як на мене, вони зазвичай білі, але це не питання, яке має об'єктивну відповідь. Якби була написана розповідь про чорного однорога – а, певна річ, пізніше я з’ясував, що хтось таки написав – я розширив би свої погляди на можливі кольори однорогів, не вважаючи, що виявив факт про однорогів, про який раніше не знав. Цей приклад дає змогу стверджувати, що ступінь, до якої сутність Світу 3 має певні властивості, може відрізнятися від випадку до випадку.
У математичному контексті можна вважати, що твердження про те, що теореми істинні до того, як вони були доведені, причіпка, коли доречно вживати слово "істинний" стосовно культурних творінь, – а Попер був дуже нетерпимий до словесних причіпок. Якщо ми використовуємо слово «істинний» лише стосовно математичного твердження, коли якась людина виявила, що це істина, а доведення ретельно перевірила спільнота, то істинні твердження про математичну сутність часозалежні, як і сама сутність. (Іншими словами, можна відмовитися визнати, що існує відмінність між онтологією та епістемологією математичних сутностей.) Це приводить до того, що, коли ми доводимо більше про математичну концепцію, сама концепція стає чіткішою, чи повнішою, у наших умах. Цю модифікацію Поперового викладу Світу 3 легше захистити, ніж його власний, у якому властивості математичної сутності "об'єктивно існують" з моменту побудови сутності. Це недалеко від позиції Вітґенштайна, який розглядав математичні доведення як створення нових зв’язків у мові, яких не існувало, доки воно не зробило їх.
Наведений вище опис Світу 3 близький до опису Попера, але можна підійти до нього з набагато менш філософської перспективи, з погляду еволюції структур – бібліотек, музеїв, професій, урядів, релігій, наук тощо – що визначають нашу цивілізацію.[28] До останніх десяти тисяч років людська культура переважно передавалася усно і була обмежена розміром та недосконалістю нашої пам’яті. Перехід до епохи неоліту зробив можливим накопичення дедалі більшої кількості предметів мистецтва, а також привів до розвитку писемної літератури, історичних та комерційних записів, музичних партитур, грошей та багатьох інших культурних артефактів. З цього погляду використання словосполуки «Світ 3» – це просто спосіб привернути нашу увагу до того, що більша частина нашої цивілізації вбудована в матеріальні об’єкти і залежить від них, що може бути оцінено людьми, яких ми ніколи не зустрічали. Багато з цих об’єктів створили люди, що давно померли, і вони впливатимуть на життя інших, які ще не народилися. Вони значною мірою покращують нашу здатність створювати ментальні уявлення про світ і трансформувати нашу природу як виду. Якщо прийняти ототожнення Світу 3 з людською цивілізацією, то його реальність навряд чи можна заперечити. Математичні твердження, які можуть бути, а можуть і не бути доведені через деякий час у майбутньому, називаються гіпотезами і, як такі, вони частина Світу 3. Вони приєднуються до Світу 3 як теореми після того, як будуть доведені.
У «Тінях розуму» (Shadows of the Mind) Роджер Пенроуз докорінно модифікує деякі Поперові ідеї, замінюючи Поперів Світ 3 світом платонічних форм. Він також розміщує свої три світи у трикутнику і з'єднує потім стрілками.
Інтерпретація його стрілки від ментального світу до платонічного світу не очевидна, бо платонічний світ існує незалежно від людських істот і на нього вони не можуть впливати. Справді, Пенроуз визнає, що така стрілка краще вписується в кантіанські (і поперіанські) рамки. Потім він, здається, відкликає власну пропозицію про те, що зв'язки повинні мати напрямки. Роль стрілки від платонічного світу до фізичного світу (який не має аналогу в поперіанській фігурі) також незрозуміла: механізм, через який математичні рівняння могли впливати на поведінку фізичних об'єктів, ніколи не був пояснений, і Пенроуз навіть не намагається це робити. Сам Платон казав, що фізичні об'єкти – це не більше ніж часткові та недосконалі копії відповідних платонічних форм, які існують на вершині філософської схеми Платона. Проблеми Пенроуза з поясненням власної діаграми ілюструють складність пов’язання платонізму з іншими речами, які ми тепер стверджуємо про світ.

Рис. 2.7. Три світи Пенроуза.
[Психічний/Ментальний світ Фізичний світ Платонічний світ]

Джордж Еліс також наводить аргументи на підтримку фізичної ефективності людських культурних інституцій. Багато його прикладів з «Фізики та реального світу» – проєкти величезного реактивного літака, політика житла, правила футболу, гроші, термостати – точно відповідають критеріям Попера для об'єктів Світу 3. У своїй лекції Темплтонівського фонду 2004 «Наука, складність та природа існування» він не розрізняє теорій Попера та Пенроуза; його текст тісно тримається Попера, але він посилається на Пенроуза. Він також пропонує подальший світ фізичних та біологічних можливостей. З лекції незрозуміло, чи вважає він, що цей подальший світ – концепція, запроваджена для того, щоб допомогти нам зрозуміти реальність, яка надто складна для розуміння без її допомоги, чи передбачається, що вона має самостійне існування; проте в інших місцях він виявляє себе сильним платоністом. Він присвоює існування будь-якій сутності, для якої можна продемонструвати, що вона має вимірний вплив на фізичну матерію, саме так, як це зробив Попер, а потім пише:

Існує реальність у просторі можливостей, який визначає, що є, а що неможливо (на нижньому кінці ієрархії це характеризується непорушними фізичними законами, онтологічний статус яких, однак, неясний).

Інтерпретація цього цікаво висловленого речення складна. Простір можливостей для ньютонівської механіки зовсім відмінний, не тільки в деталях, але й у всій його математичній структурі, від простору для квантової механіки. Кажучи, що онтологічний статус фізичних законів неясний, Еліс, схоже, відмовляється від будь-яких претензій на їх істинність, хоча перша частина речення, здається, відносить реальність до їх просторів можливостей. Це мусить бути головним питанням викладу про природу існування, але його розв’язання сильно залежить від того, чи бажає він зайняти платонічну чи Поперову позицію – Попер допускає помилкові теорії у своєму Світі 3, але Пенроуз і Платон, безумовно, ні.
Є люди, які вважають, що кожен можливий всесвіт насправді існує, так само, як і наш, але кажучи, що простір можливостей реальний, це не те саме, що говорити про те, що кожна можливість у ньому реалізується фізично. Це ж питання – джерело багатьох розходжень у думках у квантовій теорії. Деякі кажуть, що спостереження змушує світ перебувати в одному з двох можливих станів, а інші кажуть, що є два однаково реальні результати, хоча ми поінформовані лише про один. Щоб ще більше заплутати речі, інші кажуть, що єдине, що змінюється в спостереженні, – це наше знання про світ, а не сам світ. Квантова версія багатосвітової теорії передбачає суперпозицію величезного масиву однаково реальних світів. Такі питання породжують справжні пристрасті, але, здається, немає іншого способу вибору між ними, крім вираження особистих преференцій. Різниця між ними швидше метафізична, ніж наукова; всі вони дають однакові прогнози в реальних експериментах, бо залежать від розв’язання одних і тих же математичних рівнянь.
Попер і Пенроуз ілюструють два погляди на природу людської культури. Ряд науковців прагнуть пояснити це біологічно. Серед них – Едвард Вілсон. 1975 р. він написав книжку про генетичний контроль поведінки у тварин, і в останньому розділі наважився припустити, що деякі центральні аспекти поведінки людського виду також можуть бути пояснені у світлі теорії еволюції Дарвіна.[29] Це викликало жорстку критику через брак політичної коректності – це розцінювалося як перший крок до визнання того, що різні люди можуть мати різну генетичну обдарованість, а потім, можливо, використовувати це як виправдання ставлення до деяких гіршого, ніж до інших. Проблема полягала в тому, що його дослідженням могли скористатися люди, які мали зовсім відмінні порядки денні життя від його власного – саме це сталося з теорією Дарвіна багато десятиліть тому. Врешті-решт цей конфлікт певною мірою був згладжений зміною акцентів, коли ярлик Вілсона «соціобіологія» був замінений на «еволюційну психологію».
Ідеї в книжці Вілсона розроблені рядом біологів і привели до концепції генно-культурної коеволюції, терміна, який придумали Чарлз Лумсден і Вілсон 1981 року. Забавно, що, хоча три Поперові світи він описав як втілення плюралістичної філософії, Вілсон використовує подібний поділ на підтримку свого поняття збіжності [consilience. Автор означує як jumping together – стрибання разом. – Прим.], єдності всього людського знання.[30] Дивно, але він не згадує Попера в «Збіжності» і лише згадує Пенроуза один раз, і то негативно. Він уявляє, що і гени, і людська природа повільно змінюються з часом, кожне впливає на те, як розвивається інше. Людська природа також впливає і зазнає впливу культури, але гени та культура пов'язані лише опосередковано. Однак, у міру того як зростає наше розуміння генетичного коду, генна терапія починає забезпечувати прямий зв’язок від культури до генів. Досі не було спроб втручатися в статеві клітини, але це може бути лише питанням часу. Деякі релігійні авторитети вже попереджають, що це втручання у справи, якими повинен розпоряджатися лише Бог.
Культура людини відрізняється як кількісно, так і якісно від складних, але генетично обумовлених моделей поведінки інших тварин, що виражається, наприклад, у гніздах мурах, павучих сіттях та дамбах бобрів. Наш власний вид розробив сотні складних типів поведінки – танці, співи, виготовлення інструментів, приготування їжі, побудова притулків, релігійні ритуали, прикрашання тіла, виготовлення одягу, якщо назвати лише кілька. Багато з них передається в межах окремих племен і спільнот протягом багатьох поколінь, але вони часто сильно відрізняються від одного регіону до іншого. Загальна характеристика нашого виду, мови, також сильно різниться від одного місця та часу до іншого.
Вілсон не ставить під сумнів реальність людської культури, і можна здогадатися, що він вважатиме дискусію з цього приводу химерною. Він підкреслює, що взаємодію генів, людської природи та культури можна досліджувати науково. Питання, яке цікавить його як науковця, полягає в тому, як біологія та культура взаємодіють у всіх суспільствах, створюючи спільність людської природи. Це цікаве питання, але треба підкреслити, що воно ще в зародковому стані і стосується лише крихітної частини речей, які нам цікаві в людських суспільствах. Одна з таких – інцест, заборонений законом у багатьох суспільствах, але також пригнічений несвідомими, вродженими рисами. Інша – альтруїзм, вочевидь, суперечить Дарвіновій теорії, але насправді ні, якщо розглядати досить широко. Можна продовжувати такі дослідження, не вірячи, що вони забезпечують єдиний або навіть найважливіший підхід до таємниць нашої природи.
Річард Докінз пішов на крок далі від Вілсона, представивши ідеї мемів у книжці «Егоїстичний ген» у 1976 р. Це ймовірні одиниці культурної спадщини, що передаються соціально, а не фізично, і піддаються епізодичним мутаціям, як і гени. Характерно відверто він описує релігію як мем, щось на кшталт "культурного вірусу", існування та розвиток якого можна вивчити науково. Концепцію мему популяризувала невелика кількість людей, зокрема філософ Деніел Денет, і Докінз перелічує свої відповіді на деякі заперечення в 5-му розділі своєї книжки "Делюзія щодо Бога". Заперечення проти концепції мему полягає в тому, що це просто образна аналогія; вона не більше ніж стисло викладає той факт, що деякі ідеї можуть передаватися з невеликими змінами від однієї людини до іншої і можуть впливати на їхню поведінку. Ідея про те, що можна звести багату різноманітність наших традицій та вірувань до окремих, повторюваних одиниць, виглядає так, ніби це може бути відправним пунктом для редукціоністського наукового дослідження людської культури, але ті, хто наполягає на чеснотах цієї ідеї, по тридцяти роках не багато придумали, що привернуло б увагу. Можливий виняток – опис слів як окремих, культурно передаваних мемів, надзвичайно стійких протягом тривалих періодів часу.
Християнський погляд на нашу людську природу та культуру має платонічніший характер. Християнські богослови неминуче відкидають оснований на мемах Докінзів виклад про культуру та релігію. 2007 року архієпископ Кентерберійський, Ровен Вільямз присвятив значну частину лекції у Свонзі, пояснюючи, чому, на його думку, він абсолютно неадекватний, навіть несосвітенно дурний.[31] Бог як "основа буття" – це пояснення самої раціональності, а не те, що слід пояснювати раціонально. До нього звертаються через споглядання первинних істин, а не через науковий аналіз.
У своїй лекції Вільямз неодноразово говорив, що Докінз зводив релігію до певної стратегії виживання. Кілька людей зауважили, що це майже протилежне поглядам Докінза, висловленим у «Делюзії щодо Бога». Докінз пояснив, що вважає, що релігія – випадковий побічний продукт чогось іншого, культурний вірус, який відтворюється, попри згубний вплив на господаря.[32] Журналіст Джон Корнвел, також сильний критик Докінза, не припустився такої помилки у своїй останній книжці.[33] Вільямз, безумовно, також не погоджується з теорією культурного вірусу, але як теолог він мав особливо відповідально критикувати те, що насправді написав Докінз, і мав сказати це в самій промові. Однак ця помилка з боку Вільямза не впливає на те, що вони мають непримиренні розбіжності щодо обґрунтованості релігійної віри та природи реальності.

2.8. Висновок
Наука просунулася так далеко завдяки надзвичайному ступеневі регулярності у світі природи. Ми можемо зрозуміти цю регулярність лише тією мірою, якою здатні сформулювати її нашими власними термінами. Математика – один з інгредієнтів цього розуміння, але вона не може бути єдиною. Справді, в біологічних науках вона не має такого значення, як у фізичних.
Деякі люди стверджують, що фундаментальна фізика – це первинна реальність, а все інше має другорядне значення. Це надзвичайно спокуслива ідея для тих, що все своє життя вивчали цей предмет і хотіли б вірити, що їхні зусилля мають більше значення, ніж зусилля інших смертних. Однак, навіть якщо зрештою з’явиться кінцева Теорія всього, ми зможемо використовувати її лише тоді, коли ми, наукова спільнота, зрозуміємо, що означають рівняння. Кожен фізик може погодитися зі значенням Е (енергії) у відомому рівнянні Айнштайна Е = mc2, але для його адекватного пояснення знадобиться багато сторінок. Без тлумачення рівняння безглузді, не більше ніж патерни чорнила на аркуші паперу.
Ми знаємо, що наш психічний стан може впливати на фізичний світ. Ми навіть можемо вплинути на поведінку елементарних частинок, будуючи відповідні пришвидшувачі. Немає ніяких доказів того, що ми коли-небудь зможемо описати свої дії без посилання на наш психічний стан, і ми могли б також прийняти це. Такі факти можуть не мати значення для тих, хто займається фізичними науками, але решта з нас не слід звертати увагу на твердження деяких, що вони мають єдиний правильний спосіб опису світу. Це лише твердження про їхній особистий світогляд, і його не слід сприймати серйозно.

Примітки та покликання
[1] Slingerland, Edward (2008). What Science Offers the Humanities. Camb. Univ. Press.
[2] Davies, E. B. (2003). Science in the Looking Glass, Chapter 10. Oxford Univ. Press.
[3] Nancy Cartwright’s 2007 book, Hunting Causes and Using Them: Approaches in Philosophy and Economics, Camb. Univ. Press, focuses on different meanings of the word ‘cause’ rather than different contexts in which the word might be used.
[4] Magee, Bryan. (1997). Confessions of a Philosopher, p.83. Phoenix, Orion Books Ltd.
[5] Henke, D. (2004). Teleology: the explanation that bedevils biology. In John Cornwell ed. Explanations, p.151. Oxford Univ. Press.
[6] Davies, E. B. (2008). In Vincent F. Hendricks and Hannes Leitgeb eds. Philosophy of Mathematics, Five Questions, Chapter 8. Automatic Press, VIP.
[7] Norton, J. D. (2003). Causation as Folk Science, Philosophers’ Imprint, 3, 22pp.
[8] Polkinghorne, J. (1996). Beyond Science, p.17. Camb. Univ. Press.
[9] Bennett, Maxwell et al. (2007). Neuroscience and Philosophy. Columbia Univ. Press, New York.
[10] Midgley, M. (2003). The Myths We Live By. Routledge.
[11] Midgley, M. (1995). In J. Cornwell ed. Nature’s Imagination: the Frontiers of Scientifi c Vision. Oxford Univ. Press, USA.
[12] Wilson, E. O. (1998). Consilience, The Unity of Knowledge, p.132. Little, Brown and Co., London.
[13] Polkinghorne, J. (1996). Beyond Science, pp.71, 72. Camb. Univ. Press.
[14] Hume, David (1748). An Enquiry Concerning Human Understanding, Section VII.
[15] Slingerland, Edward (2008). What Science Offers the Humanities, p.24. Camb. Univ. Press.
[16] Pinker, Steven (2002). The Blank Slate. Penguin Books, London.
[17] Folina, J. (1992). Poincaré and the Philosophy of Mathematics. Macmillan Press Ltd., London.
[18] Folina (1992), Chapter 6.
[19] Slingerland (2008), pp.117–19.
[20] Plato. The Republic, Book Ten, Theory of Art.
[21] Aristotle. Metaphysics XI, 1061a29.
[22] Saint Augustine. Confessions, Book VII, Chapters 20, 21.
[23] Popper, K. R. and Eccles, J. C. (1977). The Self and Its Brain, An Argument for Interactionism, Chapter P2 and p.38. Routledge, London.
[24] Popper and Eccles (1977), pp.144, 145.
[25] Popper and Eccles (1977), p.43.
[26] Popper and Eccles (1977), p.449.
[27] Popper and Eccles (1977), p.450.
[28] The following was influenced by private communications with Petros Gelepithis.
[29] Wilson, Edward O. (1975). Sociobiology: The New Synthesis. Harvard Univ. Press, Cambridge, Mass.
[30] Wilson, Edward O. (1998). Consilience, pp.182–99. Lillian, Brown, and Co., London.
[31] How to Misunderstand Religion, lecture in the University of Swansea, 13 Oct. 2007, available at the Archbishop of Canterbury’s official web site.
[32] Dawkins, Richard (2006). The God Delusion, Chapter 5 , pp.200, 218. Bantam Press, London.
[33] Cornwell, J. (2007). Darwin’s Angel, An Angelic Riposte to ‘The God Delusion’, Chapter 19. Profile Books, London.

довотиму
кілька ангстрем
неухилььно
удостоєні
терзати
від самому початку

дякую

3
Природа математики
Наука навчила нас, що наша інтуїція часто помиляється.

3.1. Ранній вплив
Багато людей може згадати якусь подію на початку своєї кар’єри, яка мала великий вплив на її розвиток. Що стосується мене, це було прочитання книжки, яку я майже тридцять років навряд чи перед ким згадував. Рік був 1967; я якраз закінчив свою докторську дисертацію в Оксфорді і був готовий до нових ідей. Книжка називалася «Основи конструктивного аналізу», її написав відомий американський математик Ерет Бішоп. Протягом більшої частини своєї кар'єри він опублікував високоякісні статті цілком традиційного типу, але зрештою цим не задовольнився.
Книжка Бішопа знову відкрила дискусію, яка, на думку більшості людей, була врегульована в 30-х роках. Два знамениті математики, Давід Гільберт та Л. Е. Я. Брауер, перебували у відкритому конфлікті щодо правильних основ математики. Гільберт обстоював те, що тепер називається «формалізмом», програмою, в якій символи математики позбавлені змісту, щоб правильність доведень могла бути перевірена чисто формальними процедурами; в сучасних умовах це означало б маніпулювання математичними виразами, як це можливо для комп'ютера. (Це не означало, що Гільберт вважав символи дійсно беззмістовними.) Він вимагав доведень існування, щоб забезпечити спосіб побудови будь-якого об'єкта, який мав існувати. Їхній конфлікт перекинувся на інші питання і досяг критичного моменту, коли Гільберт змусив Брауера вийти з редакційної колегії журналу «Математіше анален» у 1928 році.
Історії математичного конфлікту між Брауером та Гільбертом та відкриття Курта Ґеделя в 1930-х роках розповідалися багато разів, тому нагадаю лише коротко. Метою Гільберта було знайти формальний підхід до основ математики, який би встановив назавжди її істинність та об'єктивність. Брауер вважав, що це неправильно: математиці потрібні кардинальні зміни, щоб усунути спокусу використовувати ідеї, які, врешті, позбавлені реального значення. Герман Вайль, один з найвидатніших математиків його епохи, протягом багатьох років надавав моральну підтримку інтуїтивістській програмі Брауера, навіть якщохоча усвідомлював, як серйозно вона впливає на корпус математики. На жаль для Брауера, її результати математична спільнота визнала неприйнятними. Формалістська програма Гільберта також зазнала невдачі з наведених нижче причин, але чомусь його загальні погляди на природу математики вціліли. Його коментар "ніхто не вижене нас із раю, який створив для нас Кантор", зрештою, змусив філософа Вітґенштайна написати:

Я б сказав: "Я б і не мріяв намагатися когось вигнати з цього раю". Я б спробував зробити щось зовсім відмінне: я б спробував показати вам, що це не рай – щоб ви покинули його на власне бажання. Я б сказав: "Ласкаво просимо до цього, просто подивіться навколо себе".

Ґеделеві було лише 25 років, коли він зробив перші свої приголомшливі відкриття в 1931 році. Він довів, що в будь-якій достатньо складній формальній системі, як, наприклад, звичайній аритметиці, повинні існувати твердження, які мають сенс, але їх не можна ні довести, ні спростувати в межах цієї системи. Це багато хто трактував, зокрема сам Ґедель у подальшому житті, так, що існували математичні результати, які були істинні, але не доступні людському розумові. Ґедель ніколи не покидав своєї віри в те, що в математиці існує така річ, як абсолютна істина, і що інтуїція може якось подолати прогалину, яку розум не міг би заповнити. Сьогодні багато математиків ставиться до цього неоднозначно. Вони використовують теорію множин, одне з найбільших джерел суперечок, як будівельник використовує лопату (вони вважають її корисним інструментом, але не базовішим, ніж інші частини математики) і обережно уникають абстрактніших аспектів предмета.
Одне з питань, пов'язаних із теорією множин, проілюстроване на рисунку 3.1. Класичні математики готові розглядати всю множину (під якою ми завжди маємо на увазі сукупність) областей у площині як єдине ціле, дарма що різноманітність таких областей буквально виходить за рамки уяви. Коли вони говорять про те, що всі області мають якусь властивість, то уявляють, що одну з них вибирають довільно з усієї множини областей і можуть впевнено стверджувати, що вона має цю властивість.

Рис. 3.1. Дві області в площині.

Математики-конструктивісти уникають посилань на множину всіх областей і тлумачать одне і те ж твердження так. Якщо конструктивно визначити певну область, то існує відома процедура доведення того, що область має необхідну властивість. Вони не використовували б, як це робив би класичний математик, теореми існування, які не дають інформації про сутність, що має існувати. У звичайній розмові обидва математики можуть використовувати абсолютно однакову форму слів, але все ж буде реальна відмінність у тому, що вони мають під ними на увазі.
Зменшім рівень абстракції, обговорюючи прикраси замість областей у площині. Який-небудь експерт у цій галузі буде знайомий з дуже широким асортиментом ювелірних виробів і, можливо, брав участь у їх виготовленні чи дизайні. Він, можливо, знає про різні типи ювелірних виробів, які носили в різні періоди та в різних культурах. Йому немає потреби вірити, що існує абстрактний набір усіх можливих прикрас, зокрема ювелірні вироби, які можна було б спроєктувати, але ніколи цього не буде. Такі ідеї сторонні для галузі та нічого не додають. Не потрібно так негативно ставитися до теорії множин у математиці, а розумно розглядати її як організаційний спосіб, а не як опис платонічної реальності.
До 1960-х років більшість математиків вважала, що основоположні дебати закінчились і що Ґеделева наука увібрана в їхню культуру. Отже, це стало неабияким сюрпризом, коли Бішоп у 1967 році показав, що в одній з головних галузей математики жертви, необхідні для виконання конструктивістської програми, були насправді зовсім невеликі, і що конструктивні доведення теорем потребують лише нормальної, очевидної математики. Він показав, як побудувати дійсну і комплексну системи чисел, і розробив значну частину математики, використовуючи цілком конструктивні методи, які міг прийняти будь-який математик. Це відрізняло його підхід до конструктивізму від підходу Брауера, чия інтуїціоністська математика містила теореми, які були класично помилкові.
Не потрібно опрацьовувати її формальні деталі, щоб зрозуміти широке значення програми Бішопа. Кожне доведення в Бішоповій системі також класичне доведення, тому кожна теорема, яка має конструктивне доведення в сенсі Бішопа, також істинна класично. Розуміння характеру його програми не залежить від ознайомлення з формальною логікою чи філософією – питання полягає в тому, чи корисні переваги від здійснення його програми, принаймні в деяких ситуаціях.
Відмінність між класичною та конструктивною математикою можна проілюструвати так. Припустимо, ви нещодавно поклали мобільний телефон, але не можете згадати куди. Класичний математик може вас запевнити, що він все-таки повинен існувати і що ви зрештою знайдете його. Конструктивний математик сказав би, що питання полягає в тому, щоб знайти його, і запропонував би вам зателефонувати на свій же номер з іншого телефона та намагатися почути мелодію дзвінка. Класичний математик може заперечити, що це дуже особлива процедура, застосовна лише до мобільних телефонів, тоді як вони використовували загальний принцип, згідно з яким тверді предмети просто не перестають існувати без причини.
Вищевказана аналогія має свої недоліки, але її мораль правильна: конструктивна математика вимагає більшої винахідливості, а конструктивні розв’язки часто мають обмежене застосування. Однак відмінність може бути важливою. Деякі зі стандартних теорем, що їх викладають в університетах, стверджують, що певний тип рівняння завжди має якийсь розв’язок. (Теорема про проміжне значення одна з таких.) Така теорема може бути лише конструктивно істинною в розумінні Бішопа, залежно від подальшої умови, яка дає змогу числовому аналітикові записати процедуру пошуку цього розв’язку. Без додаткової умови числова процедура може не знайти розв’язку або навіть знайти щось, що видається розв’язком, а насправді навіть не близьке до нього. Класичні математики можуть не перейматися подібними питаннями, але деякі з нас переймаються.
Це, можливо, створило враження, що існує лише два види математики – класична та конструктивна, але це далеко не так. Деякі, як математик дев'ятнадцятого століття Леопольд Кронекер, строгі фінітисти і не приймають існування ірраціональних чисел, таких як квадратний корінь з 2 або π = 3,14159... . Бішоп не займав жодної з цих позицій. Він цілком щасливо стверджував, що π існує, бо для нього це означає, що на цей час існує процедура знаходження стількох цифр π, скільки захочеться.
Бішоп мав сильні філософські резони для розвитку своєї теорії. Він писав:

З конструктивного означення цілих чисел ми розпочали наше дослідження технічної реалізації конструктивістської філософії. Наша позиція полягає в тому, щоб описати математичні операції, які можуть виконувати фінітні (скінченні) істоти, коротше чоловіча математика. Навпаки, класична математика займається операціями, які може виконувати Бог... Ви можете подумати, що я жартую або намагаюся відкинути класичну математику, вводячи Бога в цю дискусію. Це не так. Я роблю все можливе, щоб розробити надійний філософський фундамент, оснований на сенсі, а не на формалістиці, для сучасної класичної практики.

Гелен Біліндж (Helen Billinge) стверджувала, що Бішоп не розробив систематичної філософії конструктивної математики. Правда, він не звертався до філософів. Його мета полягала в тому, щоб переконати математиків у чеснотах свого підходу, через опрацювання деталей, і в цьому він досяг більшого успіху, ніж це було очевидно за його життя. 1973 року Американське математичне товариство запропонувало йому прочитати серію з чотирьох лекцій під назвою «Шизофренія в сучасній математиці», але, попри це, він вважав, що загальна реакція на його ідеї була байдужа або ворожа, і, серед іншого, це привело до інфаркту.
Зачеплені питання можна проілюструвати, вивчивши першу 501 цифру π:
π ~ 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410270193852110 555 964462294895493038196 44288109756659334461284756482337867831652712019091 45648566923460348610454326648213393607260249141273 72458700660631558817488152092096282925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912
Поміркуйте над питанням: чи існують як завгодно довгі послідовності суміжних п’ятірок у десятковому розширенні π? Більшість математиків здогадується, що відповідь "так", але все, що можна побачити, дивлячись на цифри, представлені вище, – це послідовність трьох поспіль 5, підкреслена вище. Сучасна технологія обчислення цифр π, ймовірно, дає змогу знайти послідовність десяти суміжних п’ятірок, але, очевидно, це не сприяє відповіді на питання. Не існує суто обчислювальної процедури, яка б знайшла перший мільйон послідовних п’ятірок (якщо такий є). Надприродна істота могла б з першого погляду розглянути цілий набір усіх цифр π і негайно відповісти на питання. Платоніст сказав би, що множина всіх цифр π існує, і тому відповідь – або так, або ні. Бішоп відповів би, що жодна з цих відповідей не корисна, бо ми не маємо доступу до Бога. (Я тут плутаю Бога з платонізмом, але це тому, що Бішооп згадав про Бога.)
Математик, якого запитують, множина сутностей скінченна чи нескінченна, може дати відповідь "так", "ні" або "ми не знаємо наразі". Платоністи сказали б, що це нікуди не годиться, бо втягує математиків у проблеми, які їх не стосуються, але Бішоп вважав, що стан математичних знань із часом змінюється, і він просто визнає цей факт. У своїх офіційних публікаціях конструктивні математики швидше просто мовчать, стикаючись із невизначеністю, а не стверджують, що кожне змістовне твердження повинно бути правдивим чи хибним. Філософською мовою, вони вважають, що в математику не повинні проникати онтологічні навантаги: квазірелігійні переконання про справжню природу речей.
Моя власна реакція на книжку Бішопа була двояка. Мене дуже приваблював його погляд на математику, але я також бачив, що відкрита його підтримка може не піти на користь моїй кар’єрі. Деякі з моїх найкращих ранніх досліджень були відповідями на його вплив, але я виклав їх у класичній формі і не згадував про цей факт. Його ідеї дали мені бачення математики, що мало впливати на мене та деяких інших з мого покоління протягом усього нашого життя. З плином часу я зрозумів, що не був інтелектуально чесним, і став класифікувати себе як плюраліста.

3.2. Плюралізм у математиці
Люди захоплювалися математикою протягом усієї записаної історії. Дійсно, коли цивілізація дійшла до того, що стали важливими бюрократія, рахівництво та оподаткування, аритметика швидко розвинулася. Вавілонські, єгипетські, китайські, індійські та арабські математики розробили систематичні способи ведення обчислень в аритметиці, і відповіді, які вони отримали, такі ж правильні сьогодні, як і в той час. Вони також ввели ідею формулювання практичних задач як рівнянь, що містять невідомі величини, та розробили систематичні способи розв’язання рівнянь. З іншого боку, Евклідові «Елементи», опубліковані в тринадцяти книгах близько 300 до н.е., забезпечили зв'язаний масив геометричних теорем із загальними доведеннями і стали зразком для всієї сучасної математики. Усі ці результати були зібрані разом під час розквіту ученості під назвою Золота доба ісламу, яка настала після заснування Багдаду в 762 році.
Філософи протягом століть вважали математику захопливою, бо вона, здається, забезпечує єдиний масив певних знань. Майже все інше, як видається, залежить від суджень, про які люди можуть і сперечаються. Якщо знехтувати деякими недоліками, виявленими Гільбертом близько 1900 року, доведення Евкліда приймаються і ними захоплюються сьогодні так само, як і дві з половиною тисячі років тому. Жодна інша сфера знань не може на таке претендувати, і це потрібно пояснити. Проте наше ставлення до Евклідової геометрії кардинально змінилося. До останніх двохсот років її розглядали як точний опис фізичного світу; тепер її розглядають як абстрактну аксіоматичну систему, яка досить точно відповідає світові, хоча, безумовно, неправильна в ситуаціях, коли доречна спеціальна або загальна теорії відносності. Математична визначеність збереглася шляхом заперечення будь-якого необхідного зв’язку між математикою та природою зовнішнього світу. Отже, визначеність щодо вибраних припущень або аксіом. Зробіть відмінні припущення, і замість Евклідової геометрії ви отримуєте гіперболічну геометрію. Для математика тепер немає сенсу питати, котра з них правильна; обидві співіснують і однаково справедливі.
Є ще одна сфера діяльності, в якій немає місця для розбіжностей щодо фактів, численні та різноманітні ігри, в які грають люди. Загальна відповідь на це, що математика – серйозний предмет, який не можна порівнювати з легковажним проведенням часу, не обґрунтована, бо всі аналогії між двома різними предметами мають обмеження. Дейвід Велз зазначив, що багато відомих математиків цікавилися іграми і що зв'язки тут широкі та глибокі.[1] Ігри, геометричні головкрутки та коди непомітно перетворюються на задачі комбінаторики, теорії графів і теорії чисел, бо контекст розширюється. Гра в хрестики-нулики – це гра, принаймні поки людина не засвоїть стратегію уникнення поразки, але визначення оптимальної стратегії для багатьох складніших варіацій гри вкрай нетривіальне. Той факт, що в кожному конкретному випадку існує оптимальна стратегія, випливає з кінцевої тривалості ігор, але кількість різних способів грання в складну гру така величезна, що не можна сподіватися її знайти перерахуванням, і доводиться вдаватися до теоретичних, тобто математичних, методів.
Різноманітні підходи до основ математики почали з’являтися на світ наприкінці ХІХ століття, а пов’язані з цим питання ставали дедалі гострішими в першій половині ХХ століття – деякі з них ми описали в останньому пункті. До 1940 р. всі ідеї провалилися, і, здавалося, пошук надійних основ не міг досягти успіху. Поточну ситуацію можна зрозуміти, покликаючись на поняття (метафізичних, теоретичних чи лінгвістичних) рамок.[2] Відповідно до цього не можна говорити про істинність твердження чи існування абстрактної сутності, поки людина не вибрала рамок, у межах яких робиться твердження. Вибір рамок базується на їх плідності в конкретному контексті.
За Вітґенштайном, соціальна взаємодія між людьми ґрунтується на широкому різноманітті «мовних ігор», кожна з яких зі своїми правилами та умовами. (Термін "мовна гра" створює невдале враження легковажності, але він визнаний.) Значення слів можна зрозуміти, лише вивчивши їх вживання, яке може змінюватись від одного соціального контексту до іншого або від однієї мовної гри до іншої; багато філософських розбіжностей виникає через невизнання цього факту. Єдина опублікована книжка Вітґенштайна, "Логіко-філософський трактат", вийшла 1921 року і позначила його як філософського генія, але він суттєво змінив свої погляди в подальшому житті. Попри величезну літературу, яку опублікували інші про його пізнішу працю, досі існують розбіжності щодо його філософських переконань.
Математики-класики та конструктивісти вважають, що переваги їхніх власних математичних рамок такі великі, що від інших слід відмовитися. Плюраліст, з другого боку, може переходити від одних до інших, залежно від контексту. Прийняття плюралізму серйозно накладає на математиків додатковий тягар – треба пам’ятати, які теореми мають конструктивні доведення, а які наразі ні та які навряд чи матимуть. Класичний математик може запитати, чому слід взяти на себе додатковий тягар запам’ятовування, яку частину предмета можна реалізувати в конструктивних рамках. Одна відповідь суто естетична: якщо ви насолоджуєтесь видами на вершини двох різних гір, то чому слід робити вибір між ними? Друга – що математика – це більше, ніж те, чи можна довести певні твердження. Кожне нове доведення теореми передбачає різні уявлення: деталі конструктивного доведення розповідають щось цікаве, навіть якщо не сприймати конструктивізм як філософію. Коли класична теорема помилкова конструктивно, вона часто має конструктивний аналог, і відмінність між ними говорить щось про проблеми, пов'язані з доведеннями.[3]
Конструктивні методи можуть не зробити жодного внеску в деякі контексти. Сюди входять частини алгебри, геометрії та вищі царини теорії множин. Хоча частини аналітичної топології мають конструктивні версії, не ясно, чи переваги переважають недоліки. Однак у галузях, що припускають кількісні межі, можна здобути повніше розуміння зв'язків між різними результатами, відстежуючи, які конструктивні, а які – ні. Це стосується не лише числового аналізу, хоча він особливо важливий у цьому контексті.
У 1997 році видатний логік Соломон Фефермен (Solomon Feferman) дав детальний логічний аналіз Бішопової системи і дійшов висновку, що вона забезпечує життєздатну альтернативу до науково застосовних частин класичної математики.[4] Попри це (або, найпевніше, через незнання) деякі видатні математики, зокрема володарі медалей Філдза, засвоюють дуже вороже ставлення до тих, хто не сприймає консенсусу так, як його сприймають вони: я сам пережив це на публічних зборах. Цікаво, що, хоча математики зазвичай вкрай м'які, вони так не звикли мати справу з розбіжностями в думках, що їхні реакції в такому контексті можуть бути дуже незрілими.
Карнапові ідеї щодо лінгвістичних рамок піддав критиці в 50-х роках американський філософ Вілард вен Ормен Квайн (Willard van Orman Quine), який намагався врятувати математичний реалізм за допомогою «аргументу незамінності» (indispensability argument). Пізніше Патнем пояснив це так. Через те що використання математичних сутностей необхідне для науки, і ми засвоюємо реалістичне ставлення до науки, інтелектуально нечесно стверджувати, що математичні сутності просто вигадані.[5] Сила реалізму Квайна полягає в тому, що він дає змогу уникнути будь-якого звернення до платонічної сфери. Слабка сторона – те, що він робить істинність рівняння 2 + 2 = 4, начебто, залежною від природи фізичного Всесвіту, тоді як будь-який математик скаже, що це логічна істина. Чи існували б числа 2 і 4 як логічні конструкції, якби не було Всесвіту, – одне з тих питань, які зачаровують певних людей, залишаючи інших повністю байдужими. Ще одна проблема реалізму Квайна полягає в тому, що він не дає ніякого обґрунтування для тих частин чистої математики, які фізика не використовує.
Важлива слабкість квайнеївського реалізму – те, що він робить помилкове припущення, що математика математиків по суті така ж, як і математика типових фізиків. (Я говорю тут про загального фізика-теоретика: спектр ставлення до математики між ними та чистими математиками безперервний.) Насправді мета фізиків – отримати формули, які можна перевірити на відповідність до результатів експериментів; чи така формула була виведена через процедуру, яку чистий математик вважає строгою, їх не цікавить. Відомий фізик, що вирішив за ліпше залишитися неназваним, одного разу сказав, що знає, чому щось було теоремою, і вважав, що надання строгого доведення або навіть логічно точного твердження буде марною тратою зусиль, дарма що йому надали ряд контрприкладів, які він вважав "патологічними".
Квантова електродинаміка (КЕД) дуже наочно ілюструє прірву між чистою математикою та теоретичною фізикою. Величини, які цікавлять, – це суми нескінченної кількості доданків, кожен з яких пов'язаний з тим, що називається діаграмою Файнмена. На жаль, кожна діаграма представляє інтеграл, значення якого нескінченне, а для отримання скінченного числа потрібно виконати процедуру, яка називається перенормуванням. Навіть тоді очікується, що сума нескінченного ряду буде розбігатися, тому додається подальша спеціальна процедура для обходу цієї проблеми. З погляду фізика, КЕД – надзвичайно успішна теорія, яка дала змогу обчислити аномальний магнетний момент електрона більш ніж до десяти значущих цифр. Строгі математики вважають, що КЕД не існує в жодному змістовному сенсі – це набір рецептів, які схожі на математику на поверховому рівні, але насправді не стосуються жодної несуперечливої математичної структури. Дійсно, прийнято, що як математична структура КЕД внутрішньо непослідовна, але, на щастя, невідповідності приховані для експериментальних режимів, що викликає занепокоєння.
У кінці 1960-х і в 1970-х група математичних фізиків, більшість з яких були в університетах американської Ліги плюща, доклала великих зусиль до розв’язання цих проблем. Після десяти років роботи вони змогли встановити послідовний спосіб видалення всіх нескінченостей для різноманітних «суперперенормовних» моделей у двох просторочасових вимірах і кілька в трьох просторочасових вимірах. Як передбачили деякі люди зі спільноти фізиків-теоретиків, вони не змогли створити єдину модель, що демонструвала б справжні взаємодії частинок у чотирьох просторочасових вимірах, єдиний фізично важливий випадок.
В інших випадках теорія може бути досить чітко визначена, але розв’язання відповідних рівнянь із перших принципів неможливе. Фізики часто припускають, що розв’язок може бути наближений простим виразом, що містить кілька параметрів, а потім проводять обчислення на основі цього, використовуючи експериментальну інформацію для встановлення значень параметрів. Відмінність між цим типом теоретичного обчислення та строгим виведенням розв’язку математиком добре відома. У гірших випадках дві групи не спілкуються і не мають взаємної поваги. Іноді математики можуть приймати "розв’язки" фізиків як припущення, які вони намагаються довести "як належить".
Через те що прикладні математики та фізики більше зацікавлені в отриманні придатних формул, ніж у строгих доведеннях того, що їхні рівняння мають розв’язки, їм слід віддавати перевагу конструктивній математиці, яка дає і те і те. На практиці їхні аргументи однаково справедливі (або несправедливі) незалежно від того, вважаються вони класичними чи конструктивними. Петер Лакс, один із найвизначніших прикладних математиків останніх десятиліть, дуже добре знає, що таке строгі математичні доведення. Він зазначив, що в механіці плинів людям доводиться регулярно справлятися з проблемами, що, як відомо, не мають розв’язків. За Лаксом, вони можуть "використовувати кілька різних числових методів для обчислення приблизних розв’язків та порівняння результатів. Якщо вони підставово узгіднені, [математики] можуть бути впевнені у своїх результатах.[6] У таких ситуаціях відмінність між класичною та конструктивною математикою знову несуттєва.
Деякі чисті математики розглядають спосіб, яким фізики використовують "їхній" предмет, як близький до проституції. Це зовсім неправильно. Чисті математики не володіють математикою, яка має набагато більшу різноманітність, ніж змусив би повірити жорсткий аксіоматичний консенсус ХХ століття. Те, що роблять прикладні математики та фізики, цілком доречне в їхньому контексті.

3.3. Математичний платонізм
З цього моменту далі платонізм вважатиметься математичним платонізмом, як описано нижче. Вважається, що теореми – істинні твердження про позачасові сутності, істинні незалежно від того, чи були вони коли-небудь сформульовані, чи коли-небудь будуть сформульовані людьми, і мають вони доведення чи ні. Платоністи вважають, що нескінченна множина всіх натуральних чисел насправді існує і має об'єктивні властивості. Це зовсім відмінне від додавання існування цієї множини до деякої математичної структури як обдуманого вибору; останнє робить існування множини домовленістю, а не незалежною істиною.
Вищеописане означення платонізму іноді оскаржують математики, але воно прийняте у філософських колах.

Для платоніста математичні твердження істинні або хибні незалежно від нашого знання їхнього значення істинності: вони виявляються істинними чи хибними, залежно від того, як ідуть справи в математичній царині. І це може бути так лише тому, що, своєю чергою, їх значення не даються не через посилання на наші знання про математичну істину, а через те, як ідуть справи в царині математичних сутностей... Математик, отже, зацікавлений, з цього погляду, правильним описом особливої царини реальності, порівнянної з фізичними сферами, описаними географом та астрономом.[7]

Платонізм добре поєднується з відчуттями більшості математиків щодо їхнього предмета. Різні математики погоджуються щодо того, що є істинне і хибне, до такої міри, з якою не потягається жоден інший предмет, і така згода часто триває протягом сотень років. Ба більше, вони відчувають себе так обмеженими формулами, що це вселяє думку, що вони вивчають щось об'єктивне. Можливо, питання полягає в тому, чи це щось можна знайти в природі, логіці або характеристиках людського мозку.
Відмінність між платоністами та неплатоністами – це не просто філософський виверт. Існує далека можливість того, що базова аритметика, як ми її розуміємо, внутрішньо не несуперечлива. Платоністи зазвичай заперечують це, бо вважають, що нескінченна множина всіх натуральних чисел існує в об'єктивному розумінні, і стверджують, що аксіоми, які ми використовуємо для її вивчення, – її очевидні властивості. Ґедель довів, що несуперечливість аритметики неможливо встановити без введення подальших припущень, які, своєю чергою, можуть бути піддані сумніву; він залишив відкритою далеку можливість того, що її несуперечливість може бути спростована одного дня, можливо, досить елементарним аргументом. Деякі видатні математики, зокрема Джек Шварц, вважають, що несуперечливість аритметики не очевидна, бо деякі давні переконання в інших галузях математики згодом виявилися неправильними.[8] Очевидний приклад – аксіома паралельності Евклідової геометрії (п’ята аксіома Евкліда). Протягом багатьох століть більшість математиків вважала, що її можна довести з інших аксіом Евклідової геометрії, хоча не змогли цього зробити. Між 1800 та 1850 роками ставлення повністю змінилося; стало очевидно, що існує багато однаково цікавих типів геометрії, лише в одному з яких виконувалася аксіома паралельності.
Є кілька дуже видатних математиків, які серйозно віддані типові платонізму, про який я писав вище, і чиї переконання містять впізнавані елементи того, чого навчав сам Платон. Ось, наприклад, цитата з Роджера Пенроуза:

Коли комунікують математики, це стає можливим завдяки тому, що кожен з них має прямий шлях до істини, свідомість кожної істоти в змозі сприймати математичні істини безпосередньо, через цей процес «бачення»... Через те що кожен може контактувати зі світом Платона безпосередньо, вони можуть легше комунікувати одне з одним, ніж можна було очікувати. Психічні образи кожного з них при цьому платонічному контакті можуть бути досить різними в кожному конкретному випадку, але спілкування можливе, бо кожен безпосередньо контактує з тим самим зовнішнім платонічним світом! [9]

Ален Кон, ще один надзвичайно видатний математик, висловив свій платонізм такими словами:

Я вважаю, що математика має об’єкт, такий же реальний, як і науки, про які я згадував вище, але цей об'єкт не матеріальний, і він не розташований ні в просторі, ні в часі. Однак цей об'єкт має існування, що таке ж тверде, як зовнішня реальність, і математики стикаються з ним приблизно так само, як стикаються з матеріальним об'єктом у зовнішній реальності... Насправді завжди буде якась властивість, що cтосується [математичної] реальності, але яка уникає способу дослідження, що надається аксіоматичними, логіко-дедуктивними методами.[10]

З погляду більшості математиків, платонізм – це зручне переконання, зміст якого зазвичай не сформульовано детально. Упевненість у тому, що на ваше запитання вже є об'єктивна відповідь, яка перебуває в платонічній царині невизначеного характеру, дає сильний стимул для спроб її знайти. Математик Пал Ердош, переконаний платоніст, навіть посилався (жартуючи?) на Божу книгу, в якій мали бути знайдені найкращі доведення всіх теорем. Ґедель та пізніше Тюрінг змінили наше уявлення про те, що довідне в математиці, але платоністи чіпляються за надію, що існує кращий світ, у якому межі, які відкрив Ґедель, можна переступити. Стверджувати, що платонізм очевидно правильний і заперечувати його просто смішно, – це пов’язати себе з квазірелігійним світоглядом. Він досить нешкідливий у рамках чистої математики, але збіднює розуміння математиками решти світу. Геоцентрична теорія світу також нешкідлива для майже всіх повсякденних цілей, але ми, безумовно, праві, що відмовилися від неї.
Багато математиків, які видають себе за платоністів, мало цікавляться історичними чи філософськими дослідженнями цього предмета; їхня віра в платонізм базується на його інтуїтивній правдоподібності, що, як відомо, дуже ненадійна основа для судження про наукову істину. Результат гнітюче знайомий в інших сферах життя, зокрема релігії; хтось каже вам, що вони вірять у X, але під час перехресного допиту виявляється, що вони не погоджуються з більшістю принципів, що зазвичай пов’язані з X. Якщо хтось не полінується показати, що в одній версії платонізму мало суті, ймовірно, через деякий час зіткнеться з модифікованою версією, а пізніше ще з однією.
Останній захист таких людей – відмовитися від того, що називається формалізмом, твердження, що математичні аргументи – це не що інше як маніпулювання беззмістовими символами відповідно до певних формальних правил. Це дійсно те, що роблять комп’ютери, коли вони використовуються для перевірки правильності математичних доведень, але це не схоже на мисленнєві процеси математиків. Ми знаємо, що в нас є ідеї, хоч би якими вони були, і думаємо про них дуже загально та інтуїтивно, перевіряючи та модифікуючи свою інтуїцію повторними розрахунками, поки не відчуємо, що уявлена структура має інтелектуальну цілісність. Тоді ми передаємо свою роботу іншим, щоб з’ясувати, чи згодні вони з нашими судженнями.
Однак відкидання формалізму жодним чином не змушує прийняти платонізм. Тепер різноманітність переконань, пов'язаних з останнім, така велика, що Марк Балаґер написав книжку, в якій їх каталогізує, порівнює та оцінює їх. [11] Він робить висновок, що «Платонізм та антиплатонізм – це цілком придатні філософії математики». Однак те, що обидві позиції внутрішньо несуперечливі з логічного боку, не означає, що обидві однаково добре підхожі для інших речей світу, у які ми віримо. Балаґер не ставить таких питань.
Потрібно лише ознайомитися з недавнім розмаїттям авторських статтей, щоб зрозуміти, що багато філософів не вражені передбачуваними чеснотами платонізму.[12] Фрази в статтях на кшталт "хвороба" (Бел) та "каламучення вод" (Тайт). Один з провідних логіків, який цікавиться філософськими питаннями, Соломон Фефермен, написав багато технічних праць, досліджуючи те, що можна і що не можна довести в різних системах аксіом у логіці. Його висновок такий:

Хоча [платонізм] узгоджується з розумовою практикою математика-практика, я вважаю цей погляд по-філософському безглуздим... теоретикомножинний платонізм – це середньовічна метафізика математики.[13]

Однак я мушу підкреслити, що:
Платонізм – врешті-решт світогляд, і не можна довести істинний він чи хибний через логічну аргументацію. Його правдоподібність – інше питання.
Прихильники платонізму часто стверджують, що альтернативні світогляди, такі як матеріалізм та редукціонізм, також передбачають метафізичні навантаги. Я згоден з ними. Замість того, щоб просто критикувати платонізм, я опишу альтернативний спосіб погляду на математику. Ті, хто вже не прихильний до платонізму, можуть бачити заслуги в альтернативності, особливо в її здатності стосуватися інших речей, у які ми віримо у світі. Цей альтернативний синтез не абсолютно новий: він запозичує ідеї в Арістотеля, Канта, Пуанкаре та Попера, але точно не іде за жодним із них. Я поясню його за допомогою прикладів, а також абстрактних аргументів.
Філіп Дейвіс і Рубен Герш, напевно, були першими математиками, які серйозно сприйняли підхід Попера до природи математики.[14] Філософська позиція, викладена в їхній захопливій і проникливій книжці, має багато спільного з моєю, попри їхнє негативне ставлення до Канта. Вони нічого не говорять про Пуанкаре в цьому контексті, але він стверджував, що ідеї Канта містять важливі істини, після усунення певних помилок; пізніші дослідження це достатньо підтвердили.

Назовництво
В останні роки спостерігається прикра тенденція називати математичних платоністів реалістами, мабуть, виходячи з того, що вони стверджують, що числа реальні. У філософському дослідженні фей це змусило б нас використовувати слово «реалісти» для позначення справжніх вірян, яких більшість із нас називала б фантазерами. Це ігнорує той факт, що Попер стверджував, що його Світ 3 реальний, хоча він розглядав математику як людське творіння. Бішоп також називав свою конструктивну версію математики реалістичною.

3.4. Що таке математика?
Через те що платонізм знайомий більшості математиків, решту цього розділу я присвячую тому, що природно та культурно оснований опис математики забезпечує цілісну альтернативу. Читачі повинні самі вирішити, чи він краще пов’язується з іншими переконаннями, яких вони можуть дотримуватися щодо світу. Нижчевказане твердження підсумовує:
Математика – це аспект людської культури, як і мова, закон, музика та архітектура. Її словниковий запас вузькоспеціалізований, а сфера застосування виключає значну частину того, що нас хвилює в повсякденному житті.[15]
Математика аж ніяк не унікальна в поєднанні абстрактних понять, що мають стосунок до зовнішнього світу. Розглянемо той факт, що як старший син владущого монарха королеви Елізабет II принц Чарлз – спадкоємець англійського престолу. Попри безперечну об'єктивну істинність твердження, концепція спадкової монархії – абстрактне людське творіння.
Те саме стосується і далекого минулого. Враховуючи нашу здатність домовлятися про значення різних термінів, ми правильно стверджуємо, що в диплодока було чотири лапи. Ми також справедливо стверджуємо, що жоден диплодок не мав почуття гумору чи добре володів англійською мовою, навіть якщо поняття про почуття гумору та добре володіння англійською мовою були безглузді у відповідний час. Цей тип прикладу не змушує когось бути платоністом щодо числа чотири більше, ніж він змушує когось бути платоністом щодо лап, почуття гумору чи англійської мови.
Статус математики з’ясовується шляхом проведення аналогії до шкільного розкладу. Якщо це робить людина, як це завжди було раніше, його чи її початком може бути накладення якоїсь структури на бажаний розв’язок, сподіваючись, що вона спростить завдання. У міру додавання все більшої кількості записів розклад стає дедалі чіткішим, а обмеження щодо подальших записів стають виразнішими. Іноді можна виявити невідповідності, і доведеться повертатися назад і змінювати деякі записи, або можна виявити, що накладену структуру необхідно змінити або відмовитися від неї. Може навіть виявитися неможливим заповнити розклад без видалення деякої комбінації необов’язкових предметів (це відповідає накладенню непередбаченої додаткової умови в теоремі, щоб відкинути можливість контрприкладу). Зрештою, внутрішня узгодженість кінцевого розкладу – об'єктивний факт, який може бути підтверджений без посилання на спосіб, яким він був створений.
Математика так змінилася з часом, що це можна прояснити історичними дослідженнями, і можна мати різні погляди на її найважливіші риси. Ми бачили, що спілкування між класичними чистими математиками, конструктивними математиками, прикладними математиками та фізиками складне, а часом і непродуктивне. Усі ці риси звичні для інших аспектів людської культури.
У недавньому нарисі гарвардський математик Барі Мазур стверджує, що аргументи про історичний та культурний розвиток математики або психічні процеси математиків абсолютно не мають значення для "Питання" – винайдено чи відкрито математику – а це означає, що необхідно реагувати, зосередившись на тому, що таке сама математика:

Принаймні, для мене опора будь-якої розмови щодо цих питань – досвід заняття математикою та сприйняття математичних ідей. Коли я читаю літературу, яка нібито стосується Питання, я запитую себе, чи вона якоюсь мірою пов'язана з моїм відчутним досвідом, а ще краще, чи розкриває вона щось про це. Я часто – можливо, завжди – розчарований. Химерний аспект математичного досвіду – і саме це надає «Питанню» такої шаленої енергії, – це те, що хтось відчуває (я відчуваю), що на математичні ідеї можна полювати і способом, що істотно відрізняється від, скажімо, того, як я зараз полюю на наступне слово, щоб написати і закінчити це речення. Людина може бути мисливцем і збирачем математичних понять, але не має готових слів для розташовання мисливських угідь. Звісно, ми, люди, переповнені ілюзіями, і щойно описане почуття може бути ще однією. Може не бути розташовання.[16]

Мазур описує платонізм як "цілком сформовану теїстичну позицію" і продовжує:

Єдиний спосіб, яким можна сподіватися переконати інших у його істинності – це відмовитися від арсеналу раціональності та покладатися на ресурси пророків.

Ніде у своїй статті він не розкриває, прихильник він цього переконання чи ні. Справді, він, схоже, дав опис платонізму та антиплатонізму, в якому не вдалося зробити розумного вибору між двома можливостями.
Люди часто говорять про винахід та відкриття, ніби вони діаметрально протилежні концепції, але насправді одна і та ж подія часто може бути описана обома способами. Наприклад, можна сказати, що сокири кам'яного віку були винайдені багато тисячоліть тому або наші далекі предки відкрили, що камені з гострими краями можуть використовуватися для різних цілей, і, можливо, набагато пізніше, виявили, що їх можна виготовити вдаривши один камінь об інший. Відкриття / винахід можна було зробити лише за останні кілька мільйонів років, тому що тільки в нас є тип рук, що можуть маніпулювати каменнями з достатньою точністю. До цього абстрактне поняття кам'яної сокири не могло б існувати – хіба що в розумі Бога.
Ґалілеєва ідея використовувати маятник як регулятор (градусник) годинника з тягарцевим механізмом була геніальним актом. Необхідність мати точніші годинники вже існувала, але думка про те, що цілі можна досягти таким методом, була його. Хоча він ніколи не будував маятникового годинника, та започаткував лінію розвитку, яка мала тривати понад два століття, поки інші розробляли його основну ідею. Можна сказати або про те, що він винайшов маятниковий годинник, або що він зрозумів можливість використання маятника для регулювання годинників, і що ця можливість існувала ще до того, як він її виявив. І знову відмінність між винаходом і відкриттям здається нечіткою.
Дальші два приклади показують, що те саме питання виникає і в математиці. Є багато історій математиків, яких раптово осявало щодо розв’язку проблеми, коли вони робили щось зовсім інакше. Зазвичай вони вивчали дуже важку проблему місяцями чи навіть роками і випробували ряд різних ідей, жодна з яких не привела до її розв’язку. Ці зусилля можуть бути описані як підготування ґрунту для подальшого аналізу частиною розуму, чиї процеси не під нашим свідомим контролем.
Одна з таких історій стосується ірландського математика Вільяма Ровена Гамілтона. Комплексні числа використовувалися з другої половини шістнадцятого століття, але ніхто не міг примиритися з результатами, які вони забезпечували. Це давало правильні відповіді на різноманітні проблеми, і це не могло бути випадковим, але ніхто не міг дати переконливого пояснення. 1833 року Гамілтон розв’язав цю проблему, побудувавши комплексні числа з дійсних чисел, а не намагаючись знайти їх на якомусь платонічному небі. 1843 року він застосував той самий метод, щоб побудувати те, що він назвав кватерніонами, і відкрив ідею, що системи числення не просто існували; нові системи з дивними властивостями могли бути винайдені, а потім могли б боротися за виживання на основі своєї корисності. Пізніше він описав своє раптове осяяння стосовно того, як створити цей новий тип числа в листі до П. Ґ. Тейта.

[Кватерніони] почали своє життя, або легке, повне зростання, в [понеділок] 16 жовтня 1843 року, коли я, прогулюючись із леді Гамілтон до Дубліну, підійшов до Бругем-мосту, який мої хлопці відтоді називали мостом Кватерніоном. Тобто я тоді й там відчув, як замикається гальванічний ланцюг думки; і іскри, що впали з нього, були основними рівняннями між i, j, k; саме такими, якими я користуюся відтоді. Я витягнув на цьому місці кишенькову книжку, яка й досі існує, і зробив запис, на який, тоді ж відчув я, можливо, варто витратити час, принаймні десять (а може, й п’ятнадцять) наступних років. Але тоді справедливо буде сказати, що це сталося тому, бо я відчував, що проблема, яку в цей момент розв’язав – усунена інтелектуальна потреба – переслідувала мене щонайменше п’ятнадцять років тому. Минула менше ніж година, перш ніж я попросив і дістав відпустку Ради Королівської ірландської академії, президентом якої я на той момент був, – щоб прочитати на наступних загальних зборах доповідь про кватерніони; що я, відповідно, зробив 13 листопада 1843 року.

Подібні історії розповіли Пуанкаре та багато інших математиків. Звісно, процес розроблення нової математичної ідеї сильно відрізняється від одного випадку до іншого, і, можливо, варто розповісти про одне власне переживання. Історія починається в 1958 році, коли математичний геній Джон Неш довів деякі фундаментальні результати стосовно параболічних рівнянь із частинними похідними. На жаль, нарік він зазнав серйозного психотичного розладу, і це фактично припинило його математичну кар'єру. Його ідеї не були повністю зрозумілі через їх надмірну стислість та альтернативний, але складніший підхід до проблем, придуманий іншими протягом 1960-х років.
У 1958 році я був ще підлітком. До середини 1980-х років я зацікавився доведенням Ґаусових меж теплового ядра (Gaussian heat kernel bounds) для параболічних рівнянь другого порядку. Я прочитав наявну літературу і проглянув Нешеву роботу, але мені було дуже важко іти за ними; контекст і твердження основних результатів були досить прості, але доведення були надзвичайно звивисті, навіть за мірками предмета. Я відчув себе розчавленим цим і вирішив, що маю спробувати знайти простіший підхід, який був мені доступний. Після певних зусиль я зміг це зробити, використовуючи ідеї, розроблені в іншому контексті протягом тридцяти років. Це той момент, коли історія стає цікавою, бо вона розвивалася так, як я як можливість не передбачав, не кажучи вже як про наперед задумане.
Мій новий підхід був значно простіший і, як це трапляється, також конструктивніший, ніж оригінальний, але він був безладний. Я відчував, що заради чіткого викладу повинен оптимізувати вибір різних констант, які з'явилися в аргументації. Це зайняло кілька місяців, тому що було досить багато констант, і вони взаємодіяли між собою. У міру прогресування я поступово зрозумів, що не тільки я став краще розуміти свої власні аргументи, але і результат, який я отримував, неухильно рухався за межі своєї первісної мети. На той момент, коли я закінчив, моє теплове ядро, було набагато сильніше, ніж оригінальна версія Неша та інших. Крім того, воно застосовувалося до операторів на многовидах та до різницевих операторів у дискретних умовах, а не лише в контексті початкових результатів. Мені знадобилися п'ять років, щоб розробити всі наслідки, але вони відкрили нову та продуктивну лінію розвитку теми.
Цікавою особливістю цього дослідження було те, що не було моменту еврики. Моя мета була скромна, і я досяг грубої її версії відносно рано в цьому дослідженні. Я не намагався довести новий результат, а лише знайти нове доведення старого. Начебто рутинний процес виписування деталей доведення найкращим можливим чином привів мене до усвідомлення того, що я досяг набагато більшого, ніж коли-небудь розраховував. Те, що таке трапляється, можливо, служить застереженням стосовно відомої історії про те, що великий прогрес обов'язково передбачає спалахи натхнення. Такі явища трапляються, але це не єдиний шлях, яким математика прогресує.
Повернімося до питання винаходу проти відкриття. У випадку з кватерніонами можна однаково сказати, що Гамілтон винайшов їх або відкрив, що його проблему можна розв’язати, запровадивши новий тип алгебричної системи. У своїй власній роботі я відчув, що винайшов новий метод доведення меж теплового ядра, але потім відкрив, що він уможливлює набагато потужніше розуміння теми. Схоже, на питання Мазура немає помічної відповіді: завжди можна сказати, що сутність можна винайти лише тоді, коли можливість її винайдення вже існувала, і неможливо навести суто логічний аргумент, що відрізняє можливість винайти щось і попереднє платонівське існування самої сутності. Більшість людей є і повинні бути прямолінійними реалістами щодо існування фізичних об'єктів, але ніщо не змушує нас так само ставитися до абстрактних сутностей, не кажучи вже про можливості, які ще не актуалізовані і можуть ніколи й не бути.
Я можу хоча б спробувати відповісти на одне питання, яке порушує Мазур. Існує багато різних типів відповіді на питання "Що таке врешті X?". У деяких випадках відповідь однозначна, а в інших – ні. Фізика стосується розуміння правил, що керують рухом і взаємодією тіл у зовнішньому світі. Релігія – це розуміння нашого духовного місця у світі; я скажу більше на цю тему в розділі 5. Романи – це керовані вправи уяви; в одному сенсі це фантазії про вигаданих людей, але на глибшому рівні це дослідження людських стосунків. Музика передбачає створення та оцінення складних патернів звуку, але вона стимулює глибокі емоційні та духовні почуття так, що це важко пояснити. Видається, у шахах йдеться про захоплення короля суперника, але на рівні великого майстра це також боротьба за домінування між двома особами. Я залишу читачеві задуматися про те, що врешті означає слово "гроші", на відміну від того, для чого воно використовується; зовсім не ясно, що така відмінність має сенс. Математика може стосуватися виявлення властивостей сутностей у платонічній царині, але вона може рівною мірою стосуватися розвитку певних здібностей нашого власного розуму. Відомий оксфордський філософ Майкл Дамет виклав це так:

Інтуїціоністи відрізняються від платоністів не тим, чи стосуються математичні твердження чого-небудь, а тим, про який тип речей вони говорять; для платоністів йдеться про абстрактні структури, що існують незалежно від нашого знання про них; для інтуїціоністів йдеться про вільні продукти людської думки.[17]

Треба вирішити, котра з цих альтернатив краще поєднується з іншими речами, які ми знаємо про світ. Наукова відповідь чітка: платоністичний погляд не торкається наших поточних знань про природний світ чи функціонування нашого розуму.
Відкриття нової властивості математичної сутності дає математикам відчуття сильної краси нашого предмета. Дійсно для багатьох з нас це причина, чому ми вкладаємо в нього стільки своєї душі. Ми використовуємо мову відкриття, бо в нас малий доступ до тієї частини нашого мозку, яка створює нові ідеї та зв’язки між, позірно, незв'язаними поняттями. Не дивно, що осяяння, здається, приходять ззовні, бо ми, природно, ототожнюємо себе з частинами нашого розуму, які ми усвідомлюємо. Нам слід звеличувати інтуїтивні можливості нашого несвідомого розуму, які виходять далеко за межі того, на що здатне наше раціональніше та свідоміше «Я». Це було болісною наукою для тих, хто працює в галузі штучного інтелекту, і вона лише повільно проникає в нашу загальну культуру. Нам слід також відзначити досягнення класичних греків, коли вони винайшли поняття математичного доведення, що забезпечило незалежного арбітра справедливості наших інтуїцій.
Математику часто описують як систематичне вивчення патернів, симетрій, структур і закономірностей за допомогою абстрактних, символічних методів. Чудові патерни, які можна побачити на стінах багатьох мечетей, дають вихідний матеріал для математики, але не належать до математики, бо вони не абстрактні й не вивчаються символічними методами. Хоча художники виявили всі повторювані планарні патерни, вони не намагалися довести, що інших немає. У чистій математиці патерни часто виникають із теорії чисел, геометрії чи алгебри. У прикладній математиці їх отримують шляхом абстрагування від якоїсь особливості зовнішнього світу; приклади – равликові мушлі, кільця Сатурна, піщані брижі на пляжах і в пустелях, а також форми багатьох типів кактусів. Насправді візерунки, здається, оточують нас скрізь, куди ми дивимося, багато вбудовується в об’єкти, які ми самі створили.

Рис. 3.2. Собор святого Павла, Лондон.

Деякі з найдавніших мегалітичних майданчиків побудовано з каменів неправильної форми, вирубаних на місці, типу конструкції, що має аналогії до того, як птахи роблять свої гнізда. Незабаром стало зрозуміло, що ефективніше використовувати стандартизовані блоки з каменю або пізнішої цегли і що найкорисніша форма для таких блоків прямокутна (тобто кубоїдна). Практично неможливо уникнути укладання в повторювані патерни та експериментувати з варіаціями. Окрім патернів, наслідків індустріалізації, є й інші, які були створені заради них самих. Багато найбільших будівель у світі, таких як собор Святого Павла в Лондоні, – це прославляння істинної краси симетрії. Нещодавно колесо пройшло повне коло: невелика кількість архітекторів, таких як Френк Ґері, почали проєктувати вкрай нерегулярні будівлі, демонстративно йдучи на витрати через необхідність проєктувати кожен компонент окремо. Ці будівлі збурюють саме через відмову від концепції патерна.
Слід підкреслити, що патерни не завжди геометричні. Послідовність
11011101111101111111011111111111011111111111110...
може бути ідеальною для переконання віддалених чужих розумів щодо нашого існування. Ряди з них мають довжини 2, 3, 5, 7, 11, 13,... які відповідають простим числам і навряд чи будуть вироблені будь-яким природним процесом.
Математиків особливо заінтригував такий очевидний патерн:

2 + 2 = 4
3 + 3 = 6
3 + 5 = 8
3 + 7 = 10
5 + 7 = 12
7 + 7 = 14
3 + 13 = 16
. . .
Гольдбахова гіпотеза про те, що кожне парне число, що перевищує 2, – сума двох простих чисел, перевірена для всіх парних чисел до тисячі трильйонів, і майже кожен математик вважає, що вона істинна. Однак, якщо виявиться помилковою і найменший контрприклад має мільйон цифр чи більше, неможливо було б перевірити цей факт, виписавши всі відповідні суми – їх забагато, щоб це було здійсненним. Заява про існування контрприкладу гіпотези Гольдбаха з рівно мільйоном цифр на практиці може бути встановлена лише доведенням, хоча загалом це стосується лише перевірки фіксованої кількості сум. Попри всі "експериментальні" доведення та багато іншого, що я не згадував, майже ніхто не вірить, що доведення, можливо, будуть знайдені найближчим часом.
Хоча математики вивчають патерни, хоч би де їх знайшли, вони також повинні адаптувати свою інтуїцію до того, що вивчають. Один із найважчих аспектів дослідження полягає в тому, що воно відрізняється від того, що вже відомо; старі ідеї повинні поєднуватися по-новому або нові ідеї створюватися, щоб досягти розуміння. Частина цього процесу свідома, але, після того як засвоєна/вивчена, частина мозку, яка несе в собі інтуїцію, постійно змінюється, так що ідея, колись така важка для сприйняття, видається неминучою. Це завдання трохи схоже на те, що навчитися їздити на велосипеді спочатку так важко, що здається неможливим, а пізніше таким легким, що неможливо уявити когось нездатного це зробити.
Якщо розглядати здатність до математики як навичку, це не означає, що несвідома частина мозку використовує той тип раціональних процесів, яких ми дотримуємося, коли перевіряємо ідеї, які він нам представляє. Ми не знаємо, як працює наш мозок, але аналогія з велосипедом може бути актуальною. У цьому разі ми вчимося методом спроб та помилок робити такі рухи, які приводять до впорядкованого руху по дорозі, та уникати того, що приводить до нашого падіння. Напевно, ніхто не вважає, що Ньютонові закони руху мають щось спільне з тим, як ми вчимося їздити на велосипедах, хоча можна використовувати їх для пояснення того, чому насправді потрібні правильні рухи. Аналогічно з математикою. Нам не потрібно вірити, що наша підсвідомість працює за якимсь вищим математичним алгоритмом, коли пропонує нам ідеї, багато з яких швидко виявляються помилковими. Наші математичні навички частково вроджені, але вони розвиваються протягом багатьох років усвідомлених зусиль і широко варіюються від однієї людини до іншої. Вони охоплюють здатність логічно аргументувати, але примітно, що більшість математиків не використовують жодного з досягнень формальної логіки ХХ століття, ніколи не відвідували ніяких курсів формальної логіки і не відчувають, що їм чогось, як наслідок, бракує. Уява та наполегливість набагато важливіші для математичного успіху.
У рідкісних випадках з'являються математики, які можуть створити принципово нові типи структури, дослідження яких висвітлює і насправді може створити абсолютно нові галузі математики. Як вони досягають своєї думки, решті з нас неможливо зрозуміти, але зазвичай це відбувається, коли їм двадцять чи тридцять років. Незалежно від того, вважаються такі досягнення винаходами або відкриттями, вони одні з високих досягнень людського виду, і показують, що інколи ми можемо досягти розуміння, що виходить далеко за все, що ми можемо пояснити. Такі люди стоять поруч із великими композиторами, хоча їхній предмет – причина того, що вони набагато менш відомі широкій публіці.
Відмінність знань від істини очевидна, коли йдеться про матеріальні об'єкти, що не означає, що це слушний в абстрактних ситуаціях. Деякі абстрактні сутності, такі як слон у грі в шахи, мають лише визначені властивості, бо ми приймаємо певні умови: просто неможливо оголосити, що ваш слон може взяти королеву опонента, якщо між ними є щось по діагоналі, бо тоді він не був би слоном. Після узгодження правил гри настають певні наслідки. Що стосується математики, то конкретизація того, що вважається доведенням, дуже вузька та детальна, тому не слід дивуватися високому рівневі згоди щодо істинності теорем. Однак, як зазначив Лакатош, фонові припущення теорем часто не повністю пояснені, внаслідок чого їх згодом, можливо, доведеться переформулювати.
Винайдені сутності, навіть абстрактні, не слід розглядати як прості вигадки: що точніше вони конкретизовані, то більше висновків ми, очікувано, ми зможемо зробити про них.
Існує два погляди на те, що означає говорити, що теорема істинна. Для платоністів теорема посилається на фактичну властивість платонівської сутності, і вона істинна, якщо сутність справді має цю властивість. Альтернативна думка полягає в тому, що ми маємо право називати теорему істинною лише тоді, коли вона має доведення. Ґедель показав, що треба бути надзвичайно обережними, щоб не сприймати за належне, що ці два твердження рівнозначні. Можна потрапити в усілякі пастки, обговорюючи його фактичні результати, але вони не стосуються платонічної істини, хоча він сам був платоністом. Два погляди можна назвати онтологічними та епістемологічними аспектами математики. Вони стосуються, відповідно, того, що насправді істинне і того, що ми знаємо як істинне. Ця відмінність – хибне коло: припущення, що є важлива відмінність, означає вже поступатися платоністською позицією.
Даметів підхід до цього питання зосереджується на понятті сенсу. Платонізм заявляє, що істина математичного твердження не залежить від того, чи може ця істина надійно передаватися від однієї людини до іншої:

Але припустити це означає зробити сенс невимовним, тобто взагалі непередаваним... Поняття сенсу, таке приватне для індивіда, стало абсолютно недоречним для математики, як воно фактично практикується, а саме як кістяк теорії, над якою багато індивідів працюють корпоративно, запит, у рамках якого кожен може повідомити свої результати інших.[18]

Багатьом людям дуже високий консенсус у математиці важко узгодити із запеклими дебатами майже у всіх інших дисциплінах. Це досягається, попри широку різноманітність особистостей і підходів математиків до цього предмета. Консенсус не диво: він залежить від надзвичайно вимогливих стандартів до прийняття доведень і того, що вони не залежать від фактів про фізичний світ. Програми університетських курсів математики надзвичайно схожі в усьому світі, тому підстава для згоди дуже висока. Знов і знов бачимо, що частково пропрацьовані аргументи не приймаються, хоч би яка видатна була людина, що їх висуває, і що новий результат спільнота приймає лише тоді, коли він може бути записаний у формі, у якій усі достатньо добре навчені люди можуть зрозуміти. (Перельманове доведення гіпотези Пуанкаре – лише останній приклад.) Навіть Рамануджан, один із найкреативніших і найнезрозуміліших математиків, який, здавалося, володів містичним розумінням, час від часу записував тотожності, які виявилися абсолютно неправильними. Процес сортування його тверджень мав вестися з використанням звичайних процедур оцінювання.
Це трюїзм, що теорему можна довести лише тоді, коли можливість її доведення вже існувала, але це не повинно вести до платонізму. Можна так само сказати, що раз роман міг бути написаний на рік раніше, ніж насправді, він уже існував як можливість до того, як був написаний. Подібні зауваження стосуються майже кожного художньо-технологічного твору. Прив’язати платонізм до банальності щодо можливостей, які не мають конкретного математичного змісту, – акт відчаю, якщо не прийняти всю систему Платона.
Є аргумент, що зведення математичної істини до існування доведення впускає платонізм через чорний вхід. (Безумовне існування доведення вимагає, щоб неконкретний член нескінченної множини потенційних доведень був фактичним доведенням.) Можна розв’язати цю проблему, вимагаючи, що доведення повинно існувати в матеріальній формі, щоб його можна було перевірити детально, побачити, чи відповідає воно прийнятим критеріям доведень. Якщо хтось приймає це, то доведення виникає лише тоді, коли якомусь математикові вдалося його створити, а обсяг математики залежить від часу. Математики проводять своє професійне життя, розширюючи діапазон доведених теорем, а не діапазон «істинних» теорем.
Дейвід Дойч (David Deutsch) запропонував розширити поняття доведення, щоб охопити те, чого можна досягти, використовуючи квантові комп'ютери.[19] Логіка моєї позиції диктує, що я не думаю, що існує важлива відмінність між обчисленням за допомогою класичного комп'ютера, яке «в принципі» може повторити людина, але не на практиці, і обчисленням за допомогою квантового комп'ютера, яке не могла б виконати людина навіть «в принципі». Однак поспішати розв’язувати це питання не варто. Квантових комп'ютерів ще нема, і ми можемо почекати, поки проблема не виникне, перш ніж ухвалювати рішення по суті такого розширення.
Зрештою, дискусії про об'єктивну істинність математики часто приводять до питань про несуперечливість аритметики, що сприймається як належне в усій серйозній математиці. Якщо я заявляю, що вважаю, що аритметика несуперечлива, то, видається, приписую їй незалежне існування, навіть якщо я визнаю, що люди ніколи не зможуть довести, що вона несуперечлива. Однак для мене твердження означає не більше, ніж те, що я був би надзвичайно здивований, якби хтось створив фундаментальну суперечність, використовуючи лише стандартну аритметику. Переконання можуть мати різну силу, і з цієї причини зазвичай релевантніші, ніж претензії на знання, до яких наш скінченний (фінітний) вид має обмежений доступ. Ми можемо, певно, в сенсі, близькому до абсолютного, знати, що доведення деяких теорем правильні, і в цьому сенсі зазначені теореми правильні в рамках, що надаються аксіомами відповідної теорії, але з найглибшими теоремами навіть це не гарантується. Я особисто менше б стурбувався, дізнавшись, що суперечність була отримана в стандартній аритметиці, ніж якби я одного дня відчинив вхідні двері, щоб зіткнутися з безформною порожнечею, посеред якої мені посміхалося б демонічне обличчя. Перше дало б можливість виправити деякі технічні проблеми, а друге підірвало б усе моє уявлення про реальність.
То чому ми віримо в несуперечливість математики? Відповідь – це просто інтуїція. Понад дві тисячі років формальної математики виявили деякі важливі хибні уявлення, але вони були виправлені, і ми відчуваємо впевненість у тому, що ми можемо розв’язати будь-які подальші проблеми, з якими можемо зіткнутися в майбутньому. Не існує жодного способу довести, що ця впевненість виправдана, але в нас немає іншого вибору, окрім як попередньо покластися на важко здобуті уявлення в будь-якій іншій галузі дослідження, і математика в цьому не відрізняється.
Прийняття плюралістичного ставлення до філософії математики не означає, що всі її описи мають однакове значення. Заслуга кожного залежить від контексту, і ми будемо стверджувати, що платонізм має мало реальних чеснот, крім тієї, що дає почуття безпеки тим, хто його приймає. Більшість філософів математики погоджується з тим, що його слід вилучити зі списку вагомих теорій так само, як це сталося з флогістоном та астрологією.

3.5. Нескінченність
Люди цікавляться нескінченністю вже понад дві тисячі років, дарма що ми не можемо зрозуміти її безпосередньо і не маємо матеріальних доказів існування нескінченних сутностей. Лише дві групи людей стверджує, що вони мають якесь реальне знання про це: релігійні містики та математики. Перші заявляють, що мають досвід чогось, що перебуває поза межами нормального світу і що по суті неможливо висловити.
Між математикою та релігійним містицизмом існує зв'язок ще з часів Пітагора, і більшість математиків вірить, що можуть сприймати нескінченні сутності певних обмежених типів; вони можуть описати їх одне одному і детально обговорити їх властивості. Прикладами служать нескінченна множина всіх парних чисел і множина всіх простих чисел. Варто зазначити, що святий Тома Аквінський, що писав у тринадцятому столітті, був сильним критиком філософії Платона. Питання 7 його «Суми теології» (Summa Theologica), присвячене «Нескінченності Бога», протиставляло абсолютну й істотну нескінченність Бога обмеженим можливостям математики, які він досить довго обговорював.
Іноді кажуть, що, не приймаючи поняття нескінченності, не можна займатися математикою. Як і більшість узагальнень, це перебільшення. Якби його не було, це навряд чи вплинуло б на комбінаторику та теорію графів. Ба більше, без нього збереглися б великі частини теорії груп та Евклідової геометрії. Однак математики використовують нескінченні сутності як і коли це вигідно, і більшість не замислюється над тим фактом, що вони так роблять.
Поняття нескінченності неявне в рівності
1/2+1/4+1/8+1/16+… = 1.
За номіналом, видається, що якщо додати разом нескінченну кількість дробів, сума дорівнює 1. Звісно, нескінченну кількість додавань насправді не можна виконати, і друга інтерпретація полягає в тому, що якщо додати разом достатньо велику кількість доданків, відповідь дуже близька до 1. Різниця між цими двома твердженнями близька до проблеми Зенона про Ахіла та черепаху. Звісно, Зенон знав, що Ахіл обігнав черепаху; на що він вказував, то це на те, що в його час, у п’ятому столітті до н.е., не було математичного способу розв’язання таких проблем. Сьогодні в нас він є, завдяки фундаментальному усвідомленню Коші в 1820-х; поняття границі більше не залежить від будь-якого посилання на нескінченність, і переносить суб'єкта у сферу речей, які можуть бути виражені скінченними доданками. Це перетворило математику і привело до строгого означення системи дійсних чисел пізніше в ХІХ ст. Цей тип нескінченності тепер вигнаний з математичного лексикону.
Не було жодної послідовної теорії нескінченних множин, поки Ґеорґ Кантор не створив загальну теорію трансфінітних множин у серії статтей між 1877 та 1897 рр. Незалежно Ґотлоб Фреґе сформулював загальні закони символічної логіки, найважливіший внесок у цю тему з часів Арістотеля. Він збирався опублікувати другий том своєї книги «Основи аритметики», коли Бертренд Расел (Bertrand Russell) написав йому в 1901 році, вказавши на серйозну невідповідність у його викладі теорії множин. Фреґе так і не оговтався від цього удару і не завершив том 3. Расел, тоді молодий чоловік, взяв на себе завдання переписати роботу Фреґе у співпраці з Алфредом Нортом Вайтгедом (Alfred North Whitehead). Свою монументальну «теорію типів» вони розробляли десять років, але її не розглядали як задовільне розв’язання посталої проблеми. Три томи «Принципи математики» (Principia Mathematica), які вони закінчили, виснажили авторів і були надзвичайно важкі для читання. Хоча вони мають величезне значення для основ логіки, та були затінені подальшим доведенням Ґеделя, тому їхня мета не була досяжна.
До 1920-х років більшість математиків вважала, що теорія множин Кантора, сформульована в системі під назвою ZFC (Zermelo – Fraenkel set theory – теорія множин Цермело – Френкеля з аксіомою вибору, ЦФВ) – все ще, у 2009 році, визнана теорія множин – забезпечила надійні основи для математики нескінченних сутностей. Робота Ґеделя в 1930-х роках зруйнувала цю віру. Сам Ґедель вірив, що нескінченні множини різних типів дійсно існують, але його відкриття лише встановили, що деякі факти про них неможливо встановити суто раціональними засобами.
Існування нескінченних множин загальновизнано математиками, але воно передбачається в ZFC, що містить "аксіому нескінченності". Це технічна форма, але, звівши її до звичайної мови, це рівнозначно заяві, що існує нескінченна множина всіх натуральних чисел. Для тих, хто вірить у це на платоністичних засадах, ZFC – це просто перелік деяких властивостей, яким їхня інтуїція спонукає вірити, що ними множини володіють; потім це створює основу для виведення інших менш очевидних властивостей множин.
Із часом дедалі більше тих, хто працював у теорії множин, стало сумніватися в реальності деяких найнезрозуміліших аспектів своїх теорій. Одним із таких був Пол Коен, якому врешті вдалося довести незалежність аксіоми вибору та гіпотезу континууму, двох головних питань теорії множин, які не здолав Ґедель. На відміну від Ґеделя, він вважав, що вищі досягнення теорії множин не більше ніж дослідження формальних наслідків ZFC та пов'язаних з ними аксіом. Формалістична позиція полягає в тому, що ZFC визначає правила, яких математики вибирають дотримуватися в теорії множин, але немає припущення, що правила насправді стосуються будь-чого. Коен описав цю позицію так:

Я думаю, що для більшості математиків теорія множин притягальна, але не вистачає базового впливу аритметики. Існує майже континуум переконань про розширений світ теорії множин... З роками я твердіше став на бік формалістичної позиції. Цей погляд пом’якшений почуттям побожного шанування всієї математики, яка використовувала теорію множин як основу, і я жодним чином не атакую роботу, виконану в теорії множин. Однак, коли використовуються системи аксіом, що охоплюють великі кардинали чи визначеність (determinacy), я відчуваю втрату реальності, навіть якщо дослідження геніальні та послідовні. Зокрема, для мене сильний недолік [реалістичного] погляду – думка, що якщо математика стосується реальності, то людське мислення повинно розв’язати всі математичні питання.[20]

Події останнього століття поставили під серйозний сумнів твердження, що математики мають надійний доступ до властивостей нескінченних сутностей. Усі зусилля, спрямовані на з’ясування цього питання в перші десятиліття ХХ століття зрештою провалися, і ми залишаємося мудрішими, але скромнішими. Якщо нескінченність дійсно існує як більше, ніж форма слова чи акт уяви, видається, лише релігійні містики мають до неї доступ.

3.6. Математичний мозок
У цьому підрозділі ми будемо стверджувати, що теорія вроджених здібностей Канта, описана в підрозділі 2.6, стосується математичних умінь. Математика має сильні історичні та культурні аспекти, але також залежить від конкретних біологічних характеристик нашого мозку. Людина поділяє з багатьма тваринами здатність миттєво розпізнавати числа приблизно до чотирьох. (Це в науковій літературі називається субітизацією.) Це результат існування конкретних структур у нашому мозку, серед яких особливо важлива ліва нижня тім'яна частка. Ми, унікально, вчимося розпізнавати та маніпулювати числами набагато більшими, ніж чотири.
Діти такі безпорадні при народженні, що оцінити їхні розумові здібності непросто. Однак можна виміряти, як довго вони дивляться на нову картину, і за допомогою ретельно розроблених експериментів зробити висновки з цього. Таким способом показано, що немовлята, яким лише один день, можуть розрізняти числа два та три як абстрактні поняття, а не лише виходячи з того, що картина з трьома предметами в ній переповненіша, ніж із двома. Це складна робота, але очевидні заперечення як пояснення отриманих результатів були розглянуті та відкинуті.
Тим, хто хотів би дізнатися більше про цю захопливу тему, рекомендую прочитати «Математичний мозок» Браяна Батерворта (Brian Butterworth). Він описує нещасних людей, які здатні розмовляти на найрізноманітніші теми, навіть якщо можуть мати величезні труднощі з додаванням трьох до п’яти, або оціненням того, що більше – шість чи дев'ять. Навіть якщо їм вдається розробити стратегію подолання своїх проблем, вони часто болісно повільні та проявляють свою неспроможність повністю зрозуміти складні концепції. Такі вади загалом називають дискалькулією; вони можуть існувати від народження, але також можуть бути викликані інсультами. Трапляється і зворотне. Може здатися дивним, що деякі люди можуть не відрізнити "Мері вдарила Джона" та "Джон вдарив Мері", хоча можуть відрізнити 11 – 52 і 52 – 11, але таке трапляється. Розмері Варлі (Rosemary Varley), одна з тих людей, що повідомили про це спостереження, вважає це доказом того, що розуміння синтаксису не суттєве для опрацювання тверджень у математиці.[21]
Ця сфера досліджень стрімко розвивалася з 1990 року. Основним фактором стало використання сканувальних машин, що можуть показати, які ділянки мозку особливо активні, коли розв’язується розумова задача. Як результат цієї захопливої роботи, ми тепер знаємо, що в мозку існує багато різних систем, одна з яких робить синтаксичні розрізнення, а інша – аритметичні, а третя здатна дивуватися, що обидві задачі такі різні. Перші дві системи, схоже, локалізовані в окремих частинах мозку, але третя, наша свідомість вищого рівня, дуже погано зрозуміла, навіть за допомогою сучасних сканерів. Завдання розуміння мозку як цілого набагато ускладнюється тим, що функціонування спеціалізованих модулів може змінюватися, коли увага спрямовується на якийсь аспект сенсорного введення. Самоспостереження ніколи б не дало таких усвідомлень, і, безумовно, попереду ще багато інших.
Однак математика – це не просто великі аритметичні записи. Існує багато прикладів блискавичних обчислювачів, які не знають математики вищого рівня. Математичні здібності рідкісні, і їх потрібно набувати роками. Без сумніву, загальний брак математичної компетентності серед громадськості частково результат поганого викладання та / або невідповідних навчальних програм, але це не може бути всією історією. Бувають і погані викладачі мови, але кожна нормальна людина може розмовляти зрозуміло до двадцяти років. Математичні здібності сильно залежать від мотивації витрачати високу частку годин неспання на практику та розвиток умінь. Це схоже на музику і шахи, в яких усі найвидатніші постаті роками цілеспрямовано присвячували себе такій дисципліні. Це стосується навіть Рамануджана, одного з найнезбагненіших математичних геніїв. Він був одержимий математикою з найранішого віку і вчився сам з небагатьох книжок, якими володів.
Математичні здібності дуже погано вивчені. Це може бути «ненавмисним» наслідком загальнішого зростання культурної та символічної діяльності (створення орнаментів, картин, релігії, формальних соціальних ієрархій тощо), що почалося близько п’ятдесяти тисяч років тому і відтоді пришвидшується. Еволюція не привела б до того, щоб ми розвинули абсолютно нову здатність, яка не мала виходу ще вісім тисяч років тому, і надає тим, хто нею володіє, малу, якщо взагалі надає, репродуктивну перевагу. Однак, як відомо, зв'язки між різними модулями трапляються в синестезії, рідкісному синдромі, коли деякі люди буквально бачать, що букви та цифри мають певні кольори, які можуть бути стійкими протягом багатьох років. Очевидно, що геометрична інтуїція використовує зорові ланцюги в нашому мозку, і також правдоподібно, що алгебра залучає частини нашого мозку, які мають справу з мовою. Якщо так, то рідкісними людьми з сильними математичними вміннями можуть бути ті, хто народився з синестетичними зв’язками між їх аритметикою, мовою та зоровими системами.
В інтерв'ю 2004 року, коли він був нагороджений премією Абеля, математик Майкл Атія дав такий коментар, який повністю відповідає вищезазначеним уявленням про природу математики:

Математика – це еволюція від людського мозку, що реагує на зовнішні впливи, створюючи механізм, за допомогою якого він потім атакує зовнішній світ. Це наш спосіб намагання звести складність до простоти, краси та елегантності. Це дійсно дуже фундаментально: простота в природі наукового дослідження – ми не шукаємо складних речей. Я схильний вважати, що наука та математика – це те, як людський розум дивиться та переживає, ви не можеш розлучити людський розум із нею. Математика – частина людського розуму.[22]

Ряд інших видатних математиків не згоден з ним, але як в експрезидента Королівського товариства його розуміння науки набагато завершеніше, ніж розуміння більшості математиків.
Психолог Майкл Фіцджералд та оксфордський математик Іоан Джеймз (Ioan James) нещодавно завершили дослідження динаміки математичного творення з описом життя та особистостей двадцяти відомих математиків, майже всі з останніх двох століть. Їхній погляд на математику надзвичайно схожий на погляд Атії:

Математика вже не сприймається як трансцендентальна, абстрактна, позбавлена тілесної оболонки, унікальна і незалежна ні від чого фізичного. Навпаки, вона частина людської культури, продукт людського тіла, мозку та розуму та нашого досвіду фізичного світу.[23]

По всій своїй книжці вони покликаються не на «бачення» математиків чогось із платонічного світу, а на свою здатність переносити проблеми до свого несвідомого розуму, який згодом виробляє інтуїції про те, де перебувають розв’язки; ці інтуїції мають бути перевірені і не завжди правильні.
Нещодавно математичний фізик Давід Руель порівняв можливості людського математичного мозку з можливостями комп'ютерів.[24] Ось кілька його висновків. Архітектура мозку високопаралельна; деякі комп'ютери мають якийсь ступінь паралелізму, але далеко не такий. Наш мозок надзвичайно повільний. Наші спогади дуже бідні; насправді ми не можемо одночасно зберігати більше ніж сім елементів у нашій короткотерміновій пам’яті й компенсуємо це запам'ятовуванням, тобто внесенням фактів у довгострокову пам’ять. Ми використовуємо безліч різних фізичних систем, зору, мови тощо, щоб допомогти собі думати. Нам подобаються короткі формулювання; це не дивно, враховуючи обмеженість пам’яті та уваги. Нам погано вдаються формальні логічні маніпуляції; спроби перевірити доведення на наявність "технічних" помилок часто провальні. Ми добре знаходимо закономірності, або «значення». Руель висновує, що, хоча ми не розуміємо, як ми робимо математику, сам предмет має форму, продиктовану природою нашого розуму.
Нашу здатність розпізнавати неповні зорові патерни легко пояснити еволюційно. Уникання хижаків вимагає можливості помітити тварину, яка намагається якомога довше приховати свою присутність від своєї здобичі. Нам також потрібно розпізнавати їстівні рослини, які можуть бути сховані під листям. Наша здатність реконструювати неповні зображення функціонує на кількох різних рівнях мозку. Деякі психічні процеси несвідомі, в тому сенсі, що дуже важко дивитися на зображення без тлумачення; наприклад, на рисунку 3.3 показано прямокутник, частково затулений круговим диском, що міститься перед ним, навіть коли кажуть, що він був створений через розміщення трьох плоских затінених областей поруч. В інших випадках інтерпретація передбачає усвідомлене зусилля. Fr xmpl, hmn bngs cn rd sntncs tht hv thr vwls mssng, but t rqrs sgnfcnt thght. [так в оригіналі. Йдеться про те, що люди можуть розпізнавати речення, в яких нема голосних, але це напружує. – Прим.]. Тлумачення можуть бути тривалими навіть тоді, коли вони абсолютно помилкові. Зокрема, ми схильні пов'язувати вживання незвичної їжі та погане самопочуття через кілька годин. Той факт, що це може привести до звичок уникати, які насправді не мають підстав, легко пояснюється – уникання незвичного продукту в середньому може бути менш дорогим, ніж ризик смерті. Математика ґрунтується на нашій успадкованій тенденції шукати патерни, що значно розвиненіша, ніж в інших тварин. З викладеного доцільно зробити висновок, що математику ми розуміємо не через таємничу здатність, яка дає змогу нам дивитися на платонічний світ поза простором і часом, і не тому, що ми жили в цьому світі до народження і маємо далекі спогади про нього. Ми розуміємо її тією мірою, якою ми це робимо через існування в нашому мозку структур, що еволюціонували завдяки дарвінівському доборові. Ми зовсім не розуміємо природи цих структур, але можемо сподіватися, що це виправиться протягом нинішнього століття. Інші тварини не розуміють математики, бо їхній мозок не містить цих структур. Математика не більш (чи менш) загадкова, ніж мова. Обидві існують у дуже рудиментарних формах у деяких тварин, і обидві вони значно краще розвинені в людей.

Рис. 3.3. Частково затулений прямокутник.

3.7. Мандельбротова множина
Родинне дерево Роджера Пенроуза далеко не звичайне. Серед багатьох людей у ньому Олівер Пенроуз, ще один визначний математичний фізик, Роланд Пенроуз, художник-сюрреаліст, та Джонатан Пенроуз, чемпіон Великої Британії з шахів між 1958 та 1969 роками. Його родинне дерево має зв’язки з братами Пенроузами, які заснували «Вотерфорд глас» у 1783 р. та з сім'ями Веджвудів та Дарвінів. У самого Роджера Пенроуза кілька претензій на славу. З 1965 року Стівен Гокінг і він зробили великий внесок у теорію чорних дір [2020 року Пенроуз удостоєний Нобелівської премії з фізики за відкриття того, що формування чорних дір – сильне передбачення загальної теорії відносності. – Прим.]. У математиці його проста і красива побудова аперіодичних плиток привернула велику увагу; існування таких облицювань уже довів Роберт Берґер (Robert Berger), спростувавши припущення Хао Ванга (Hao Wang). Відкриття Пітером Лу в 2007 році, що подібні облицювання з'являються в деяких середньовічних мечетях на Близькому Сході, стало повною несподіванкою. Ще одна ідея Пенроуза, що називається теорією твісторів, справила великий вплив на різні геометричні задачі, а також на теорію струн у фізиці.
Пенроуз набув статусу гуру серед широкої публіки внаслідок своїх численних статтей і лекцій про природу свідомості. У своїх двох книжках «Новий розум імператора» (The Emperor’s New Mind) і «Тіні розуму» (Shadows of the Mind) він стверджує, що використовує теорію Ґеделя, щоб довести, що людський розум не може бути простим комп'ютером. Філософ Джон Сірл (John Searle) дійшов такого ж висновку, але зовсім іншим шляхом. Обидва реагували на надзвичайно оптимістичні твердження людей зі спільноти "Штучний інтелект" протягом 1960-х та 1970-х років, що вони стоять на межі відтворення свідомої думки в комп'ютерах. Це виявилося набагато складнішою проблемою, ніж вважалося раніше. Слід сказати, що застосування Пенроузом ідей Ґеделя розкритикували кілька експертів у цій галузі, і що дві його книжки були набагато краще сприйняті широкою громадськістю, ніж академічною. Я не можу почати обговорювати численну критику, тому що багато чого з неї відкинув Пенроуз, чиї спростування, своєю чергою, були піддані критиці.
У "Новому розумі імператора" Пенроуз використовує Мандельбротову множину, щоб наводити аргументи на користь математичного платонізму. Я не даватиму означення цієї множини, проілюстрованої на рисунку 3.4, крім того, що в множину вводиться точка (зафарбована чорним), якщо вона проходить простий тест, який, можливо, доведеться повторити невизначене число разів. Його аргумент ґрунтується на тому, що надзвичайно складна структура множини не передбачалася, коли вона була означена, і була по-справжньому дивовижна з огляду на її дуже просте означення. Рисунок 3.4 хіба що дряпає поверхню складнощів Мандельбротової множини – як тільки збільшується масштаб на будь-якій частині межі, виникають нові повторювані папоротеподібні структури, які лише замінюються чимось іншим у ще дрібнішому масштабі. Пенроуз вважає, що це означає, що множина мусить бути скорше виявлена, а не придумана. Це сильніший аргумент, ніж існування платонічних трикутників чи кіл, за якими можна побачити, що їх форму задумали ми. Однак він не визначальний, якщо вірити, що винайдені предмети можуть мати властивості, не передбачені винахідником.
Плюралісти можуть зробити свідомий залежний від контексту вибір, чи приймати класичний (тобто платоністичний) опис Мандельбротової множини. Класична теорія множин, безсумнівно, простіша, ніж конструктивна теорія множин, бо остання проводить відмінності, непомітні для першої. Класична теорія забезпечує простіші розумові образи і для багатьох цілей цілком адекватні. Припущення в цьому світогляді полягає в тому, що має сенс запитувати про можливий результат проведення нескінченну кількість разів процедури, але це нормальна умова для чистих математиків. Проте свідоме прийняття конвенції зовсім відрізняється від твердження, що щось просто "так". Платонізм, якщо його прийняти, гарантує існування Мандельбротової множини, але важливо, що коментарі про її красу почалися лише після того, як стало можливим створювати її комп'ютерно згенеровані зображення. Їх можна побачити чиїмись очима, на відміну від невизначеного органу, що здогадно дасть змогу бачити платонічну Мандельбротову множину. Треба замислитися про цінність і навіть існування органу, який дає змогу оцінити красу картини лише після того, як це стало очевидно завдяки приземленішим засобам. Якщо хтось хоче створити образ Мандельбротової множини, тут же стикається з питаннями, які чистого математика не хвилюють. Перше полягає в тому, що можна лише повторити відповідну процедуру скінченну кількість разів на комп’ютері. Тому в реальному світі можна створити лише зображення того, що платоніст вважав би гарним наближенням до множини. З конструктивного погляду, Мандельбротова множина – це ідеалізація серії зображень, які можна вдосконалювати все більше і більше, бо на їх утворення неухильно виділяється більше обчислювальних ресурсів. Кожне з досяжних зображень існує, але не потрібно підходити так само до існування нескінченної абстракції. Конструктивний погляд краще пристосований до таких обчислювальних задач, бо він визнає, що не завжди може бути ефективним способом визначення того, чи лежить точка у множині.

Рис. 3.4. Мандельбротова множина.

Краса Мандельбротової множини не внутрішня для неї, а полягає у відповіді наших дуже складних зорових систем на неї. Складно уявити, що можна багато чого донести про цю множину людині, яка народилося сліпою. Якщо не покликатися на її візуальний вплив, її цікавість полягає в досить обмеженій кількості теорем, які можна про неї довести. Без нашої високої естетичної оцінки її – це лише ще одна множина, значно менш важлива, ніж множина всіх простих чисел.
Чиста математика не унікальна в тому, що дає змогу створювати об’єкти великої складності шляхом багаторазового застосування простих правил. Ось кілька інших ситуацій, у яких відбувається таке ж явище:
• японське мистецтво орігамі;
• різноманітність різних сніжинок;
• кількість ігор, які можна грати, виконуючи правила шахів або го;
• асортимент органічних сполук на основі вуглецю, водню, кисню та азоту;
• еволюційні наслідки величезної різноманітності молекул ДНК, при цьому всі мають однакову фундаментальну структуру.
Звісно, всі вони мають свої відмінні риси, і жодна не абсолютно аналогічна до Мандельбротової множини або множини простих чисел. Проте всі демонструють незамкненість (open-endedness) природи – той факт, що прості правила (чи закони) можуть давати нескінченну різноманітність складних результатів. Чому математики – єдині люди, які стверджують, що ця можливість означає, що вони мають доступ до сутностей, які існують незалежно від людського суспільства поза простором і часом?

3.8. Математичний консенсус
Хоча згода щодо природи математики значна, вона не загальна, і є спільноти, які не поділяють її – фінітисти, формалісти, конструктивісти, плюралісти та деякі з тих, хто вважає обчисленність своїм основним інтересом. Люди, які переслідують ці інтереси, безумовно, математики, а деякі знають про усталену байдужість, яка іноді переходить у ворожість.
Серед них Едвард Нелсон (Edward Nelson), високоповажний математик з Принстонського університету. У 1960-х роках він зробив вирішальний внесок в основи квантової теорії поля, але приблизно з 1980 р. зосередив свою увагу на математичних темах, які безпосередньо стосуються основ цього предмета. У недавній статті він написав:

Моє твердження полягає в тому, що не існує платонічної реальності, що лежить в основі математики; математики доводять теореми, але теореми – ні про що. Ось так математика глибоко відрізняється від науки.
Математики не більше відкриває теореми, ніж скульптор виявляє скульптуру всередині каменю. (Звісно, ви жартуєте, містер Буонароті!) Але, на відміну від ліплення, наша робота сильно обмежена як строгими вимогами синтаксису, так і колегіальним характером справи. Ось так математика глибоко відрізняється від мистецтва.
Якщо заперечувати переконливість платонічного поняття істини в математиці, це жодним чином не позбавляє математику сенсу. У математиці сенс не в холодному, абстрактному, статичному світі платонічних ідей, а в людському, історичному, колегіальному світі математиків та їхній роботі.[25]

Стверджуючи, що "теореми – ні про що", Нелсон займає формалістичну позицію. Подальше його твердження, що це не позбавляє математику сенсу, здається, суперечить цьому, але я вважаю, що ідеї, які стоять за нашими теоремами, – це наші власні твори, індивідуально і колективно. Вони можуть бути уточненнями спочатку досить розпливчастих інтуїцій, значення яких розвиваються, коли ми розбираємо їх наслідки.
Нелсон датує своє відкинення платонізму релігійним досвідом у 1976 році, але інші бачення математики мають суттєвий інтерес навіть для тих, хто не релігійний. Зазвичай говорять, що Евклід довів, що існує нескінченна кількість простих чисел, але це платонічний блиск його фактичного результату, який можна знайти у твердженні 20, Книзі 9 Евклідових «Елементів». У ньому йдеться про те, що "прості числа – це більше, ніж будь-яка призначена численність простих чисел", або, сучасною мовою, "якщо є будь-який кінцевий список простих чисел, то є ще одне просте число, не з цього списку". Доведення Евкліда було фінітистичне і конструктивне, хоча безнадійно непрактичне: він описав (досить схематично), як створити нове просте число з цього списку. Він не використовував закон індукції, який не був відомий класичним грекам.
Найпоширеніша хибна репрезентація Евклідового доведення починається з припущення, що існує скінченна кількість простих чисел і приходить до супротивності, яка веде до висновку, що кількість простих чисел має бути нескінченною. Доведення від супротивного тепер дуже популярний метод, але він не дає стільки інформації, скільки конструктивне доведення. Іноді кажуть, що готовність використовувати доведення від супротивного – це те, що відрізняє математиків від науковців-комп'ютерників, але це надмірне спрощення. Математики відрізняються тим, скільки зусиль вони готові докласти для пошуку конструктивних доведень, але мало хто взагалі зацікавлений у таких питаннях. Одне із завдань науковців-комп'ютерників – розробляння алгоритмів, які можна реалізувати на комп'ютерах, тому їхній інтерес до конструктивних методів зрозумілий.
Натепер більшість математиків із задоволенням покликається платоністично на завершену і нескінченну множину всіх простих чисел, хоча найбільше точно відоме просте число, а саме 2^43112609 – 1, має лише тринадцять мільйонів цифр. Тому вони були б раді стверджувати, що існує найменше просте число з трильйоном трильйонів цифр, дарма що немає практичного способу сказати про нього щось суттєве. Строгий фінітист може стверджувати, що не слід заявляти, що кінцева цифра цього простого числа має визначене значення, якщо не існує реалізовного алгоритму для її визначення. Ми були зумовлені вважати такі застереження досить ексцентричними в математиці, але в інших контекстах ми прийняли б їх охочіше. Наприклад, перша дівчинка, яка народиться 3001 року, матиме ім’я, але більшість людей вважала б дивним стверджувати, що її ім'я вже існує в просторочасовому континуумі загальної теорії відносності. Мабуть, Айнштайн вірив у щось досить близьке до цього. 1955 року він написав синові та сестрі свого найближчого друга Мікеле Бесо (Michele Besso) так:

Тепер він відійшов від цього дивного світу, трохи випередивши мене. Це нічого не означає. Такі люди, як ми, які вірять у фізику, знають, що відмінність між минулим, теперішнім і майбутнім лише вперто стійка ілюзія.

Не слід робити висновок, що Айнштайн був відданий платоніст. У статті про філософію Бертренда Расела, написану в 1944 році, він зазначив, що «ряд цілих чисел – це очевидно творіння людського розуму, самостворений інструмент, який спрощує впорядкування певних відчуттєвих переживань».
Платонізм має інші наслідки, один з яких невидний для більшості, хто його підтримує. Він знижує статус числового аналізу і затримує розроблення тем, які зосереджуються на кількісних результатах, а не просто існуванні. Створення ефективних алгоритмів для знаходження сутностей, про існування яких було відомо століття тому, не таке гламурне, як доведення існування розв’язків нових задач, але, мабуть, так само важливе і, безумовно, так само важке.
Платонізм знеособлює математику і зменшує повагу, яку ми повинні мати до дивовижної творчості найздібніших математиків. Зосередження уваги на проблемі досить довго, щоб можна було «побачити» платонічний світ, було б набагато менш гідним захоплення, ніж створення чогось зовсім нового, бо фотографія набагато менш разюча, ніж геній Моне чи Пікасо. Деякі з найтворчіших математиків стверджують, що їхня робота першого типу, але решта з нас може захоплюватися їхньою творчістю, попри це. Нелсон висловив цю ідею такою поетичною/релігійною мовою:

Я радію, що вибраний нами напрям роботи, математика, дав змогу мені створити нові речі, які раніше не існували, і привітати з подивом і благоговінням багато дивовижних винаходів моїх колег. Я радію, що ми щодня живемо, занурені в нескінченність, що маємо свободу не лише робити вибір, а й часом бути агентом, волею чи благодаттю, співати Господові нову пісню.[26]

Стверджувалося, що для тих, хто цікавиться обчисленнями, конструктивна математика Бішопа вже застаріла, і справжня проблема не існування алгоритму, а створення ефективних алгоритмів. Одне з найважливіших застосувань математики в медицині – це перетворення Фур'є. Це математична техніка, яка може бути використана для перетворення інформації, створеної сканером тіла, у картинки, які можуть бути використані для діагностики захворювання. Сканери – це не просто великі і дорогі камери: вони продукують кількість даних, зв’язок яких з кінцевими зображеннями залежить від дуже великої кількості опрацювання. Теоретична можливість створення таких зображень ніколи не викликала сумнівів, але її реалізація залежала від ідеї, яка зробила обчислення здійсненними. Навіть з комп’ютерами це було б неможливо без розумної ідеї, залученої до швидкого перетворення Фур'є – техніки, яка робить обчислення в мільйони разів швидшими.
Математичний консенсус щодо того, що таке "правильна" математика, – соціальне явище. Числення було винайдене понад двісті років тому до строгого означення дійсних чисел. Доведення його справедливості тепер набагато строгіші, але раніше ніхто не думав, що від інтегрування та диференціювання одного дня, можливо, доведеться відмовитися. Інструменти, які створили математики, працюють як оголошувалося, та зробили величезний внесок у нашу нинішню цивілізацію. Однак інструменти можуть застаріти, і швидкий розвиток комп'ютерів може зробити деякі наші сучасні уміння зайвими. Математику потрібно розглядати за часовим масштабом століть, навіть якщо темп змін пришвидшується. Наша математика була б невпізнанною сім століть тому і може бути невпізнанною для наших нащадків через сім століть.
У цьому плані математика схожа на політичні інститути, які керують нашим повсякденним життям та відносинами. Середньовічне життя для нас майже неуявленне, і нашу власну готовність боротися і навіть померти, щоб зберегти наші "нації", одного дня може бути важко пояснити – ми можемо відчувати сильне почуття належності до якоїсь соціальної одиниці, але її розміри надзвичайно зростали, хоч і переривано, протягом століть. Зміни у ставленні можуть здаватися незначними протягом життя, але це просто тому, що суспільства змінюються на повільніших часових масштабах.
Баєсівська статистика дає хороший приклад змін у ставленні до математичних наук. Це галузь, яка викликала чималі суперечки. Її винайшов Томас Баєс у XVIII ст., але вона втратила повагу в першій половині ХХ століття. Метод важко пояснити нетехнічною мовою, але джерелом суперечки було використання експертного судження при встановленні основних параметрів моделі. Це визнали ненауковим та суб'єктивним.
П'ятдесят років тому баєсівські методи зазвичай неприхильно порівнювали з краще усталеною частотницькою моделлю статистики, яка набагато більше відповідає бейконівській моделі науки. Відмінність між двома методами не суто філософська – вони можуть дати різні відповіді, коли застосовувати до складних проблем. У частотницькому методі збирають масу статистичних даних про якийсь суб’єкт, а потім піддають їх одному з багатьох статистичних тестів і отримують не лише тенденцію, але й міру її статистичної вагомості. Якщо сказати, що позитивна реакція на препарат вагома на рівні 95 %, це означає, що якщо повторити достатньо подібних випробувань, можна було б очікувати отримання подібного результату чисто випадково один раз на двадцять випадків. Це аж ніяк не достатньо, щоб бути впевненим, що результат – справжнє свідчення того, що препарат діє, але достатньо, щоб він був обнадійливий.
Через порівняння з очевидно об'єктивним характером частотницької статистики, баєсівська теорія часто висміювалася залежно від суб'єктивних суджень, а також суперечила поперівській вимозі фальсифіковності. Вона була описана як нелегітимна спроба обійти нудний процес збору необхідних даних, і тому їй не можна було довіряти, а то й допускати на арену наукових досліджень. Таким було ставлення більшості статистиків у 1960-х роках. Навіть у виданній 1990 року Британіці лише половина сторінки з дев'яти присвячена статистиці, що займалася баєсівською версією, і частина цього – опис її суб'єктивного характеру.
Недавнє дослідження показує, що частка баєсівських статтей у статистичних журналах зросла від трохи більше ніж 10 % до 35 % за період з 1970 року. Адріан Сміт був одним із піонерів, відповідальних за демонстрацію переваг баєсівських методів у багатьох складних ситуаціях, які можна було проаналізувати лише за допомогою комп'ютерів, а не стандартного інструменту науковців 1970-х років. У 1996 році Біл Ґейтс заявив, що "конкурентна перевага «Майкрософту» – його досвід у баєсівських мережах", але ця перевага незабаром вивітрилася, бо багато інших організацій, зокрема великі міжнародні банки, прийняли ці ідеї. Виявилося, що бейконівська ідея про те, що об'єктивні докази повинні передувати висновкам, не працює так само, як комбінація даних та експертних висновків, модифікована пізнішим досвідом. Дійсно, тепер припускають, що саме так може працювати людський мозок, і це може бути причиною того, що ми можемо впоратися з невизначеними ситуаціями, з якими сучасні комп’ютери не справляються.
Баєсівський підхід тепер так добре інтегрований у статистику, що потрібно докласти небагато зусиль, щоб знайти покликання на раніший період. Завдяки хитрості рук колись фатально суб'єктивний елемент баєсівської теорії став чеснотою – її здатність використовувати експертне судження, а також об'єктивні докази при оцінюванні ймовірності різних результатів.

3.9. Аргумент із фізики
Юджин Віґнер був один із піонерів у розвитку квантової теорії. Одним з його найважливіших внесків було усвідомлення цінності використання симетрії (так званої теорії груп мовою математиків) для спрощення та впорядкування розрахунків. Теорію груп винайшов (або відкрив, як вам зручно) Ґалуа в 1831 році, який використовував її для вивчення розв’язків поліноміальних рівнянь, галузі алгебри. Поступово вона пронизала геометрію, а потім фундаментальну фізику, і тепер вона один із центральних інструментів обох предметів.
1960 року Віґнер опублікував статтю, назва якої "Необґрунтована ефективність математики" (The Unreasonable Effectiveness of Mathematics) стала знаменитою. Він звертає увагу на той факт, що математика дає опис природного світу, який неймовірно добре працює в ситуаціях, що виходять за межі тих, для яких вона була створена спочатку. Віґнер наводить кілька прикладів, один з яких стосується спектрів важчих атомів:

Хочу згадати розмову з Йорданом, який... вважав, що ми були б, принаймні тимчасово, безпорадними, якби в теорії атома гелію сталася несподівана неузгодженість. Її в той час [кінець 1920-х] розробили Кельнер та Гілерас (Hilleraas). Математичний формалізм був надто дорогий і незмінний, так що, якби згаданого раніше дива гелію не сталося, виникла б справжня криза. Безумовно, фізика так чи інакше подолала б цю кризу. З іншого боку, правда, що фізика, як ми її знаємо сьогодні, не була б можливою без постійного повторення див, подібних до атома гелію.

Віґнер мимоволі підірвав власний аргумент, покликаючись на можливу кризу. Це фактично припускає, що фізики володіють надзвичайною винахідливістю, і регулярно досягають успіху у винайденні нових формалізмів, які долають проблеми, коли вони виникають. Щодо атома гелію, один із них передбачав додавання поняття статистики Фермі – Дірака до квантової теорії. Немає жодної причини, чому відкриття того, що теорія працює в широкому діапазоні ситуацій, слід описувати як потребу постійного повторення див.
Була дана низка відповідей на питання Віґнера, але не ясно, чи це правильне питання. Справжнє питання полягає не в математиці, а реальності – чому Всесвіт досить простий і стабільний, щоб ми могли його зрозуміти. Айнштайн зрозумів це правильно, коли написав:

Найнезбагненніше у Всесвіті – те, що він збагненний.

Давні китайські записи затемнень демонструють, що планети підлягали Ньютоновим законам руху до того, як вони були відкриті, хоча статус слова "підлягали" (obeyed) зовсім не зрозумілий. Можна альтернативно сказати, що китайські записи свідчать лише про те, що закономірності руху планет не недавнього походження, і що Ньютонові закони описують цю закономірність (а не викликають її). Однак використання різних типів речення для вираження тісної залежності між Ньютоновими законами та рухами планет не може вирішити, що має попередній статус. Для цього потрібен глибший аналіз.
Регулярність природи не винятково математична, і, можливо, наша зосередженість на цьому аспекті – результат нашого культурного світогляду. Ось кілька з багатьох нематематичних регулярностей світу, які ми використовуємо.
• Мисливці-збирачі вчаться розпізнавати тисячі рослин і плодів та знають, які частини кожної з них можна їсти, а які отруйні; ці знання стабільні й можуть передаватися від одного покоління до наступного.
• Те, що ми можемо запам'ятати безліч складних маршрутів між місцями, – це ще одна заувага щодо стабільності світу, а також нашої здатності цим скористатися.
• У міру того як проживаємо дитинство, ми поступово дізнаємося, що певні події можуть спричинити інші і що ці зв’язки продовжуються лише тоді, коли не втручаються інші події ; цілком хаотичний світ уявити можна, хоча люди не змогли б вижити в ньому.
• Широкий спектр твердих предметів не змінюється за розмірами відносно один одного протягом тривалих періодів часу. Ми навчилися використовувати цей факт тисячі років тому, створюючи мірила (лінійки) та використовуючи їх для перетворення розмірів у числа.
Розвиток фізики залежав від подальшої регулярності, що дуже дивно. Ньютонівська механіка, розроблена, щоб розуміти рух планет і середніх розмірів тіл на землі, виявилася застосовною на масштабах приблизно від однієї мільйонної метра, нижче від яких квантова теорія стає дедалі важливішою, і до багаторазових розмірів нашої галактики. Здається, вона застосовна без змін протягом декількох мільярдів років. Той факт, що Всесвіт надзвичайно однорідний на величезному діапазоні масштабів простору та часу, пояснює, чому правила, виявлені в одному контексті, також виявилися справедливими в дуже різних галузях. Можна легко уявити собі життя у світі, чиї закони докорінно змінилися на масштабах нижче від міліметра і вище від кілометра, але наш світ, здається, не такий. Ця однорідність математично виражається покликанням на інваріантність законів фізики за симетріями Евкліда чи Лоренца, але це фізичний факт. У кількох ситуаціях, наприклад, коли налаштовуються годинники в супутниковій мережі GPS, ньютонівська механіка не дає належного опису світу, і стає важливою загальна теорія відносності.
На атомному масштабі світ принципово відрізняється від того, що ми переживаємо, але нам вдалося частково зрозуміти його за допомогою квантової теорії. Створення цієї теорії було одним із тріумфів людського духу, але її успіх був лише частковий. Певні факти, такі як рівні енергії атомів, можна передбачити з великою точністю, і, як відомо, вони були стабільні протягом мільярдів років. З іншого боку, розуміння дуальності хвиль і частинок, здається, поза нами, навіть якщо ми можемо сформулювати та часто розв’язувати відповідні рівняння. Більшість науковців вважає, що той факт, що квантова теорія вимірювання має справу лише з імовірностями, відповідає глибоко загадковому характерові самого світу. Дуже мало фізиків досі вважає, що його ймовірнісний характер свідчить про те, що квантова теорія неправильний опис явищ атомного рівня, бо вона пройшла стільки перевірок, розроблених для дослідження її особливостей. Ось три з багатьох цитат всесвітньо відомих фізиків:

Можна упевнено сказати, що ніхто не розуміє квантову механіку. (Річард Файнмен)
Квантова механіка абсолютно не має ніякого сенсу. (Роджер Пенроуз)
Мені не подобається [квантова механіка], і мені шкода, що я взагалі мав до неї стосунок. (Ервін Шредінґер)

Особливості квантової теорії реальні й не можуть бути розв’язані математичною хитрістю – всі перераховані вище фізики знали математику досить добре, і двоє з них брали участь у її розробленні. Деякі фізики вважали б за краще жити у світі, в якому фундаментальні частинки поводилися б цілком збагненно, але особливості видаються сутнісними, а не просто результатом неповної теорії.
Квантова теорія дає хороший контрприклад до припущення, що природа проста. Тема концептуально глибока, і багато її застосувань передбачає обсяжні комп'ютерні розрахунки. Деякі аспекти ньютонівської механіки можна викладати в середній школі, але квантова теорія зазвичай предмет бакалаврату в університетах. Навіть після проходження відповідних курсів студенти університету мали б невелику надію обчислити перші кілька енергетичних рівнів другого найпростішого атома – гелію. Хоча існують процедури обчислення релятивістських поправок енергетичних рівнів, для цього не існує повністю послідовних рамок. Теорія працює, але потрібно кілька років навчання, перш ніж можна буде використовувати її для опису будь-яких, але найпростіших прикладів. Розрахунки у квантовій хромодинаміці ще більше відомі своєю складністю і лише тепер стають можливими.
На квантовому рівні світ має багато рис, яких нема на нашому масштабі. Ми вважаємо, що електрони всі точно однакові; якби вони не були такі, то не могли б підлягати статистиці Фермі – Дірака. Вони не схожі на кулькові вальниці, які просто виглядають однаково, але їх можна розрізнити за певний проміжок часу, просто спостерігаючи, куди кожна рухається. Електрони можуть об’єднуватися, а потім розділятися так, що унеможливлює подібну процедуру навіть «у принципі». Ми враховуємо це в нашому математичному описі електронів, але це фізичний факт, а не математичний. Якщо він виявиться неправильним, наша фізична картина атомного світу мусить бути докорінно неправильною.
Велике логічне багатство та дуже вузька сфера математики чудово підходять для опрацювання певних досить особливих аспектів світу (але не погоди через місяць). Фундаментальна фізика є серед цих аспектів, але навряд чи це характерно для науки загалом, не кажучи вже про інші аспекти нашого життя. Чи варто насправді дивуватися тому, що використання надзвичайно спеціалізованої форми мови доцільне при описі надзвичайно особливого аспекту дійсності? Звичайна мова дає змогу нам обговорювати теми, для яких математика абсолютно непридатна для розгляду, як-от наші надії на майбутнє та мотиви інших людей. Ми намагаємося навчити своїх дітей відмінності між правильним і неправильним, хоча самі не цілком розуміємо ці поняття. Ми навчаємо їх читати та писати на прикладі, а не на теоретичному аналізі граматики. Наша соціалізація домінантно впливає на нашу поведінку і не може бути математизована. Ми навіть пояснюємо студентам, чому теореми в наших математичних лекціях важливі та як вони пов’язані між собою, використовуючи звичайну мову.
Як сказав філософ науки Сундар Сарукай (Sundar Sarukkai), дивовижне питання полягає в тому, чому ми сприймаємо якось як належне, що в здатності природних мов описувати світ немає нічого загадкового. Ми не вважаємо, що мови є "необґрунтовано ефективні", так само як математика. Що може бути причиною цього нездивування з приводу виразних можливостей мови? Сарукай зазначає, що, хоча мови містять багато слів, які безпосередньо стосуються фізичного світу, їх сила залежить від того, що вони також мають безліч абстрактних слів; до них належать "багатство", "абстрактно" та "слово".
Нижчевказана цитата Айнштайна відома, але вона містить два припущення:

Як може бути, що математика, зрештою продукт людської думки, незалежний від досвіду, так чудово відповідає об’єктам реальності?

Твердження про «незалежність» може описувати остаточну форму більшої частини сучасної чистої математики, але воно мало пов'язана з розвитком предмета, тепер чи в минулому. Її історичний розвиток можна детально вивчити, і на великі частини, наприклад, на Евклідову геометрію, очевидно вплинуло бажання пояснити аспекти фізичного світу. Аритметика – це розвиток нашої здатності рахувати, і рахування доцільне лише тому, що значна кількість сутностей не змінюється швидко протягом помірних періодів часу. З досвіду ми дізнаємося, що підрахунок корисніший, коли йдеться про корів і камені, ніж про хмари. Систематизація геометрії та аритметики – крайня версія нашої загальної здатності розуміти логічні зв’язки. Прогрес теорії струн показує, що дуже велику кількість математичних моделей, можливо, доведеться створювати, а потім відкидати в процесі пошуку тієї, яка має певне значення. Навіть припущення, що простір неперервний, а не дискретний, цілком може бути результатом нашої необхідності створювати прості математичні моделі – ніхто не знає, як описати простір на масштабах, нижчих від довжини Планка.
Друге припущення Айнштайна – я б навіть назвав його помилкою – це ототожнення "об'єктів реальності" з тими, які можна описувати, використовуючи математику та фізику. Існує багато інших об'єктів реальності, зокрема тих, що стосуються змісту наших розмов та продуктів нашої культури, в яких математика абсолютно марна. Заперечення реальності тих речей, які математика не може описувати, робить це твердження, звісно, істинним, але воно переконає лише тих, хто не може бачити поза своєю власною дисципліною.
Той факт, що наш найуспішніший опис природного світу має математичний характер, не означає, що математика «керує» світом, попри твердження деяких фізиків. Один із таких – Макс Теґмарк (Max Tegmark), дуже авторитетний «космолог точності», основне дослідження якого використовує астрономічні дані, щоб поставити різкі обмеження на космологічні моделі. Він також домагається прихильності популярної преси, пишучи напівфілософські статті (що він сам описує як "схиблені" на своїй домашній сторінці), в яких стверджує, що "наша зовнішня фізична реальність – це математична структура" та "тлумачний багаж", який ми використовуємо, щоб зрозуміти світ – це наше власне творіння. За його словами, найфундаментальніші рівняння повинні бути найчистішими і не повинні містити такого багажу взагалі. Він визнає, як платоніст чи, можливо, пітагореєць, що найважливіша проблема цієї ідеї – необхідність пояснення того, як ми можемо визнати фізичну релевантність математичних рівнянь, які повністю вільні від багажу. Не дивно, що його спроби взятися до цієї проблеми не досягають успіху.
Тегмарк дотримується такої ж лінії, що й Пітер Еткінз, фізичний хемік з Оксфорду, автор надзвичайно успішних підручників із хемії та популярних праць з науки. Одна з таких «Створення переглянуте» (Creation Revisited), дивна суміш ортодоксальної науки та духовної жаги, в якій він намагається описати атеїстичну та науково обґрунтовану віру. Нижчевказана цитата передає певний дух книжки і її складно зрозуміти, навіть прочитавши в контексті:

Найбільший натяк [на те, що фізичний світ – це математика] — полягає в тому, що ми, здається, існуємо, і тому математичний опис походження світу мусить враховувати появу вочевидь чогось із напевне нічого. Ми бачили, що позірно щось насправді вишукано реорганізоване ніщо, і чистий зміст Всесвіту тепер такий самий, яким він завжди був, і завжди буде, світ із кінцем чи без нього; а саме ніщо. Яка математика може емулювати появу чогось із нічого? Та ніщо інше, як чисті числа! ... Можливо, логічні структури математики та Всесвіту виникли одночасно і однакові. Глибинна структура Всесвіту може бути глобально самоузгодженою збіркою порожньої множини. Ми, подібно до математики, подобається це чи ні, вишукані, самоузгоджені, перебудови нічого. ... Можливо, що збагненне є збагненне через глибинну структурну схожість і, можливо, навіть тотожність, математики та реальності.[27]

Існує багато прикладів фізиків, які приймають те, що філософ Бас ван Фрасен (Bas van Fraassen) називає ледачим варіантом «уречевлення» (reifying) теоретичних моделей, тобто заявляючи, що сутності в цих моделях насправді існують. Хоча я не погоджуюся з тим, що він написав, нижчевказане здається кращим викладом про їх статус, аніж Еткінзів.

Існують лише дві сфери наукового дослідження, якими [займаються] експериментатори та теоретики. З одного боку, є явища, які досліджуються. З іншого боку, є моделі, абстрактні структури, вивчені в математиці, які теорія просуває як представлення цих явищ. Представлення завжди часткове і вибіркове. Ви і я – механічні системи, тобто ми правильно представлені певними механічними моделями. Але, хоч би якими хорошими були ці моделі, вони досить багато про нас опускають (і містять елементи, які, можливо, взагалі нічому не відповідають у нас).[28]

Наукове використання моделей має кілька аспектів. Самі моделі – це теоретичні (і, отже, культурні) конструкції, і в цьому сенсі вигадані, але процедури їх створення обмежені теорією, що досліджується. Вони ідеалізують ситуацію, що цікавить, роблячи вигляд, що вона простіша, ніж є насправді (наприклад, заміни Землі кулею та зменшення кількості гравітівних тіл у Сонцевій системі від сотень до двох-трьох) та змінюванням рівнянь, які керують поведінкою системи (наприклад, ігнорування сили тяжіння в задачі про напівпровідники або встановлення в'язкості рівною нулеві в задачі про плини). Передбачуваний зв’язок між моделлю та фізичним світом регулюється умовами теорії, але він неминуче приблизний через спрощення. Можна використовувати різні моделі однієї фізичної системи залежно від контексту та необхідної точності.
Науковці приймають модель як частину свого світогляду, коли відповідність між її властивостями та властивостями фізичного світу вважається достатньо близькою в широкому діапазоні ситуацій. Це часто передбачає переусвідомлення своїх основних концепцій. Сьогодні було б абсурдно відмовлятися визнавати фізичне існування атомів через різноманітність доказів на підтвердження цього, хоча було розумно вважати їх не більше ніж теоретичними конструкціями протягом ХІХ століття. Варто, однак, зазначити, що наші атоми мають істотно відмінні властивості від атомів Далтона та Авоґадро. Але цей успіх не дає нікому картбланш матеріалізувати кожне нове поняття у фізиці.
Підбиваючи підсумок, Всесвіт як ціле зрозумілий для нас, бо деякі явища мають високий ступінь регулярності у величезному діапазоні масштабів часу та простору. У цьому разі ми можемо сподіватися знайти спосіб описання регулярності, а спеціалізовану мову, розроблену для цього, називають математикою. Дивовижні речі – це фізична регулярність і наша здатність розпізнавати її, а не мова, якою ми користуємося, щоб виразити її. Враховуючи перші дві, ми змушені були врешті почати розробляти третю.

3.10. Математична істина
У математиці існує багато об'єктивних фактів, але описати їх точний статус непросто. Один із них – твердження, що якщо прийняти стандартні правила аритметики, то 4 × 7 = 28. Одне з питань, яке математик чи логік хотів би уточнити щодо рівняння, – точне означення 4 та інших чисел у рівнянні. Зрозуміло, що 4 – це не саме число; це одне з багатьох назв для числа, так само як "чотири" та IV. На початку ХХ століття Алфред Норт Вайтгед та Бертренд Расел доклали величезних зусиль, щоб зробити такі питання точними, але результат був майже нечитним. Покликання на підрахунок кількості елементів у прямокутному масиві
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
не можуть бути доведенням, бо це зводить істинність чистої математики до властивості фізичних позначок на папері. Хоча можна стверджувати, що фізичні позначення – просто недосконала версія ідеальних знаків у платонічному світі, ніхто не зможе таким способом визначати добуток двозначних чисел. Більшість математиків мало цікавить подібні питання, бо зрозуміло, що справедливість рівняння – одна з багатьох перевірок, яким адекватна теорія чисел повинна задовольнити. У певному сенсі тотожність фундаментальніша, ніж будь-яка система аксіом, в якій значення термінів робиться досить точним, щоб її можна було довести.
Майже кожен математик, зокрема і я, також сказав би, що існують істинні теореми, не просто теореми, які нинішні математики погоджуються прийняти, бо ми поділяємо загальну культуру, але й теореми, щодо істинності яких не може бути серйозних аргументів. Як приклад, можна взяти твердження, що сума внутрішніх кутів (евклідового) трикутника дорівнює 180°, незалежно від форми трикутника.
Остання теорема Ферма дещо менш надійна, ніж викладена вище. Це твердження, що не існує додатних чисел a, b, c і число n ≥ 3, для яких
aⁿ + bⁿ = cⁿ.
До 1993 року жоден математик не стверджував би, що Остання теорема Ферма була істинна. Після героїчних зусиль Ендрю Вілза (Andrew Wiles) (за сприяння Річарда Тейлора (Richard Taylor) на останніх етапах) теорема тепер вважається доведеною. Кілька математиків детально ознайомилися з усім доведенням, ряд інших освоїли значну частину цього матеріалу, і деяких значних успіхів досягнуто у сферах, які розробив Вілз задля доведення.
Вілзове доведення, безсумнівно, строге, але значення слова "строгий" слід прописати. Це не означає, що кожен етап у доведенні був доведений безпосередньо з аксіом, з використанням лише законів логіки. Мається на увазі лише те, що складено достатньо детальний, упорядкований перелік етапів, щоб фахівці в цій галузі погодилися, що таке формальне доведення може бути надане, якби було таке бажання. Зокрема, рецензент математичної статті може поставити під сумнів різні етапи та наполягати на тому, що слід надати більше деталей, але опубліковані статті займають не більше ніж частину місця, необхідного для повного логічного виведення. Через це строгі доведення час від часу неправильні, й іноді потрібні десятиліття, щоб помилка з'ясувалася. Повне, формальне доведення до недавнього часу вважалося поза межами можливостей математиків його надати, за винятком тривіальних випадків. Однією з причин цього була величезна і врешті-решт самопрограшна (self-defeating) тривалість єдиної серйозної спроби надати такі доведення в галузі логіки Раселом та Вайтгедом на початку ХХ століття.
Багато математиків, незалежно від того, чи вважають вони себе платоністами, стверджують, що Остання теорема Ферма була вже істинна до того, як Вілз довів її. Вони б сказали, що або є контрприклад, або немає. Якщо є, то це передбачало б чотири конкретні числа a, b, c і n, які, «в принципі», можна було б явно записати. Якщо контрприкладу немає, то теорема істинна, незалежно від того можна її довести чи ні.
Поява ухильних слів (weasel words) "в принципі", свідчить про те, що всі ці твердження спірні. Якщо спроби знайти контрприклад з найшвидшим наявним комп'ютером проваляться протягом тривалого періоду часу, це нічого не доводить. Cтвердження існування контрприкладу, який далеко виходить за межі комп’ютера, такого великого, як видний Всесвіт, і триває протягом мільярдів років, припускає справедливість платонічної позиції. Можна довести неіснування такого контрприкладу, виходячи з його суперечності. Поки в когось немає контрприкладу чи доведення його існування чи доведення несуперечливості, не можна робити ніяких висновків щодо теореми і слід мовчати.
Доведення теореми чотирьох фарб Епелом (Appel) та Гакеном (Haken) у 1976 р. розпочало нову еру, в якій доведення деяких теорем залежали від поєднання людської проникливості та трудомістких комп'ютерних обчислень. Деякі математики вважали це засмутним, але наступне покоління навчилося таке сприймати. А що комп'ютери стають дедалі потужнішими, то з'явилися подальші приклади подібного типу, і тепер є галузі, в яких деякі ключові результати залежать від використання комп'ютерів. Наші власні людські зусилля аж ніяк не вільні від помилок, і це щастя, що тип математичного мислення, в якому ми особливо хороші, доповнює той тип, у якому хороші комп'ютери.
Нещодавнє розроблення формальних доведень коректності робить вплив комп’ютерів ще на крок далі.[29] Вони можуть надати надзвичайно вагомі докази того, що математичні теореми правильні, розширивши аргументи, які завдячують своїм походженням людському розумінню, до того моменту, коли кожен крок дотримується кількох логічних правил, з якими погодився б кожен математик. Зусилля, пов’язані зі створенням формального доведення, дуже великі, але низка дуже складних теорем, зокрема теорема чотирьох фарб, тепер формалізована. Цілком можливо, що колись комп’ютери зможуть створювати доведення основних теорем без будь-якої допомоги від нас, але це не неминуче, і я особисто не очікую, що доведеться адаптуватися до такої ситуації.
Кількість професійних математиків різко зросла протягом ХХ століття, і врешті-решт через велику кількість математики, яку вони створили, окремим математикам дедалі важче зрозуміти більше, ніж крихітну частину предмета детально. Потім з'явилася класифікація скінченних простих груп, найамбітніша спільна робота з чистої математики за значущістю. Я не фахівець з теорії груп, але написав короткий виклад історії теореми про класифікацію в 2005 році. Це виявилося набагато чутливішим питанням, ніж усвідомлював, і я наступив на кілька хворих пальців. Поточний виклад не сильно відрізняється від мого попереднього, але сподіваюся, що він виражений точніше та тактовніше.
Проєкт класифікації розпочався на початку 1970-х років під керівництвом Деніела Ґоренстайна (Daniel Gorenstein) і мав на меті привести до повного списку всіх скінченних простих груп. (Для наших цілей не потрібно знати, що це таке.) На піку діяльності понад сотні теоретиків груп були призначені окремі частини роботи, і приблизно до 1980 р. вважалося, що це завдання по суті закінчене і що повний список відомий. Відтоді не виявлено нових груп і немає підстав вважати, що класифікація не повна.
На жаль, доведення теореми величезне; спочатку було понад п'ять сотень статтей, а деякі частини доведення не публікувалися в рецензованих журналах. Одна, мабуть, невелика лакуна в доведенні вимагала подальших великих зусиль Ашбахера (Aschbacher) та Сміта, результатом чого стало видання двох істотних книжок у 2004 році. Проєкт, що представляє все доведення в пов’язаній серії з приблизно одинадцяти томів, загалом 5000 сторінок, наближається до завершення; шість томів були опубліковані станом на листопад 2007 року [станом на 2021 рік опубліковано дев’ять томів. – Прим.].
Тут ми переходимо від факту до інтерпретації та коментарів. Сумнівно, що будь-яка окрема людина могла б освоїти деталі всієї роботи так, щоб бути впевненим, що в доведенні теореми немає помилки. Це безпрецедентна ситуація в чистій математиці і вона наслідок тривалості та недостатньої глобальної прозорості цього доведення. У 2005 році Майкл Ашбахер, один з лідерів проєкту класифікації, написав:

Якщо ми допустили помилки, так що теорема [про класифікацію] хибна, і є якась [додаткова група, яка не міститься у відомому списку], тоді можна буде виправити теорему, додавши [додаткову групу до списку] та внісши незначні зміни до індуктивного "доведення". Це було б істинним, якщо структура [додаткової групи] буде приблизно така, як у членів [відомого списку]. Але якщо [додаткова група] має зовсім інакшу структуру, можна уявити, що така модифікація може бути неможливою.[30]

Ашбахер аж ніяк не самотній у своїй обережності, і про класифікацію іноді говорять як про теорему "за консенсусом спільноти". Навіть якщо одинадцять томів будуть завершені, як тепер здається дедалі ймовірнішим, кількість людей, здатних зрозуміти їх, зменшується, бо ті, хто брав участь у початковій роботі, виходять на пенсію та помирають. Майбутні покоління можуть бути змушені використовувати результати, хоча ніхто з живих може не мати належного розуміння доведення.
Хоча багато хто захоплюється величезним досягненням тих, хто брав участь, здається, що математика, можливо, досягла переламного моменту. Деякі з учасників проєкту, не впевнені, що буде знайдене докорінно коротше та зрозуміліше доведення. Якщо вони праві, тоді ми, нарешті, змушені відійти від давньої традиції, яку передавали нашим студентам протягом поколінь: щоб вони ніколи не визнавали авторитету жодної теореми, а повинні читати її доведення критично і вирішувати самі, чи вірити йому. Математика, врешті, може бути змушена приєднатися до решти наших інтелектуальних занять, у яких чесні зусилля спільноти експертів протягом тривалого періоду повинні бути прийняті за умови, що кожна частина буде перевірена як і коли це буде необхідно.

3.11. Чи математика наша неминуча?
Чи можна показати, що, хоча ми могли дістатися до нашого сучасного стану цивілізації інакшим шляхом, математика, яку ми знаємо, повинна була зрештою з'явитися?
Наведімо кілька аргументів на користь цієї пропозиції. Підрахунок – така базова частина нашого існування, що важко уявити життя без нього. Просто погляньте на якісну газету сьогодні, і ви знайдете десятки чисел на більшості сторінок, більшість з яких передбачає підрахунок, від рахунку у спортивному заході до вартості чогось у місцевій валюті. Додавання не те саме, що підрахунок, але, здається, неминуче, якщо потрібно відстежувати суму, коли поєднуються дві досить великі групи об'єктів. Множення – інша річ. Воно використовувалося не так часто, як додавання, але вже добре закріпилося на початку третього тисячоліття до н.е.; вавілоняни створили систематичні таблиці множення для всіх чисел до 59 × 59. Їхнє віддання переваги базуванню своєї системи підрахунку на 60, а не на 10, яку ми використовуємо тепер, мабуть, виникло з того, що 60 можна розділити на всі числа до 6 точно. Вони не задовольнилися цим, а розробили методи розв’язання широкого кола кількісних задач геометрії. Останні не були записані в загальному контексті, і ми маємо висновувати їхні методи з багатьох глиняних табличок, які містять числові приклади, ймовірно, призначені для навчальних цілей.
Заманливо стверджувати, що додавання та множення такі базові, що будь-які розумні інопланетяни були б змушені перевинайти їх у такій же формі, що й ми. З чисто логічного погляду, цей аргумент абсурдний, бо немає доказів існування інопланетян. Якщо ж це так, то вони можуть бути знайомі з лічбою, але просто знизують своїми неземними плечима, коли знайомляться з поняттям множення, і кажуть нам, що вони вважають нашу літературу набагато цікавішою, ніж нашу одержимість переставляти абстрактні камінчики в прямокутні таблиці. Вони могли розвинути космічні подорожі завдяки еволюційному процесові без будь-яких наукових законів чи бюрократичної інфраструктури, подібно до того, як птахи літають, а тваринам вдається уникнути падіння зі скель.[31] Все, що ми знаємо, це те, що жоден інший вид, навіть людиноподібні мавпи, не розвинув математику, і що ми ніколи не зможемо спілкуватися з одними з найуспішніших – соціальними комахами.
Давід Руель висловлює подібні настрої у своїй останній книжці «Мозок математика».

Дозвольте констатувати висновок, якого мені важко уникнути: структура науки про людину багато в чому залежить від особливості та організації людського мозку. Я зовсім не припускаю, що чужий розумний вид може розвивати науку з висновками, протилежними нашим. Швидше, я пізніше стверджуватиму, що те, що наш передбачуваний інопланетний розумний вид зрозумів би (і зацікавився б), може буде важко перекласти на щось, що ми зрозуміли б (і зацікавилися б).

Залишаючи це осторонь, цілком правдоподібно, що наша здатність рахувати, не лише до чотирьох, але й набагато далі, досить близька до нашої генетичної спадщини, хоча деякі племена не розвинули її. Згідно з Біблією, пастухам не потрібно було рахувати своїх овець: вони впізнавали кожну на ім'я. Аритметика могла б не розвиватися так, як це сталося, якби ми могли з одного погляду розрізнити числа до тисячі так само, як ми можемо насправді розрізняти числа до чотирьох. Це не пуста фантазія. Невролог Олівер Сакс описав близнюків, які не могли точно додавати і віднімати і не могли зрозуміти, що означає множення і ділення. Він написав:

Коробка сірників упала зі столу і на підлогу висипався її вміст – і вони обидва крикнули одночасно «111»; а потім, пошепотівши, Джон сказав «37». Майкл це повторив, Джон сказав це втретє і зупинився. Я порахував сірники – це зайняло в мене трохи часу – і було 111. «Як ти зміг так швидко порахувати сірники?» – запитав я. "Ми не рахували", – сказали вони. "Ми побачили 111".[32]

Ми багато знаємо про історичний розвиток просунутіших аспектів математики. Я вже писав про закон математичної індукції в «Науці в дзеркалі», тому тут я сконцентруюся на від’ємних числах. Історія цього предмета типова для культурно переданої концепції. У ІІІ столітті Діофант називав рівняння 4х + 20 = 0 абсурдом. Від’ємні числа використовувалися, щоб представляти борги в Індії та ісламському світі до 1000 року, наприклад, Брагмагупта в 7 столітті, але їх уникали в Європі набагато довше. Якщо поглянути на механіку сімнадцятого століття в Європі, то можна регулярно бачити те, що ми вважатимемо як одні й ті ж математичні обчислення, записані двічі, а то й більше разів, щоб врахувати, рухається кожне з цих тіл ліворуч чи праворуч. Це видно навіть у «Принципах», де Ньютон відчував необхідність зробити це у своєму законі збереження імпульсу. Сьогодні ми просто оголосили б домовленість про те, що тілам, які рухаються праворуч (або ліворуч), повинні бути призначені додатні (або від’ємні) швидкості, і забути це питання. Європейський опір використанню від'ємних чисел продовжувався й у XVIII ст. Наприклад, Клеро, про якого вже йшлося в розділі 1, щодо вирішального розв’язання аномалій на орбіті Місяця в 1752 році, все ще непокоївся через значення таких виразів, як (– 400) ÷ (–10).
Правило множення від’ємних чисел не очевидне. Хоча врешті можна переконати себе, що (–2) × 3 = –6 – це природний результат, не так зрозуміло, чому (–2) × (–3) = 6. Додавання двох від’ємних чисел приводить до від’ємного результату, чому слід множенню їх приводити до додатного результату? Мабуть, найкраща відповідь полягає в тому, що треба прийняти цю домовленість, якщо потребувати "дистрибутивного закону"
a × (b + c) = a × b + a × c
та інших правил аритметики, що застосовуються до будь-якої комбінації додатних і від’ємних чисел. Дистрибутивне правило таке корисне, що тепер його сприймають як належне, так що вибір здається вам майже вимушеним, але видатні математики тривожилися з приводу концепцій, наявних протягом сотень років.
Той факт, що суспільство тепер зійшлося на узгоджених правилах маніпулювання від’ємними числами, не означає, що ці правила десь там чекали, коли їх виявлять. Дійсно, тривалий період, протягом якого люди знали про від’ємні числа, але вважали за краще уникати їх, важко узгодити з відкриттям нового аспекту платонічної царини. Велика кількість товариств також сходилася на спільних конструкціях для валіз та велосипедів. Наступним доповненням можуть бути контейнери на колесах. У кожному конкретному випадку є вагомі причини, засновані на фізиці та фізіології, для типу конструкції, що виникла, але це не означає, що концепції передіснували до їх історичної появи. Традиції та навички, пов'язані з виготовленням сокир кам'яного віку, протривали набагато довше, ніж будь-яка з них, але вони врешті згасли. Культурне передавання – надзвичайно потужна сила і може пояснити більшість того, що ми тепер бачимо як загальне ядро математики.
Якби в людей не було очей, ми, можливо, могли б розробити складну систему лічби і навіть аритметику, але важко повірити, що коли-небудь відбувся б розквіт досліджень різних розташувань ліній і кіл, які почалися з Евкліда. Просторова (тобто тривимірна) геометрія має багато застосувань для проєктування структур, але теорема про коло через дев’ять точок, доведена самостійно кількома математиками на початку ХІХ століття, була чистим «надуманим» (blue-skies) дослідженням. Теорема, проілюстрована на рисунку 3.5, говорить про те, що існує коло, що проходить через дев'ять точок, пов'язаних з будь-яким трикутником; три з них – середні точки його сторін, а ще три – основи перпендикулярів від вершин до протилежних сторін. Краса цієї теореми була б повністю втрачена для сліпого математика. Проєктивна геометрія, що виникла з використання перспективи в мистецтві, ще менш імовірно потрапить до уваги незрячого прибульця. Без стимулу, наданого візуальним досвідом, вивчення патернів/закономірностей, а потім і теорії груп, можливо, не посіло б центрального місця в математиці, яке воно займає тепер. Розумний вид без очей, але з розвиненішим нюхом, міг би розвинути набагато глибше хемію і відвести їй центральне місце в нашому розумінні світу, а не математику. Висновок, який я роблю з таких міркувань, полягає в тому, що наша наука та математика значно більше залежать від наших органів чуття, ніж ми зазвичай визнаємо.
Звісно, у нас є очі, і всі ми думаємо приблизно однаково, тому що належимо до одного виду, і наші різні цивілізації впливали одна на одну протягом усієї нашої історії. Ба більше, у нас мало вибору, крім як прийняти світогляд цивілізації, в якій ми народилися. З обох цих причин зміст Евклідових «Елементів» має для нас безпосередній концептуальний зміст і забезпечує джерело теорем, істинність яких сьогодні така ж ясна, як і дві тисячі років тому.
Я не відповів на запитання, поставлене в назві пункту, і не думаю, що це можливо зробити. Двадцять тисяч років тому наші далекі предки жили у світі, в якому не було ні математичних теорем, ні грошей, ні механічних засобів транспорту. Їхній світ сильно відрізнявся від того, у якому ми живемо сьогодні, але чи можна те, що ми любимо, називати цивілізацією без усіх трьох, – питання спірне. З цих трьох, можна здогадатися, теореми найнеобов’язковіші.

Рис. 3.5. Коло через дев’ять точок.

Я не уявляю космічних зондів, комп'ютерів, електроенергетики чи телекомунікацій, що розвиваються без значної кількості обчислювальних підвалин, але, як і філософ Гіларі Патнем (Hilary Putnam), я можу уявити собі розвинене суспільство без теорем. Я також можу уявити його без мистецтва, музики, романів та поезії, але радий, що наша культура має всі чотири.

3.12. Невідповідність платонізму
Кінцева критика платонізму ґрунтується на його невідповідності. Наукові праці не приймаються на підставі запевнень авторів у тому, що вони побачили істинність своїх тверджень у платонічному світі. Вони повинні надати детальні аргументи, які можна перевірити рядок за рядком. Доведення можуть бути логічно неповними, але завдання рецензентів – вирішити, чи впевнені вони, що деталі можуть бути заповнені. Вони виконують це завдання, уважно читаючи статті, порівнюючи теореми з іншими, які їм траплялися в минулому, намагаючись виявити суперечності з іншими знаннями, які вони мають, і, в крайньому разі, просять авторів розширити певні аргументи, які занадто схематичні, щоб їх збагнути. Зрештою, рецензент має переконатися, що окремі частини статті «в принципі» можуть бути виписані цілком формально, щоб кожен міг перевірити. А що автор і рецензент спираються на досвід і аналогію, то вони обидва можуть помилково вважати доведення правильним. Можна стверджувати, що кінцевий етап – написання статті у формі, яку вимагають журнали – найменш важливий, і що платонічне розуміння потрібне під час ранішої та творчішої частини дослідження. Якщо це так, треба пояснити той факт, що в статтях регулярно виявляються фатальні помилки не лише в деталях доведень, але й навіть у розумінні основних результатів. Такою була доля теорії множин Фреґе та програми Гільберта щодо формалізації математики, а також робіт багатьох інших математиків. Схоже, що «безпосереднє сприйняття» платонічного світу набагато менш надійне, ніж ретельна перевірка результатів звичайнішими методами.
Через те що теорія множин Фреґе не є внутрішньо несуперечлива, вона не може існувати в платонічній царині. Однак Ален Кон (Alain Connes), один із найвідданіших платоністів серед філдзівських медалістів, також виключає теорію Йорданових алгебр – предмет, якому присвятили своє життя багато здібних математиків.[33] Можливо, це просто спосіб Кона сказати, що йому не подобається ця тема, але куди подіти конструктивну математику Бішопа? Відданий платоніст, який визнає, що це математика, навряд чи може віднести її до платонічної царини, коли її основа – відмова від платонізму. Чи існує платонічне пекло, до якого можна її відправити, чи це збочення математики, яке не заслуговує навіть такого визнання?
Платонізм привабливий для багатьох чистих математиків, але непідкріплена інтуїція – погана основа для ухвалення рішення про істинність. Історичні дані свідчать, що математика вивчається і культурно передається, як і природні мови. При уважному розгляді платонізм просто замінює одну таємницю іншою. Замість того щоб замислюватися над тим, як ми здатні розуміти математику, треба замислитися над тим, як платонічна царина може чинити будь-який вплив на фізичний світ. Платон відкинув цю проблему, заявивши, що фізичний світ не гідний уваги серйозних шукачів істини, але цей варіант для нас не відкритий. Стверджувати, що світ – це математика, як це роблять Теґмарк, Еткінз та деякі інші, – не що інше, як порожня форма слів, поки їх зміст не буде пояснений.
Запорукою математичного прогресу стала можливість запису наших успіхів, щоб вони могли передаватися нашим нащадкам. Пройшовши цією однобічною дорогою понад дві тисячі років, ми пройшли значну відстань. Кожне покоління починає, своєю чергою, іти далі і будує новий розділ, використовуючи інструменти, які самі по собі стають ефективнішими. Ми не знаємо, куди це приведе, але зрозуміло, що ми ще не близькі до кінця.

Примітки та покликання
[1] Wells, David (1997). Mathematics and Abstract Games, An Intimate Connection. Rain Press, London. 144 Notes and References
[2] This idea was developed by a group of philosophers including Carnap, Reichenbach, and Wittgenstein in the middle of the twentieth century.
[3] For similar views see van Benthem, Bridges, Hellman, and other articles in Vincent F. Hendricks and Hannes Leitgeb, eds. (2008), Philosophy of Mathematics, Five Questions, Automatic Press, VIP.
[4] Feferman, S. (1999). Relationships between constructive, predicative and classical systems of analysis. In Vincent F. Hendricks, Stig Andur Pedersen, and Klaus Frovin Jørgensen, eds., Proof Theory: History and Philosophical Significance. Synthese Library Series, Univ. of Roskilde, Denmark.
[5] Maddy, P. (1997). Naturalism in Mathematics, pp.102–7. Clarendon Press, Oxford.
[6] Lax, P. D. (2008). Mathematics and Physics. Bull. Amer. Math. Soc. 45, 135–52.
[7] Dummett, M. (1978). Truth and Other Enigmas, p.202. Duckworth, London.
[8] Schwartz, J. T. (2006). Do the Integers Exist? The Unknowability of Arithmetic Consistency. Comm. Pure Appl. Math. 58, 1280–6.
[9] Penrose, R. (1989). The Emperor’s New Mind, p.428. Oxford Univ. Press.
[10] Connes, A. et al. (2001). Triangle of Thoughts, pp.26, 27. Amer. Math. Soc. (The word in parenthesis is included on several earlier occasions, and I have inserted it here for clarity.)
[11] Balaguer, Mark (1998). Platonism and anti-Platonism in Mathematics. Oxford Univ. Press, Oxford.
[12] See Hendricks, Vincent F., and Leitgeb, Hannes eds. (2008). Philosophy of Mathematics, Five Questions. Automatic Press, VIP.
[13] Hendricks et al. eds. (2008), p.128.
[14] Davis, Philip J., and Hersh, Reuben (1981). The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston. [15] This is adapted from Hersh and Reuben (1997), What is Mathematics, Really?, Oxford Univ. Press, USA.
[16] Mazur, B. (June 2008). Mathematical Platonism and its Opposites European Math. Soc. Newsletter 19–21.
[17] Dummett, M. (1978). Truth and Other Enigmas, p.xxv. Duckworth, London. The Nature of Mathematics 145
[18] Dummett (1978), p.216. The articles in this book were written over a period of more than twenty years, during which time Dummett’s views developed and sometimes changed.
[19] Deutsch, D. (1997). The Fabric of Reality, p.251. Penguin Books, London.
[20] Cohen, P. A. (2005). The Nature of Mathematical Proof. Phil. Trans. Royal Soc. 363, 2416.
[21] Varley, R. A. et al. (2005). Agrammatic but numerate. Proc. Nat. Acad. Sci. 102, 3519–24.
[22] See http://www.abelprisen.no/en/prisvinnere/2004/
[23] Fitzgerald, M. and James, I. (2007). The Mind of the Mathematician, p.5. Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore.
[24] Ruelle, David (2007). The Mathematician’s Brain. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ.
[25] Nelson, E. (2008). Mathematics and Faith. http://www.math.princeton.edu/~nelson/papers/faith.pdf
[26] Nelson, E. (2006). Warning signs of a possible collapse in contemporary mathematics. Conference on New Frontiers in Research on Infi nity, San Marino.
[27] Atkins, Peter (1994). Creation Revisited, pp.113–25. Penguin Books, London.
[28] van Fraassen, Bas C. (2006). Structure, its shadow and substance. British J. Phil. Sci. 57, 275–307.
[29] The December 2008 issue of the Notices of the American Mathematical Society has several articles about this.
[30] Aschbacher, M. (2005). The nature of mathematical proof. Phil. Trans. Royal Soc. 363, p. 2402. I have replaced some symbols by words to make the text easier to understand.
[31] For further arguments of this type see Kukla, A. (2008), The one world, one science argument, Brit. J. Phil. Sci. 59, 73–88.
[32] Sacks, Oliver (1986). The Man Who Mistook His Wife for a Hat, Chapter 13. Picador, London.
[33] Connes, A., Lichnerowicz, A., and Schützenberger, M. P. (2001). Triangle of Thoughts. Amer. Math. Soc.

наука увібрали
Наш позиція
головкрутки
іхній
істиності
завждяки
відккрив
керуюють
ухалювати
безформою
cтворює - лат. літери
удостоєний
стаd
dпорядкування
робити вигляд
Cтвердження
по імені
відпривити

дякую
головокрутки

4. Сенс і нонсенс
Природа постачає безліч реальних проблем. Вигадувати їх не треба

4.1. Фундаментальні константи
У цьому розділі описані теорії, що варіюються від найглибшого, що ми досі відкрили, до інших, що здається мені цілком дурним. Хоча мені здається ясним, котра з них котра, тут є проблема. Деякі дуже імениті науковці не згодні зі мною. З іншого боку, вони також не згодні між собою, тому варто подумати, як слід робити такі судження. Це не так просто, як звучить, через існування квантової теорії, такої химерної теорії, яку тільки можна собі уявити. Якби їй не вдавалося знову і знову передбачати, що насправді відбувається в експериментах, її не брали б до уваги ні на мить. Вона мрія філософа – або, можливо, кошмар – через брак правдоподібного фізичного пояснення багатьох спостережуваних явищ. Деякі вирішальні «двощілинні» експерименти іноді навіть описують як такі, що одна частинка взаємодіє сама з собою нетривіальним чином. Математика однозначна, але більшість фізиків не вважає, що вона забезпечує щось на зразок повного розуміння.
Перша частина цього розділу описова і спільна основа для всіх, хто займається фізикою частинок. Коли йдеться про обговорення багатосвіту, то починають виявлятися основні розбіжності в думках. Вони залежать від релігійних і філософських світоглядних уявлень людей, хоча багато хто з них, начебто, не визнає цього. Конкретніше, готовність сприймати багатосвіт серйозно залежить від попереднього переконання, що кожна частина математичної теорії повинна відповідати чомусь реальному. Багатосвіт на або, можливо, просто за межами того, що можна розумно обговорювати, але ми також зазначимо деякі набагато екзотичніші теорії, які привели до серйозної «наукової» дискусії, дарма що вони досить очевидна наукова фантастика. Ми встановлюємо місце події, обговорюючи планетні орбіти, а потім переходимо до подібних проблем, з якими стикаються фізики в цей час.
У розділі 1 описано бажання Кеплера пояснити рух планет за допомогою законів фізики. Його три відомі правила, лише пізніше названі законами, були врешті інкорпоровані до Ньютонової теорії гравітації. Кеплер також вважав, що він отримав правило для обчислення розмірів планетних орбіт, вклавши правильні багатогранники всередину один одного. Правило працювало помірно добре, але тепер ми вважаємо, що воно не мало фізичної основи.
Закон Тітіуcа – Боде кінця XVIII ст. передбачав ще одне правило розрахунку відстаней планет від Сонця. Формула та її відповідність до даних наведені в нижчевказаній таблиці.
Планета Формула Відстань
Меркурій Венера Земля Марс (астероїди) Юпітер Сатурн (Уран) (Нептун) (Плутон) 4
4 + 3 = 7
4 + 3 × 2 = 10
4 + 3 × 22 = 16 4 + 3 × 23 = 28 4 + 3 × 24 = 52 4 + 3 × 25 = 100 4 + 3 × 26 = 196 4 + 3 × 27 = 388 4 + 3 × 28 = 772 3,9
7,2 10,0 15,2 ~27 52,0 95,4 191,8 300,6 395,3
Одиниця відстані в таблиці була вибрана так, щоб Земля перебувала на відстані 10 від Сонця; планети в дужках не були відомі, коли був винайдений "закон" Тітіуса – Боде. Астероїди та Уран були виявлені лише після "відкриття" закону, тому він мав значний передбачальний успіх. Однак йому не довіряли: до дев'ятнадцятого століття пояснення вважалося важливою ознакою хорошої теорії, а він не надав жодного. Як результат, він помер неоплаканим, коли провалився з відповідністю до даних для Нептуна, виявленого в 1846 році. Подальше відкриття Плутона в 1930 р. для цього не знадобилося – та й у будь-якому разі Плутон натепер не вважають планетою.
Фізика передбачає спробу розділяти явища на ті, що потрібно пояснювати за допомогою законів, і ті, що н, які тоді називають даними. Пояснення можуть бути математичними, але тепер не вважають такими ті, що містять ізольовані формули, як закон Тітіуса – Боде. Потім закони оголошуються сутністю галузі, тоді як даним присвоюється нижчий статус. У 1500 році ключовими астрономічними даними були числа, необхідні для визначення епіциклів. До 1700 р. це були п’ять параметрів, необхідних для фіксації еліптичних орбіт кожної з планет. Ці параметри потрібні і сьогодні. Ми вважаємо, що вони були визначені історією Сонцевої системи, і дуже неправдоподібно, що хто-небудь коли-небудь обчислить їх з перших принципів.
Розмежування теорії та даних не таке просте, як здається. Дані – це часто високотеоретичні конструкції, і теорія, що бере участь в їх оцінюванні, може бути навіть такою ж, як і перевірювана. У будь-який час робиться все можливе, і оголошуються факти, які не можна пояснити як дані. Непояснені константи називаються фундаментальними, якщо вони трапляються у фундаментальних теоріях, і ніхто не має уявлення про те, як їх можна було б обчислити.

4.2. Панспермія
Важко повірити, що значення певних фундаментальних констант можуть привести до серйозних дискусій про існування Бога, але таке сталося. Історія починається з Фреда Гойла. Народився він у Йоркширі 1915 року, здобув місце в Кембридзькому університеті, щоб вивчати математику. Через кілька років після того, як почав займатися астрономією, його кар'єра була перервана Другою світовою війною, і він працював над розробленням радарів. Після війни повернувся до астрономії і розпочав серію праць про синтез елементів процесами ядерного синтезу в зорях. Багато людей розвивало ці ідеї, що, зрештою, дало змогу пояснити розподіл хемічних елементів у Всесвіті. За ці відкриття отримав Нобелівську премію його співавтор Вільям Фаулер у 1983 році, але, що скандально, не Гойл. У ході цього дослідження він виявив необхідне існування (незабаром підтверджене) резонансу в спектрі вуглецю, який залежав від певної фундаментальної константи, значення якої лежало в досить вузькому діапазоні. Можливість життя, як ми знаємо, цілком залежить від цього факту: якби константа суттєво відрізнялася, зоряний синтез не привів би до виробництва великої кількості вуглецю, який з часом став ключовим інгредієнтом органічних молекул, необхідних для життя. Це відкриття похитнуло атеїзм Гойла, і в 1959 році він зробив висновок:
Я не вірю, що будь-який науковець, який досліджував докази, не зробив би висновок, що закони ядерної фізики були свідомо спроєктовані з урахуванням наслідків, які вони спричиняють всередині зір.
Попри численні нагороди, визнання його надзвичайного внеску в астрономію, Гойл пішов із посади директора Інституту теоретичної астрономії в Кембриджі 1972 року, протестуючи проти того, що він вважав політично вмотивованим втручанням і навіть змовою проти нього. Він покинув Кембридж і незабаром після цього розпочав співпрацю з Чандрою Вікрамісінґге (Chandra Wickramasinghe), в рамках якої вони запропонували, з характерним для Гойла ігноруванням загальноприйнятої думки, що біологічні молекули, або, можливо, саме життя, зароджуються в пилових хмарах у глибокому космосі і поширюються на весь Всесвіт, врешті-решт випадаючи на Землю та, імовірно, на всі інші планети. Ця теорія була пояснена в його популярній книжці "Розумний Всесвіт", опублікованій у 1983 р. Їхнє поняття "панспермія" висміювали протягом багатьох років. Сьогодні його відкидають з меншою впевненістю через постійне відкривання молекул у міжзоряних хмарах. За їх спектральними характеристиками визначено понад сто, таких як вода, аміак, метан, мурашина кислота та ацетальдегід; кілька містять вісім і більше атомів, переважно вуглець, водень та кисень. У типі метеоритів, так званих хондритів вуглецю, виявлено ряд амінокислот, будівельних блоків білків, і є досить переконливі докази того, що вони не результат недавнього забруднення. Немає жодного доказу позаземного життя, не кажучи вже про розумних прибульців. Однак ми знаємо про екстремофільних мікробів, які можуть виживати в надзвичайно ворожих умовах протягом тривалих періодів часу, і, можливо, можуть бути перенесені з однієї планети на іншу всередині метеоритів.
Гойлів аргумент «свідомого проєкту» тривожив багатьох космологів і продовжує викликати серйозні дискусії. Популярний термін "тонке настроєння", мабуть, задуманий викликати в уяві образ істоти, яка проєктує Всесвіт, використовуючи машину зі шкалами для настроювання фундаментальних констант, а потім їх дуже ретельно налаштовує, щоб забезпечити життя на основі вуглецю. Найдивовижніший приклад тонкого настроєння залучає «космологічну константу», яка контролює розширення Всесвіту. Її значення на стільки менше, ніж можна було б очікувати, що деякі космологи гадали, що вона може бути рівною нулеві, з причини, яка ще не виявлена. Однак найсвіжіші спостереження далеких галактик говорять про те, що вона не нульова. Чому вона має своє фактичне значення – це таємниця, але ми б не існували, якби вона сильно відрізнялася від нуля.
Аргумент щодо свідомого проєкту часто асоціюється з антропним принципом. Він має кілька формулювань, але одне є твердження, що дуже важливо, що тонке настроєння якраз підходить для розвитку життя на основі вуглецю. Фізичні та релігійні аспекти цієї дискусії обговорюються в пп. 4.5 і 5.3, відповідно. Багато науковців не вважають жоден з них особливо привабливим, але не всі.

4.3. Стандартна модель
Якщо перелічити модні слова в популярних сьогодні статтях з фізики, ймовірно, можна було б назвати квантову механіку, загальну теорію відносності, чорні діри та теорію струн. Менш імовірно те, що у списку з'явиться стандартна модель, дарма що її створення стало одним з найбільших тріумфів сучасної фізики. Вона внесла порядок у звіринець елементарних частинок, виявлених з 1932 року, коли їх було лише три – електрон, протон та нейтрон. У дальші роки виявлено ще багато інших, зокрема мезони, нейтрино та кварки; до того ж у кожної була своя античастинка. Усі ці частинки важливі при високих енергіях, і вони відіграють життєво важливу роль в описі ранніх моментів Всесвіту після Великого вибуху. З'ясування того, чому вони існують, одна з найбільших теоретичних проблем сучасної фізики.
Рівень деталізації в цьому пункті досить високий, і читач може швидко проскочити його, якщо захоче. Він внесений, щоб скласти враження про величезну кількість знань, зібраних внаслідок спільної праці багатьох фізиків протягом кількох десятиліть. Кінцева картина далеко не проста і все ще розкривається. У дальшому пункті йдеться про те, чи варто довіряти поданій тут реалістичній презентації.
Все в наших тілах складається з крихітних атомів, кожен з яких складається з хмари електронів, що обертаються навколо набагато меншого, але відносно важкого ядра. Різні ядра відповідають різним хемічним елементам, кожне атомне ядро складається з певної кількості протонів і нейтронів. Наприклад, ядро водню складається з одного протона, ядро гелію містить два протони та два нейтрони, а ядро вуглецю містить шість протонів і шість нейтронів. Синтез вуглецю в зорях залежить від того, що ядро вуглецю може бути побудоване шляхом об'єднання трьох ядер гелію. Якщо когось цікавить лише хемія, то більше за це знати не треба.
Більшість елементарних частинок виявлено у високоенергетичних пришвидшувачах, з різними екзотичними назвами, такими як синхотрон та беватрон. Ці пришвидшувачі використовуються для того, щоб примушувати частинки стикатися одна з одною на надзвичайно високій швидкості, а потім фотографувати сліди отриманих осколків. Дивовижно, що така процедура дає вагому інформацію – уявіть собі, що намагаєтеся зрозуміти, як працює автомобіль, неодноразово врізаючи один в одного ці транспортні засоби з дуже великою швидкістю, а потім вимірюючи напрями, в яких з’являються уламки, – але це все, що є в наявності. На рисунку 4.1 показана спрощена загальна подія зіткнення, яка може бути лише однією із сотень різних зіткнень на тому самому фотознімку. У перші дні їх вимірювали вручну, але тепер обсяг генерованих даних такий великий, що комп'ютерові доводиться аналізувати знімки в міру їх створення та відхиляти більшість, що не становлять інтересу.

Рис. 4.1. Спрощене зіткнення частинок.

Однією з виявлених так частинок було нейтрино. Вони взаємодіють із нормальною речовиною неймовірно слабко, внаслідок чого спочатку їхні властивості були виведені, а не спостережені. Зрештою експерименти підтвердили їх існування, але відповідні детектори повинні бути надзвичайно чутливими. У 1987 р. сплеск нейтрино, пов'язаний з новою надновою, з досить невигадливою назвою SN 1987A, дав неабияке підтвердження нашого розуміння фізики наднових. Усього 24 нейтрино, що спостерігалися на трьох різних ділянках, були неуявленно невеликою часткою від приблизно 1058 випромінених надновою, що міститься за 170 тис. світлових років.
Нижчевказаний перелік підсумовує зв'язок між кількома різними частинками, якими тепер займаються фізики.
• Усі атоми мають приблизно однаковий розмір, хоча їхні маси сильно різняться від одного елемента до іншого. Якщо десять мільйонів атомів розташувати поруч один з одним уздовж прямої, їх спільна довжина становитиме приблизно один міліметр.
• Атом вуглецю складається з шести дуже легких електронів, що рухаються орбітою в хмарі з невизначеною межею навколо густого ядра, що приблизно в двадцять тисяч разів менше, ніж сам атом.
• Ядро вуглецю складається з шести протонів і шести нейтронів, щільно упакованих разом.
• Протони та нейтрони самі складаються з кварків. Існує шість типів кварків, химерно позначених верхній, нижній, дивний, чарівний, найвищий, найнижчий.
• Протон складається з двох верхніх кварків і одного нижнього, а нейтрон складається з двох нижніх кварків і одного верхнього.
• Натепер вважається, що кварки та електрони справді елементарні (тобто неподільні) частинки.
Рисунок 4.2 дає уявлення про те, що таке атом, але різні частини вкрай не в масштабі. Електрони неправильно, але умовно зображено так, ніби вони класичні точкові частинки.
У природі також є чотири сили: електромагнетна, слабка, сильна та гравітаційна. Хемікам потрібна лише одна, електромагнетна сила, за умови, що вони готові визнати існування багатьох різних типів атомних ядер. Традиційно астрономія покладається на гравітацію для пояснення рухів небесних тіл, а спектроскопія (взята в хеміків) – для розуміння внутрішніх структур зір.
Слабкі та сильні сили були виявлені лише у ХХ столітті, але вони такі ж фундаментальні, як і інші дві. Сильна сила – це те, що дає змогу протонам і нейтронам злипатися в атомних ядрах. Слабка сила, як випливає з назви, набагато слабша, і її найвідоміший ефект полягає в уможливленні важливого типу радіоактивності, так званого бета-розпаду ядер. У цьому процесі нейтрон в атомному ядрі перетворюється на протон з подальшою емісією високоенергетичного електрона і більш-менш непомітного нейтрино. Бета-розпад відбувається випадковим чином і з дуже різними темпами для різних елементів. Це квантове механічне явище, і вважається, що випадковість природна, а не результат браку достатньо відповідних детальних знань.

Рис. 4.2. Частини атома.
[АТОМ, електрон, ЯДРО, ПРОТОН, кварк.]

Імовірнісний характер квантової теорії має принципове значення. У ній стверджується, що, хоч би як точно дублювалася ситуація на атомному рівні, результат може бути інакшим – теорія передбачає лише середні значення для багатьох повторень. Ба більше, це не провал теорії, а наслідок того, яка є сама природа. Були докладені величезні зусилля для пошуку реалістичних фізичних пояснень квантової теорії, але, на думку більшості фізиків, вони залучають ідеї, навіть ще химерніші, ніж проблема, яку хочуть розв’язати.
Спроба внести порядок у зростний та хаотичний перелік елементарних частинок розпочалася в 50-х роках і мала завершитись у 1970-х. Це складна історія, в якій ключові учасники часто не знали, що розробляють подібні ідеї. Нижчевказаний виклад написаний заднім числом; він стосується лише ідей, які сприяли кінцевому розв’язкові, й повністю ігнорує технічні деталі. Треба мати на увазі, що кінцеві прориви не всі прийняли відразу, і в подальші роки зроблено багато кропітких експериментальних доказів, що підтверджують їх правильність.
Одним із напрямів нового дослідження була спроба об’єднати слабку силу з електромагнетною. Ключові прориви були зроблені в 1967–8 і привели до отримання Нобелівських премій для Ґлешоу, Салама та Вайнберґа. До 1973 року існувала об’єднана теорія, яка враховувала взаємодію чотирьох відомих тоді лептонів – електрона, мюона та двох пов'язаних з ними нейтрино. Трохи пізніше тау-лептон та пов'язане з ним нейтрино були виявлені та інкорпоровані до теорії. Усі шість цих частинок точкові – вони не мають внутрішньої будови.
У 1964 році Марі Ґел-Мен (Gell-Mann) та Джордж Цвайґ (George Zweig) незалежно запропонували, що протони та нейтрони не елементарні, кожен з них складається з трьох кварків, що несуть дробові електричні заряди. Їх спочатку Ґел-Мен називав "математичними", і їхнє фізичне існування не було загальноприйнятим протягом десяти років. Однією з проблем була невдача кількох спроб спостерегти частинки з дробовим зарядом, що тепер пояснюється поняттям, яке називається конфайнмент. У 1967–8 рр. Тейлор (Taylor), Кендал (Kendall) та Фрідмен (Freidman) провели дуже високоенергетичні експерименти з розсіюванням електронів та протонів без будь-якої прихильності до певної теоретичної моделі. Вони припустили, що протони мають деяку внутрішню структуру, і незабаром після цього Файнмен написав статтю, у якій описував, що гадрони складаються з партонів, менш специфічних частинок, ніж кварки. Через кілька років Фріцш (Fritzsch) та Ґел-Мен оприлюднили квантову хромодинаміку, теорію квантових полів кварків та глюонів, яка описала взаємодію кварків; хоча спочатку її зустріли холодно, до середини 1970-х їхня теорія перемістилася в центр експериментальної та теоретичної діяльності.
Згодом ці результати були інкорпоровані до стандартної моделі, що об'єднала електромагнетні, слабкі та сильні взаємодії в єдину теорію, яка охоплює майже все наше сучасне розуміння фізики частинок. Єдине, чого не вистачає в стандартній моделі, – це гравітації. Велика кількість подальших експериментів у ЦЕРНі та інших місцях показала, що точність моделі виходить далеко за межі того, що можна було очікувати, коли вона була вперше записана. Вона витримала перевірку на дедалі вищих енергіях та в дедалі екстремальніших умовах. Всі відомі натепер частинки вписуються в модель, і, навпаки, спостерігаються всі, крім однієї з основних частинок, передбачених моделлю. Більшість обчислень у квантовій хромодинаміці надзвичайно складно виконати традиційними методами, але за останні кілька років прямі числові моделювання за допомогою найпотужніших доступних комп'ютерів почали підтверджувати основні прогнози теорії. Основна нерозв’язана проблема при доступних на цей час енергіях полягає в тому, що теорія вимагає існування так званого бозона Гіґза, якого досі не спостерігали [виявлено 2012 року на ВГК. – Прим.].
Побудова стандартної моделі була зумовлена прагненням спростити та об’єднати величезний обсяг даних, продукованих рядом пришвидшувачів частинок протягом кількох десятиліть. Багато різних колективів та теоретиків зробили свій внесок у кінцевий результат, але це далеко не результат звичайного аналізу даних. Весь процес значною мірою керувався теоретичними інтуїціями, головним інгредієнтом розв’язання було використання симетрії. Практично кожна технічна стаття з фундаментальної фізики тепер стосується груп симетрії під назвою SU(2), SU(3) або, останнім часом, екзотичніших груп, таких як E8. Ніхто не знає, чому симетрія така важлива, але ми, можливо, ніколи не змогли б об'єднати три сили, не використовуючи її.
Описані вище досягнення вражають за будь-якими стандартами. Залучені фізики досягли успішного опису цілого ряду подій, що відбуваються на масштабах, значно менших за мільйон мільйону частку тих, що ми можемо спостерігати безпосередньо. Він може бути не кінцевим описом, але це не применшує його важливості. Немає апріорної причини, чому він мав бути можливим, а сто років тому він був би немислимим. Ми можемо з повагою дивуватися, що наші тваринні мізки, які розвивалися через зовсім інші причини, здатні на такий подвиг. Прихильникам релігійних переконань залишається роздумувати, чому Бог вирішив дати нам мізки, які можуть зрозуміти поведінку елементарних частинок, але не погоди через місяць, коли обидві вони мусять бути однаково прозорими для нього. Ті, хто не релігійні, стикаються з тим самим питанням, але без посилань на Бога. Можливо, це просто надзвичайна удача, що наш мозок налаштований так, щоб зробити наші відкриття можливими. А може, поведінка елементарних частинок насправді досить проста, але ми неминуче вважаємо дивовижне все, що ми можемо зрозуміти лише після величезних колективних зусиль. Ми випадкові істоти, і намагатися пояснити все іноді марно.
Ці розробки передбачали тісну співпрацю теоретиків та експериментаторів. Після 1980 року розрив між теоретиками та експериментаторами повільно розвивався. (Читач зрозуміє, що говорячи про цілі спільноти, треба обов’язково малювати широким пензлем.) Багато теоретиків почали сприймати експериментальний прогрес як належне і поступово втрачали інтерес до нього. Їхньою метою під час цього другого періоду, який триває вже тридцять років, було об'єднання стандартної моделі з гравітацією. Це відбувалося дуже повільно, бо майже неможливо провести експерименти в цій галузі – гравітація така слабка, що не має прямого впливу на те, що спостерігається в пришвидчувачах частинок. Фізика частинок і гравітація були важливі в перші моменти після Великого вибуху, тому не дивно, що теоретики та космологи тепер дуже зацікавлені в ідеях одні одних. Найкраща ідея теоретиків, теорія суперструн, стала помітна 1984 року внаслідок робіт Майкла Ґріна та Джона Шварца. Вона все ще занадто незріла, щоб називатися кінцевим розв’язком, але той факт, що вона діє в десятивимірному просторочасі, а не чотиривимірному, про які навчав нас Айнштайн, створює певне враження того, який цей предмет екзотичний.
Теорія струн обов'язково подається широкій публіці сильно імпресіоністично, внаслідок чого її реальний зміст невидний. Залучена математика надзвичайно складна, незалежно від того, підходите до неї строго чи ні. Такі терміни, як некомутативна геометрія та дуальність, означають так само мало для багатьох математиків, як і для широкого загалу. Однак фізики-теоретики знайшли абсолютно несподівані способи проведення явних обчислень у певних спеціальних ситуаціях, і результати переконують їх у тому, що вони просуваються до розв’язання проблем, які докучали іншим теоріям протягом багатьох десятиліть.
Не всі в захваті щодо перспектив теорії струн. Їй потрібні фундаментальні нові ідеї, перш ніж її можна назвати належною частиною фізики, і є видатні критики, які вважають, що вона провальна. Шелдон Ґлешоу, один із відповідальних за стандартну модель, вважає, що не здорово, що стільки найяскравіших фізиків-теоретиків віддані цій темі такою мірою, що не мають реального контакту ні з ким з фізичної спільноти. Також непокоїть те, що деякі молоді теоретики займаються дослідженнями теорії суперструн, бо знають, що інакше вони мають мало перспектив на постійну посаду. Існують альтернативи, наприклад, петлева квантова гравітація. Вона набагато менш розвинена, і над нею працює набагато менше людей, але де тут причина, а де наслідок, не ясно.

4.4. Філософський відступ
В останньому пункті описана стандартна модель в абсолютно реалістичній манері, як ніби не може бути сумніву щодо реальності елементарних частинок, які вона описує. Якщо хтось справжній скептик щодо невидно малих сутностей, то їх слід розглядати як теоретичні конструкції. Однак існує величезна кількість доказів існування атомів і молекул, і альтернативне пояснення явищ "атомного рівня" протягом останнього століття не з'явилося. Майже для всіх наукових цілей зрозуміло, що на атомах зупиняються; насправді нема сенсу дивитися поза ними тим, хто цікавиться біологією, хемією чи фізикою твердого тіла. Це не означає, що фізика атомного рівня, а саме квантова теорія, повністю зрозуміла. Високотемпературна надпровідність залишається загадкою через двадцять років після її відкриття, попри величезний технологічний потенціал. Атомний світ напрочуд складний і продовжує створювати нові виклики, які цілком можуть мати глибокий вплив на хід цивілізації.
Потрібно бути обережнішими на наступному нижчому рівні, який охоплює деякі дуже невловні сутності, такі як нейтрино та кварки. У нас немає кінцевої теорії всього, і нинішні спроби створити одну припускають, що реальність може сильно відрізнятися від усього, що можуть уявити звичайні смертні. Кажучи, що нейтрино та кварки існують у такому прямому розумінні, що і звичайні видні об’єкти, можливо, ми потрапляємо в пастку певного типу мови просто тому, що для нас вона комфортна. Дійсно, математика, яка використовується для вивчення елементарних частинок, вже охоплює такі терміни, як «резонанс» та «віртуальна частинка», які підтверджують різку відмінність між квантовою теорією та нашими звичними уявленнями про реальність. У квантовому вакуумі повинно бути повно віртуальних частинок, які постійно з’являються і зникають; його подібність до традиційного поняття вакууму як порожнього простору досить слабка.
Це не означає, що ці поняття – просто вигадка. Двадцять чотири події спостереження за нейтрино, які супроводжували наднову SN 1987A, близько відповідали теорії, і має бути глибока причина, чому події на трьох добре відокремлених експериментальних уставах збігалися одна з одною та з вибухом зорі, що була на майже неймовірній відстані. Аналогічно, стандартна модель зі своїми кварками успішно пояснила величезну кількість експериментальних спостережень на пришвидшувачах частинок за тридцять років з часу її формулювання. Вона також важливий компонент для розуміння того, що сталося в найдавніші моменти Всесвіту. Її успіх не може бути просто випадковістю.
Поки цю книжку надрукують, Великий гадронний колайдер (ВГК) введуть в експлуатацію в ЦЕРНі. Потрібно було п'ятнадцять років, щоб цю монументальну машину розробити, а потім побудувати і коштувала вона мільярди доларів. Тисячі фізиків, присвятивши цьому завданню, велику частину своєї кар'єри, налаштовані оптимістично – це приведе до революції в нашому розумінні основних складників речовини, а також найперших моментів в історії Всесвіту. Вони також сподіваються знайти докази того, що відомі частинки мають суперсиметричних партнерів, бо це вказувало б на те, що теорія суперструн, можливо, рухається в правильному напрямі. Якщо припустити, що бозон Гіґза справді спостережуваний – тою мірою, як про щось такого крихітного розміру та дивності можна сказати спостережуване – наступний рівень теорії, хоч би коли він з'явився, повинен буде пояснити, чому стандартна модель працює так добре.
Ми вже бачили, як це відбувається з ньютонівською механікою, яку можна вивести із загальної теорії відносності за певних спеціальних умов. Вони стосуються середніх розмірів тіл, що повільно рухаються, іншими словами, повсякденного світу, який нам знайомий. Ньютонівська модель помилкова, особливо в тому, що покладається на дію на відстані та повне відокремлення простору від часу, та, втім, вона так випливає з фундаментальніших теорій, що це пояснює, чому вона працює. Вона залишається цінною, хоча й частковою, картиною світу, поряд з іншими картинами, які точніші певними сторонами ціною того, що вони значно складніші. Ньютонівський світогляд зберігається як частина фізики, бо він надзвичайно добре працює у величезній кількості важливих застосувань. На практиці було б неможливо спроєктувати скріпки для паперу, використовуючи загальну теорію відносності, не кажучи вже про паровий локомотив. Можливо, це глибша теорія, але вона обчислювально безсила майже в усіх сферах застосувань, якими технологам довелося було керувати з ХІХ століття. І це навряд чи зміниться.
Можна зробити висновок, що цілком можливо стверджувати, що нейтрино та бозони Гіґза існують у теоретичних рамках, передбачених стандартною моделлю. Ці рамки не останнє слово щодо природи реальності, не більш ніж ньютонівська механіка. Однак їх доведеться інкорпорувати до будь-якої подальшої фундаментальної теорії. Що стосується більшості фізиків, то твердження, що кварки реальні, означає лише те, що розрахунки, основані на їхньому існуванні, так добре фіксують спостережувані явища, що можна бути впевненим, що майбутнім теоріям доведеться якось інкорпорувати стандартну модель. Для того щоб бути прийнятими, їм потрібно буде пояснити, чому вона працює, ймовірно, виводячи її основні рівняння як границі чи наближення до деяких фундаментальніших рівнянь. Багато фізиків вважає, що теорія струн забезпечить основу для наступного просування, але це ще належить довести.
Нещодавні страхітливі історії про можливість того, що ВГК може створити чорні мінідіри, які пожеруть Землю, дають уявлення про менталітет деяких фізиків, а також широкої громадськості. Запевнення, що навіть у разі отримання чорних мінідір вони негайно випаруються через випромінювання Гокінга, безсумнівно, хороший намір, але він також помилковий. Випромінювання Гокінга – це витончена теорія, і багато фізиків вважає, що вона правильна, але експериментальних доказів цього немає, і покладатися на неї, щоб захистити нас від такої надзвичайної небезпеки, абсурдно. Крім того, є набагато кращий аргумент. ВГК буде виробляти протони з енергією близько 10 TeV. Землю регулярно бомбардують космічні промені, переважно протони, енергія яких досягає, а іноді й перевищує 10 мільйонів ТeV. Іншими словами, протягом кількох мільярдів років у нас вдаряли частинки, в мільйони разів енергійніші, ніж ті, що виробляє ВГК, і нічого не сталося. І не треба більше нічого говорити.
Зондування меж фундаментальної фізики виявляється зондуванням максимально можливої сили математики для пояснення світу. Не потрібно вірити в те, що наші інтелектуальні здібності не мають меж, щоб вважати цю справу захопливою. Наше незнання кінцевого результату, і чи насправді він буде – частина того, що робить тему такою цікавою.

4.5. Багатосвіт
Поки Коперник не запровадив своєї геліоцентричної теорії, вважалося само собою зрозумілим, що Земля була центром Всесвіту і що люди найважливіші істоти в ньому. Поступово відкриття підштовхнули науковців до протилежного погляду: що Земля, наша Сонцева система і навіть наша галактика жодним чином не особливі, що Всесвіт більш-менш однорідний і що в ньому всюди діють ті самі закони. Це іноді називають принципом посередності.
1948 р. Герман Бонді, Томас Ґолд і Фред Гойл запропонували, що Всесвіт також однорідний у часі, іншими словами, він перебуває в стаціонарному стані, існував вічно і завжди виглядав так само, як і тепер. Таке було складно примирити зі спостережуваним постійним розширенням Всесвіту, і вони повинні були припустити, що воно компенсується дуже повільним безперервним створенням матерії в порожньому просторі, залишеному галактиками, що поступово відділяються. Хоча (атеїстичні) автори розглядали свою теорію як метафізично, а, ймовірно, також естетично привабливу, вони розуміли, що вона вистоїть або впаде на підставі своїх передбачень:
Те, що в ній містяться висновки, яким ми можемо віддавати емоційну перевагу, не аргумент на підтримку цієї теорії. Нещодавно Герберт Дінгл досить правильно застеріг нас від просування теорії просто тому, що нам вона подобається. Підстава для прийняття теорії – її узгодження зі спостереженням. Підстави для серйозного обговорення теорії полягають у можливості піддавати її спостереженнєвій перевірці.[1]
На жаль для її авторів, відкриття космічного мікрохвильового фонового проміння в 1960-х роках дало деякі ключові докази, які привели до відмови від їхньої стаціонарної моделі. Тепер широко погоджуються, що Всесвіт почав існувати близько 14 мільярдів років тому через Великий вибух – термін, що його ввів Гойл як образу. Однак зростання Всесвіту в його перші частки секунди недостатньо зрозуміле. Провідне пояснення, так звану модель інфляції, запропонував Алан Ґут 1981 року, і вона має значну спостереженнєву підтримку, хоча не можна спостерігати Всесвіт безпосередньо до 300 000 років після Великого вибуху. Теоретичний механізм інфляції ще далеко не добре вивчений, почасти тому, що фізика частинок при таких енергіях перебуває в дуже незадовільному стані.
Прогрес астрономії з часів Коперника постійно зменшував правдоподібність релігій, заснованих на Бозі, який особливо цікавився долею людей. Для деяких релігійно схильних людей теорія Великого вибуху обертає цю тенденцію, доводячи науково, що щось подібне до міту про створення в Бутті справді сталося. Однак зв’язок між Богом, який створив Всесвіт 14 мільярдів років тому, і Богом, який особисто зайнятий життям окремих людей сьогодні, величезний. Якщо хтось вірить в останній тип Бога, то природно зробити висновок, що він такий же, як і колишній тип, але аргумент у зворотному напрямі важко побудувати. Дебати з цього приводу були інтенсивні та широкі, навіть зі зверненням до Томи Аквінського, і, здається, можна сказати, що вони не близькі до розв’язання.
Всесвіт видно лише до відстані близько 14 мільярдів світлових років, але наразі немає підстав вважати, що він там зупиняється. Більші та кращі телескопи не допоможуть нам побачити багато поза теперішніми межами, але це не означає, що там нічого немає. З іншого боку, останнім часом висловлюється припущення, що, якщо дивитися в небо в протилежних напрямах, між віддаленими ділянками галактик існують кореляції, які наводять на думку, що Всесвіт закритий у тому ж сенсі, що і поверхня Землі. Іншими словами, Всесвіт не має меж, але якщо ви будете подорожувати досить далеко в тому ж самому напрямі, то, зрештою, можете повернутися у свою вихідну точку з напряму, протилежного до того, з якого ви стартували. Це цілком можна врегулювати протягом наступних десяти років (але не відбуваючи подорож!), та було б дуже важко відрізнити всесвіт, який тягнеться до нескінченності в усіх напрямах, і всесвіт, що в сто разів більший за той, що ми можемо побачити з нашими телескопами.
Перш ніж міркувати про частини Всесвіту, які ми ніколи не спостерігатимемо, було б непогано зрозуміти ту частину, яку ми можемо спостерігати. 1933 р. Фріц Цвікі (Fritz Zwicky) спостерігав аномалії в рухах галактик у Скупченні Кома (Волосся Вероніки) і припустив, що вони були спричинені невидною, або темною, матерією. Галактична динаміка – набагато складніше сфера, ніж рух планет у Сонцевій системі, бо до неї втягнуто стільки різних процесів, значення яких може змінюватися від однієї галактики до іншої. Пояснення структури спіральних галактик з перемичкою, таких як на рисунку 4.3, саме по собі дослідницька сфера, в якій прогрес залежав від можливості масштабних комп'ютерних моделювань.

Рис. 4.3. Спіральна галактика з перемичкою (баром) NGC 1300 © NASA, ESA та команда «Спадщини Габла» (STScI / AURA), космічний телескоп Габла ACS, STScI-PRC05-01.

Пропозиція Цвікі спочатку була відхилена, але вона дала можливість зрозуміти спосіб, яким зорі в межах галактик, зокрема Чумацького Шляху, рухаються вздовж орбіт. Їхні швидкості не залежать від їх віддаленості від центру так, як би передбачила ньютонівська механіка; невідповідність велика і її не можна пояснити відомими механізмами. Сьогодні більшість космологів вважає, що "нормальна" матерія становить лише п’ять відсотків чи десь так того, «що є там», і що темна матерія насправді існує. Її природа невідома, але залучені частинки повинні дуже слабко взаємодіяти з нормальною матерією. Висловлюється припущення, що в них беруть участь нейтраліно або аксіони, але існування та властивості цих частинок гіпотетичні. Ймовірно, що темна матерія насправді існує, але також були запропоновані інші пояснення аномалій, такі як модифікація Ньютонового закону тяжіння. Це екстремальне розв’язання; закон можна вивести, використовуючи загальну теорію відносності, і не можна легко відмовитися від цієї теорії. Було б нерозсудливо говорити більше, бо галузь розвивається дуже швидко.
Труднощі в поясненні галактичної динаміки створюють ще одну причину сумнівів у корисності Поперового поняття спростування як єдиного арбітра наукового прогресу. Щось явно не так, але через сімдесят років після відкриття Цвікі ми все ще не знаємо, чи застосовується Ньютонів закон всесвітнього тяжіння до руху зір у галактиках. Він може бути спростований, але однаковою мірою може бути цілком добрий, проблема полягає в існуванні темної матерії. Як визнав студент Попера Імре Лакатош, наукові теорії слід розглядати в набагато ширшому контексті, ніж спрощене поняття уявлення про спростування.
Якщо це здається проблематичним, то природа темної енергії, яка повинна містити три чверті того, «що є там", набагато гірша. Її існування передбачається на основі нещодавно виявлених аномалій у темпі розширення Всесвіту як цілого. Її природа зрозуміла навіть менше, ніж темної матерії, і може бути неминучим наслідком кінцевої Теорії всього, якщо і коли вона врешті з’явиться.
Існування темної матерії, ймовірно, з’ясують протягом наступного десятиліття, але поза цим моментом відмінність між наукою, спекуляцією та навіть науковою фантастикою важче визначити, і я можу лише виділити деякі обговорювані ідеї. Читачі можуть зацікавитися, чому я докладаю стількох зусиль для розвінчання деяких ідей, що, вочевидь, божевільні. Є дві відповіді. Перша полягає в тому, що корисно зрозуміти, чому певні пропозиції, які подаються як частина науки, насправді не такі. Друга полягає в тому, що деякі дуже відомі фізики та космологи зробили заяви, в яких, здається, сприймають ці ідеї серйозно.
Різниця між тими, хто готовий потурати екстравагантним спекуляціям публічно, та тими, хто ні, може бути просто питанням темпераменту. Уява має життєво важливе значення, але Дарвін і Ньютон відомі не тому, що вони поширювали свої ідеї на всіх і кожного, як тільки вони з'явилися. Уяву потрібно стримувати судженнями, доказами та важкою працею, щоб відрізняти її від наукової фантастики. На жаль, перспектива прославитися через опублікування бестселера чи отримання Нобелівської премії чинить великий тиск на науковців першими озвучити нову ідею.
Цей тиск дуже очевидний у теорії струн. У перші дні (1970-ті роки) її прихильники сподівалися, що зможуть довести, що існує лише одна життєздатна теорія, і що фундаментальні константи в цій теорії будуть мати значення, які ми спостерігаємо. Це забезпечило б повне розв’язання проблеми тонкого настроєння. До 1985 року загалом погодилися, що існує кілька різних суперструнних теорій, більше ніж одна, але все ще вони піддавалися приборканню. Однак справи такими не залишилися. Подальші дослідження показали, що теорії пов'язані з тим, що називається дуальністю, і що вони різні аспекти єдиної теорії вищого рівня. Однак тепер вважається, що існує величезна кількість розв’язків струнних рівнянь з різними фундаментальними константами. Множина всіх можливих розв’язків тепер називається струнним ландшафтом.
У решті цього пункту йдеться про так званий "багатосвіт". Він втілює схильність фізиків-теоретиків наділяти елементи математичної теорії ступенем реальності, який ще сильніший, ніж той, який передбачав Платон. Альтернативні всесвіти, що розглядаються в теоріях, не повинні існувати в платонічній царині ідеальних математичних форм: їх вважають такими, що існують у такому реальному сенсі, як і наш власний Всесвіт. Макс Теґмарк, Пітер Еткінз та інші прийняли цю ідею в її логічному завершенні через ототожнення фізичного та математичного світів (див. 3.9). Деякі інші мало симпатизують такому ставленню, яке вони вважають чистою метафізикою.
"Багатосвіт" охоплює щонайменше три різні наукові теорії, і всі потребують значного подальшого розвитку, перш ніж стане зрозуміло, чи мають вони постійну цінність. Його також використовують загальним способом для позначення будь-якої теорії, яка передбачає, що вся фізична реальність набагато ширша, ніж частина, яку ми можемо бачити; остання називається (видним) Всесвітом. Багатосвіт також використовували як засіб метафізичної альтернативи до релігійної віри. Різні аспекти цього питання регулярно змішуються один з одним у популярних працях дуже видатних науковців. Метафізичний бік дискусії – аргумент проти твердження Гойла, що значення фундаментальних констант передбачають існування проєкту у Всесвіті. Стверджується, що існує велика (і, можливо, нескінченна) кількість абсолютно різних всесвітів, кожен зі своїми значеннями фундаментальних констант. А що вони не мають між собою просторочасових зв’язків, то ми не можемо спостерігати їх безпосередньо. Струнний ландшафт – приклад такого багатосвіту, коли передбачається, що кожен розв’язок струнних рівнянь відповідає окремому всесвітові. Важливе питання – чи варто вважати інші всесвіти фізично реальними, якщо виявиться, що багатосвітова модель робить передбачення, які підтверджуються спостереженнєво. Стівен Вайнберґ висловив це так:
Перевірка фізичної теорії полягає не в тому, що все, що є в ній, повинно бути спостережним, і кожне передбачення, яке вона робить, повинно бути перевірним, а, скоріше, достатньо спостережного і достатньо передбачень є перевірні, щоб надати нам упевненість у правильності цієї теорії.
Він також зазначив, що ми віримо у кварки на цій основі, хоча ми ніколи не бачили їх і ніколи не побачимо. Він не впевнений, що теорія багатосвіту відповідає цій перевірці, але Мартін Різ тепер упевненіший, ніж у 1979 році. (Можна сперечатися, чи не була його попередня обережність правильнішим ставленням; див. 5.2.)
Те, що ми традиційно називаємо «нашим Всесвітом», – це лише крихітна частина чогось, що нескінченне, тому уможливлює багато точних копій нас в інших місцях (у тому ж просторі та часі, але далеко за горизонтом наших спостережень), але навіть що нескінченний Всесвіт – це лише один елемент ансамблю, який охоплює нескінченність зовсім різних всесвітів. Отже, це патерн накреслений космологією та деякими версіями теорії струн. Те, що ми зазвичай називаємо законами природи, не універсальні закони – вони просто обмежені підзаконні акти в нашому космічному клаптику, і не більше, а в інших ансамблях переважають зовсім відмінні режими.[2]
Ленард Саскінд сильно прихильний до теорії багатосвіту. 2003 року він написав:
Ми виявили за останні кілька років, що теорія струн відрізняється неймовірним різноманіттям – величезною кількістю розв’язків – і уможливлює різні види середовищ. Дуже багато практиків подібного роду математичної теорії заперечували це. Вони не хотіли цього визнавати. Вони хочуть вірити, що Всесвіт – це елегантний всесвіт – а він не такий елегантний. Тут інакший. Тут такий. Це машина Руба Ґолдберґа [Надзвичайно складний, громіздкий та заплутаний пристрій, що виконує дуже прості функції. – Прим.]. І це породило своєрідне відчуття заперечення фактів щодо цієї теорії. Ця теорія іде до виграшу, а фізики, які намагаються заперечувати те, що відбувається, – до програшу. Ці люди дуже серйозні. Наприклад, Дейвід Ґрос (David Gross) дуже різко проти такого погляду на різноманітність. Він хоче, щоб світ був унікальний, і він хоче, щоб теоретики-струністи обчислили все і з'ясували, що цей світ дуже особливий з дуже унікальними властивостями, які можна вивести з рівнянь.[3]
Дейвід Ґрос усе ще сподівається (жовтень 2007 р.), що хоча б деякі фундаментальні константи можуть бути обчислені, коли ми дізна́ємося, що теорія струн насправді є, і вважає, що відмовитися від неї на цьому етапі – помилка.
Ідея про те, що слід приписувати фізичну реальність усім розв’язкам деяких рівнянь, не прийнята в інших галузях фізики. Якщо струшувати мильну суміш у пляшці, виходить складна піна, що складається з бульбашок різної величини. Різноманітність можливих результатів величезна, і кожен результат має певну ймовірність, але майже ніхто не припускає, що коли людина струсить таку пляшку, тим самим вона перетвориться на безліч допельгенгерів, по одному на кожен результат. Теорію ймовірностей не слід так інтерпретувати, і жоден справжній імовірнісник так не робить. Стандартна інтерпретація полягає в тому, що теорія ймовірностей – математична модель, і слід почати сумніватися в доцільності моделі, якщо в реальному світі відбувається достатньо подій, ймовірність яких надзвичайно мала. Якщо хтось приймає такий погляд на теорії, цитата Вайнберґа може бути переписана так:
Перевірка імовірнісного опису світу полягає не в тому, що кожен його елемент повинен відповідати чомусь, що фізично існує, а в тому, що підтверджено достатню кількість його передбачень, щоб дати нам впевненість, що опис корисний.
Ідея про те, що кожен з нас має багато майже однакових близнюків, що живуть у паралельних світах, зародилася в 50-х роках. Її придумав Г'ю Еверет як альтернативу домінантній копенгагенській інтерпретації квантової теорії, бувши аспірантом Принстонського університету. У двох словах, Еверетова багатосвітня інтерпретація квантової теорії ґрунтується на ідеї, що існує багато однаково реальних світів, що відповідають усім логічно можливим послідовностям подій. Коли ми робимо спостереження за світом, то звужуємо до того, в якому з них насправді живемо, але інші версії нас, які спостерігали відмінні речі, співіснують в інших світах. Еверетова теорія, безсумнівно, математично цікава, але його науковий керівник Джон Вілер (John Wheeler) незабаром відкинув Еверетову інтерпретацію, яка була вилучена з дисертації до її схвалення. Більшість фізиків досі не сприймає метафізичні аспекти Еверетової теорії. Марі Ґел-Мен, наприклад, не вірить, що існує багато паралельних всесвітів, і вважає за краще посилатися на "багато альтернативних історій Всесвіту ... всі трактуються однаково теорією, за винятком їхніх різних імовірностей".[4] Відмінність між теорією реальності та самою реальністю має тут вирішальне значення.
Квантова теорія парадоксальна за будь-якими стандартами, але парадокси відрізняються від однієї інтерпретації до іншої. Припустимо, ви відкриєте гаманець у магазині, щоб оплатити газету. Згідно зі стандартною інтерпретацією квантової теорії, існує фантастично малий, але, втім, додатний шанс, що монети, які ви раніше вкладали в нього, зникнуть, стрибнувши завдяки квантовомеханічному тунелюванню прямо в крамареву касу. Ймовірність така мала, що ви можете бути впевнені, що жодної подібної події в історії Всесвіту не відбулося. З іншого боку, Еверетова теорія стверджує, що кожного разу, коли ви зазираєте у свій гаманець, є дві (насправді багато) однаково реальні копії вас, одна з яких з подивом виявляє, що ваш гаманець порожній. Філософи, які розглядають подібні проблеми доброзичливо, стверджують, що якщо вірити, що обидва результати насправді трапляються, то слід базувати свої дії не на теорії ймовірностей, а на тому, що називається теорією раціонального рішення.
Дейвід Дойч (David Deutsch) з Оксфорду, відомий своєю роботою з квантових обчислень, вважає, що більшість фізиків просто неправильно відкидає Еверетову інтерпретацію.[5] Роблячи це, стверджує він, вони відмовляються від реалістичного опису світу, приймаючи те, що ми не повинні намагатися зрозуміти, що відбувається у квантових ситуаціях. Проблема полягає в тому, що для багатьох фізиків його багатосвітні пояснення виглядають навіть менш правдоподібно, ніж інші, що були дані. Усі згодні зі спостереженнєвими передбаченнями квантової теорії і що квантовий світ химерний, тому це суто питання метафізики. Дойчева метафізика постулює тіньові фотони, що рухаються величезною кількістю паралельних всесвітів, які навряд чи взаємодіють з нашими. Загальноприйнята альтернатива полягає в тому, що квантові частинки докорінно відрізняються від класичних частинок: фотон може проходити через кілька щілин одночасно, так само як хвиля води, а потім рекомбінувати, за умови, що експериментальна устава не збурює його під час проходження. Ефекти інтерференції, що спостерігаються, коли фотонні пучки надзвичайно низької інтенсивності проходять через подвійні або множинні щілини, не залучають інтерференцію між різними фотонами, а між фазами різних часток кожного фотона. Якщо ставити детектори на кожну щілину, то не видно часток фотона, що потрапляє на кожен детектор, тому що фотони не зовсім схожі на хвилі води – це те, що називають хвилями ймовірності, щодо яких треба розвинути нову інтуїцію. Ще одне пояснення того, що відбувається в таких експериментах, дав Дейвід Бом (David Bohm), але в черговий раз це приводить до абсолютно однакових передбачень – дійсно, у всіх трьох випадках робляться точно ті самі математичні обчислення.
Один з найвідоміших прикладів квантових обчислень – Шорів алгоритм, який загалом дає змогу значно швидше оцінювати величезні числа, ніж це можна зробити за допомогою звичайних класичних комп'ютерів. Це захоплива царина, але натепер ще ніхто не встиг виготовити квантовий комп'ютер, який би міг розв’язати будь-яку практичну проблему. Дойч поставив перед собою завдання пояснити, як Шорів алгоритм працює в рамках єдиносвітнього світогляду.[6] Безсумнівно, люди не прийняли цю претензію, бо, як він сам каже, передбачення того, як працює алгоритм, – це лише питання розв’язання кількох неспірних рівнянь. Не ясно, чому заміщення рутинного та елементарного математичного пояснення дуже екстравагантним фізичним поясненням – прогрес.
Якщо хтось сприймає плюралістичну позицію, чого Дойч не робить, то можна досить спокійно ставитися до цих різних пояснень квантової теорії – та інших, які були розроблені. Кожне з них, очевидно, допомагає одним людям, а іншим не подобається, і всі приводять до однакових передбачень. Просто не потрібно робити вибір між ними, поки не з’явиться якась наукова перевага для цього. Більшість фізиків не вірить, що це вже сталося. Якщо фундаментальна складність полягає в тому, що наш мозок еволюціонував, щоб мати справи з подіями нашого власного масштабу, ми можемо ніколи не знайти інтуїтивного пояснення квантових явищ.
Небезпеки спроб зробити висновок про природу світу з математичної теорії проілюстрував розглядом світу фінансів. Одним із великих успіхів у цій галузі було розроблення рівняння Блека – Скоулза, що моделює ціни, використовуючи випадкові змінні в певних стохастичних процесах. Ця теорія була досить успішною і важливою, хоча вона не пояснює частотність великих відхилень від типової поведінки ринку. Гедж-фонд ЛТКМ (LTCM), який заснував Скоулз, спричинив велику фінансову бурю, коли обвалився внаслідок однієї такої події – дефолту російського уряду за його облігаціями в 1998 році.
Зрозуміло, що жоден аналіз рівняння Блека – Скоулза не може привести нікого до розуміння того, що світ круглий, що ринок керується діяльністю людей, і що на нього впливають такі фактори, як погода та політика. Справедливо не сприймали б серйозно когось, хто стверджував би, що всі можливі реалізації фінансових ринків насправді існують у різних паралельних всесвітах. Ще дивнішим буде припущення, що більшість із них забезпечує незначну підтримку розвиткові сповненої життя цивілізації, тож нам не слід дивуватися тому, що ми живемо в одному з «найцікавіших фінансово».
Так само не потрібно вважати, що кожен розв’язок теорії струн фізично реалізований – це крайній приклад постійної спокуси потурати матеріалізуванню, про що йдеться в 3.9. Було правдоподібно, коли сподівалися, що теорія може мати дуже малу кількість розв’язків. Однак тепер ця тема здається аналогічною до теорії рівнянь з частинними похідними: це нова галузь математичної фізики, що привела до великої кількості надзвичайно цікавих нових гіпотез, деякі з них були доведені традиційними методами. Ґрос називає це рамками, а не фізичною теорією. Вона має потенціал для перетворення фізики, але лише тоді, коли використовується разом із відповідними фізичними входовими даними. Які розв’язки теорії струн, якщо такі є, стосовні до фізики, ще потрібно визначити, але не потрібно припускати, що вони всі такі. Ніхто не припускає, що кожне рівняння з частинними похідними має фізичне значення, і натепер немає переконливих причин для інакшого ставлення до теорії струн.
Нещодавно двоє видатних космологів, Пол Стайнгардт (Paul Steinhardt) і Ніл Турок (Neil Turok), створили модель, за якою наш Всесвіт стикається що трильйон років чи десь так з іншим всесвітом.[7] У цій моделі немає Великого вибуху, а інфляція заміщається механізмом, який забезпечує те, що космологічна константа та певні інші явища такі, якими ми їх бачимо сьогодні. Це захопливе, але суперечливе дослідження, доля якого залишається відкритою. Новій теорії не вистачає експериментальної підтримки, але вона має перевагу, бо уникає закликів до антропного принципу, щоб пояснити разюче мале значення космологічної константи. Хоч би якою була її доля, вона демонструє, що космологи не зовсім впевнені, що поточний інфляційний сценарій правильний.
Слово "багатосвіт" вживається з кількома іншими значеннями. Замість багатьох абсолютно окремих всесвітів можна уявити, що наш власний Всесвіт набагато більший і різноманітніший, ніж досить плоска і однорідна частина, яку ми можемо бачити. Можливо, що якби можна було подорожувати досить далеко в нашому Всесвіті, можна було б знайти області з зовсім інакшими значеннями фундаментальних констант. Якщо це так, ми неодмінно опинимося в тій частині єдиного всесвіту, де фундаментальні константи мають таке значення, яке вони мають. Проблема, як і раніше, полягає в пошуку будь-яких причин вважати, що Всесвіт такий.
Ми вже розглядали можливість того, що Всесвіт простягається до нескінченності в усіх напрямах. Припустимо, крім того, що він приблизно плоский і що його основні властивості не змінюються, хоч би як далеко йти. За певних припущень можна довести, що на справді неймовірних відстанях ви матимете майже ідеальну копію або близнюка (насправді будете мати нескінченну кількість майже однакових близнюків), роблячи майже точно те, що ви зараз робите. Ніхто не претендує на те, що ці близнюки коли-небудь зможуть сигналізувати про свою присутність – відповідні відстані не просто набагато більші за діаметр видного Всесвіту, а неуявленно більші. Той факт, що це математична теорема, жодним чином не доводить, що вона має будь-яку релевантність, бо припущення не обов’язково мають бути придатними. Не може бути жодного наукового обґрунтування екстраполяції відомих законів на сто і більше порядків понад те, що можна спостерігати. Протягом двох тисяч років усі помилково екстраполювали від нашого приблизно плоского локального середовища до переконання, що Всесвіт обов'язково керується Евклідовою геометрією. Декарт «знав», що атоми не можуть існувати на основі загальних аргументів про природу космосу на все менших і менших масштабах.
Бонді, Ґолд та Гойл виявилися неправими, коли запропонували свій стаціонарний всесвіт, задуманий на основі його метафізичної привабливості; чеснота їхньої теорії полягала в тому, що вона була перевірна і від неї можна було відмовитися за двадцять років, бо вона не пройшла цих перевірок. З іншого боку, сучасні дискусії про різні типи багатосвіту – спекуляції, навіть якщо вони містять реальні математичні обчислення. Є кілька фактів, які їх підтверджують – покликання на те, що може, або рівною мірою ні, відбутися за мільярди чи навіть трильйони років у майбутньому – це метафізика, а не фізика. Існування величезної кількості розв’язків струнних рівнянь не строго доведений факт. Ніхто не знає, що таке теорія струн насправді і чи приведе фундаментальне нове розуміння до наступниці з радикально меншою кількістю розв’язків. Дейвід Ґрос сподівається на це і закликає людей продовжувати шукати її, але інші, з різним ступенем переконання, вважають, що ми маємо визнати, що це малоймовірно. Коли теорія струн досягне зрілості або з'явиться інакша наступниця, нам, можливо, доведеться викинути більшість наших сучасних уявлень про світ у вікно, як це сталося з появою загальної теорії відносністю та квантової механіки. Звісно, на зміну їм прийдуть нові та на сьогодні непередбачувані ідеї, але це частина того, що дає втіху від науки.

4.6. На хвалу спостереженню
Астрономія та космологія припускають поєднання теорії та спостережень. У цьому розділі ми стверджуємо, що протягом останнього століття спостереження було важливіше. Теоретики надзвичайно кмітливі, і, як тільки їм надані деякі нові факти (або невідповідності між наявними теоріями), вони часто можуть знайти способи їх пояснити (або розв’язати). Вони можуть мати велике значення як джерело нових експериментів чи спостережень. Слабкість теоретиків полягає в тому, що вони можуть захопитися своїми теоріями і переконати себе в тому, що їхні теоретичні аналізи мусять відповідати чомусь у реальному світі.
Існування наднових, червоний зсув галактик, відкриття пульсарів, існування сплесків гама-променів і пришвидшене розширення Всесвіту – все це сталося раптово, ще до будь-якого теоретичного передбачення. Нижчевказані приклади потребують детальнішого обговорення.

Теорія відносності
На перший погляд, Айнштайнова теорія відносності, здається, демонструє першість чистої теорії. Насправді і спеціальна, і загальна теорії відносності були створені для об’єднання двох теорій, кожна з яких окремо була підтверджена з високою точністю. У випадку спеціальної теорії відносності проблемою була несумісність електродинаміки та ньютонівської механіки. Загальна теорія відносності була побудована для об’єднання спеціальної теорії відносності та ньютонівської гравітації. Тому в обох випадках теорія була створена у відповідь на реальні проблеми, які вимагали певної форми розв’язання. Те саме стосується сучасних спроб об’єднання загальної теорії відносності та квантової теорії.

КМФП
Наявність космічного мікрохвильового фонового проміння вперше передбачили Ралф Алфер та Роберт Герман у 1948 р. Кілька груп перевідкрили цю ідею на початку 1960-х, але КМФП вперше спостерігалося випадково як фоновий шум, у дуже чутливому мікрохвильовому приймачі, що побудували в 1965 році Арно Пенціас і Роберт Вілсон у Телефонних лабораторіях Бела. Без сумніву, відкриття врешті-решт привело б до цієї теорії, якби вона ще не існувала, але, навпаки, спостереженнєві перевірки цієї теорії вже запланував Роберт Дікке, коли оголосили про відкриття Пенціаса і Вілсона. Це видається нічиєю між теорією та спостереженням. Спостереження були серед того, що розв’язало конфлікт між теоріями Всесвіту стаціонарного стану і Великого вибуху на користь останньої.

Чорні діри
Чорні діри – яскравий приклад космічних об'єктів, яких передбачили задовго до їх виявлення. Вони відповідають певним розв’язкам Айнштайнових рівнянь, виявлених Шварцшильдом у 1916 році; сам Айнштайн завжди розглядав ці розв’язки як нецікаві. Статус чорних дір різко змінився, коли Пенроуз і Гокінг почали їх вивчати в 1960-х. Виявилося, що за певних досить правдоподібних умов в області просторочасу або щось подібне до чорної діри повинно існувати в цій області, або Айнштайнова теорія мусить бути помилковою. Це дало певну причину серйозно сприймати розв’язки щодо чорних дір, а також припускало, що їх можна знайти в областях, де густина маси була особливо висока, наприклад у центрах галактик. Тепер космологи вважають, що в центрах більшості, а можливо, всіх галактик є чорні діри. Чорна діра в центрі Чумацького Шляху була ототожнена зі Стрільцем А*. Вона приблизно такого ж розміру, як і наша Сонцева система, дарма що в мільйон разів масивніша, ніж наше Сонце. Попри переконливі докази їх існування, фізика чорних дір ще недостатньо вивчена через необхідність врахування квантових ефектів.

Подорож у часі (Кожному, хто займається дослідженнями червоточин, рекомендується пропустити цей розділ.)

Після того як Айнштайн винайшов загальну теорію відносності (ЗТО), багато конкретних розв’язків його рівнянь детально дослідили Шварцшильд, Кер (Kerr), Ґедель та інші. Деякі мають такі химерні властивості, що виникає спокуса відмовитися від них, але це привело б до невіри в чорні діри. Однак той факт, що кілька дивних розв’язків рівнянь ЗТО виявилися фізично важливими, не означає, що всі вони такі. Немає доказів того, що розв’язки рівнянь ЗТО, в яких можна пройти шляхом, який повертається назад до власного минулого, мають будь-яке фізичне значення. Такі розв’язки були популяризовані через використання епітета "червоточина".
Про червоточини написано сотні, можливо, тисячі популярних статтей та науково-фантастичних оповідань. Передбачається, що це трубки в просторочасі, які уможливлюють подорожування назад у часі, щоб запобігти якійсь катастрофі, яка вже сталася, або, можливо, вбити власного діда. Теорія вказує на те, що стандартні типи червоточин нестабільні, тому їх побудова (або продовження існування, якщо вони природні) може вимагати існування фантомної матерії з негативною масою та енергією.
Одна з причин вивчення червоточин – переконання, що будь-який розв’язок якогось важливого набору рівнянь повинен відповідати фізичному явищу. Це змусило Дірака передбачити існування позитрона, позитивно зарядженої версії електрона. Попри успіх у цьому конкретному випадку, ідея має мало чеснот як філософський чи науковий принцип. Саме по собі рівняння Дірака сумісне з існуванням електронноподібних частинок з довільними позитивними масами, але насправді лише кілька таких мас відповідає фактичним частинкам.
Не потрібно звертатися до людей, щоб продемонструвати, що червоточини приводять до фізичних парадоксів. На рисунку 4.4 куля, що рухається прямолінійно, потрапляє в червоточину і повертається до ранішого часу. Потім вона продовжує рухатися по прямій, щоб зіткнутися з самою собою, запобігаючи передусім потраплянню в червоточину. Зауважте, що вертикальна вісь – це час, тому всередині червоточини, представленої частиною круглої трубки, кулька рухається назад у часі. Парадокс, звісно, полягає в тому, що якби куля не потрапила в червоточину, то не змогла б піти назад у часі, щоб не допустити цього. Незалежно від того, вірить хтось чи ні в поняття причини та наслідку, описати самопослідовну динаміку кулі здається неможливим.
Дойч та інші припустили, що можна уникнути цих парадоксів, якщо червоточина перенесе до паралельного, але інакшого всесвіту. Це коректно, але це не подорож у часі. Особа, яку ви можете вбити, – це не ваш дід, а інша людина, фізична схожість якої з вашим дідусем залежить від конкретного паралельного всесвіту, до якого ви подорожували. Подорож "назад у часі" в цьому сенсі схожа на подорож паломників до Америки у XVII столітті, при цьому слово "корабель" замінено на "червоточину". Ви прибуваєте в інакше місце, яке може певною мірою бути впізнанним або ні. В інтерпретації Дойча слід запитати не тільки про те, чи можна виготовити червоточини (вкрай малоймовірно саме по собі), але й чи можна влаштувати появу іншого кінця у Всесвіті, помірно схожому на наш власний, але на ранішій стадії свого розвитку. Навіть якщо це можливо, таке не викликає ніяких метафізичних чи логічних парадоксів.

Рис. 4.4. Парадокс червоточини. [Простір. Час]

Аргумент проти можливості подорожувати назад у часі – той факт, що ми жодного разу не зустрічали таких мандрівників. Навіть якби значна більшість із них приховувала себе, навіть одна особа, яка змогла б показати нам трохи достатньо просунутої технології (наприклад, портативний пристрій, який забезпечував би ідеальний високошвидкісний переклад між сотнею чи десь так мов), довела б це. Це не означає, що червоточини не можуть існувати, а лише те, що вони навряд чи уможливлять людям подорожі назад у часі. Тим часом аналізи червоточин не заслуговують на ту увагу громадськості, яку їм приділяють.

4.7. Машинний інтелект
Перш ніж розпочати цей пункт, деякі коментарі щодо машинного інтелекту можуть бути корисними. Я спочатку описую деякі можливі події в цій галузі, а потім обговорюю, чи ці сценарії реальні.
Наявні комп’ютери не свідомі в жодному розумному сенсі. Вони, звісно, можуть виконувати числові обчислення набагато швидше, ніж ми, але вони не розуміють, що роблять. Якби хтось запитав десятирічну дитину, чому рахувати корисно, можна було б отримати різноманітні відповіді, але неможливо поставити те саме питання звичайному комп’ютерові, не кажучи вже про сподівання отримати відповідь. Існують комп'ютерні системи, які можуть відповідати, здавалося б, розумно на обмежене коло питань, але легко виявити брак їх реального розуміння.
Максвел Бенет (Maxwell Bennett) та Пітер Гакер (Peter Hacker) стверджували, що розгляд можливості комп’ютерної свідомості – це просто неправильне використання мови, або в кращому разі потенційно заплутана фігура мови. Вони вважають, що такі психологічні терміни, як запам'ятовування, обчислення, думка та віра, не можуть бути застосовані до частин мозку, не кажучи вже про комп'ютери; вони можуть стосуватися лише цілої особи.[8] З іншого боку, нещодавно Джастін Сицма (Justin Sytsma) стверджував, що первинні значення слів мають визначатися на основі доказів, а не концептуального аналізу. Його спостереження показують, що більшість людей вважає, що комп'ютери насправді можуть виконувати обчислення, а не просто виробляти демонстрації, які ми інтерпретуємо як обчислення. Через брак будь-якого способу розв’язання філософських розбіжностей щодо комп'ютерної свідомості, він вважає, що такі спостереження мусять мати певне значення.[9]
Ніхто не змушений розв’язувати такі питання філософськими аргументами чи навіть погоджуватися з тим, що існує логічна відмінність між буквальною та образною мовою. Ми розробили комп’ютери та написали їх програми, які мають структури, що відображають наші власні свідомі процеси мислення, тому було б неправильно не визнавати цього, говорячи про їхню роботу. Питання полягає не в тому, чи філософськи, чи лінгвістично виправдане використання таких психологічно обтяжених термінів; нам прагматично неможливо зрозуміти, як функціонують комп'ютери та чому вони корисні, якщо обмежитися мовою схем, транзисторів та електричних струмів.
У цій ситуації є спокуса використовувати мову виниклих явищ, кажучи, що свідома поведінка виникає з достатньо складного комплекту електронних схем. Однак слово "виникнення" має різні значення для різних людей, і обачніше сказати лише те, що нам зручно використовувати два типи мови: один – при обговоренні комплекту електронних схем у комп'ютерах, а другий – при описі використання, для якого вони призначені. Покликання на комп'ютери, які обчислюють або запам'ятовують дані, – це стратегія, яку ми вибираємо, бо вважаємо її корисною; це не означає, що самі комп’ютери мають дві природи.
Натепер ми дуже мало розуміємо власний розум. Проблема ускладнюється значною різноманітністю наших особистостей та здібностей. Різниця між нашими можливостями і можливостями шимпанзе величезна, навіть якщо наш мозок лише приблизно втричі більший за їхній. Найголовніша анатомічна відмінність – це розмір нашого неокортексу, а функціонально – це наше володіння мовою. Вони, очевидно, пов'язані, але майже всі деталі залишаються нерозкритими. Складність завдання приголомшлива – наші мізки містять приблизно до трильйона нейронів, але кількість взаємозв'язків переважає.
Макроскопічна анатомія мозку стала зрозуміла протягом багатьох десятиліть, але на детальнішому рівні ще багато чого потрібно розкрити. Результати не розкривають так багато про його функціонування, як можна було б сподіватися. Справжньому прогресові в останній проблемі менше ніж двадцять років, і він залежав від розроблення різноманітних сканерів мозку. Деякі з них можуть показати, які ділянки мозку активні, коли людина займається певною розумовою діяльністю. Щороку публікуються тисячі наукових статтей з нейронауки, і активність у цій галузі все ще стрімко зростає.
Також зростає кількість спроб створити точне моделювання невеликих частин мозку за допомогою високопаралельних комп'ютерних архітектур. Проєкт «Синій мозок» (Blue Brain Project) – створення комп'ютерної моделі з десяти тисяч нейронів мозку ссавців з усіма їх взаємозв'язками – це тестування комп’ютерних технологій до їхніх меж, але це незначна частина того, що є в нашому мозку. Прогрес у цій галузі залежатиме від прогресу в комп’ютерних технологіях і, зокрема, від безперервної чинності закону Мура – потужність комп'ютера подвоюється приблизно що два роки. Це справедливо вже понад пів століття, але, мабуть, має на якомусь етапі припинитися.
Вищеописані розробки перетворили вивчення свідомості з напряму філософії на швидкозростну сферу експериментальної науки. Попри сильно перебільшені твердження в минулому, можна резонно очікувати, що машини протягом п'ятдесяти років демонструватимуть щось невідрізненне від справжнього інтелекту. Це може здатися довгим часом, але він характерний для розвитку зрілої технології, починаючи від перших успіхів. До кінця цього століття можна було б сконструювати щось подібне до людського мозку з кремнію – чи що б там використовувалося на той час.
Доцільно використовувати словосполуку «машинний інтелект» замість «штучного інтелекту», бо останній термін зазвичай використовується для позначення експертних систем, які дотримуються детальних правил висновування, що розробили експерти-люди. Хоча комп'ютер «Діп блю» (Deep Blue) переміг найкращого у світі шахіста Ґарі Каспарова, це була експертна система, яку запрограмували люди, з вкладеним їхнім розумінням в алгоритми, про значення яких вона точно нічого не знала. Ми не називаємо автопілот, який здатний посадити авіалайнер, свідомим, бо ми знаємо, що його можливості обмежені деякими ретельно визначеними ситуаціями, для яких він має точні інструкції щодо того, як поводитися.
Щоб машинні інтелекти переконали нас у тому, що вони обізнані, їм довелося б мати можливість взаємодіяти зі світом відкритим способом, як і тваринам. Ми не сумніваємось, що кішка, яка грає з мишею чи жабою, справді свідома і не слід мати більше сумнівів щодо машини, яка проявляє відповідну поведінку. Якщо машинні інтелекти розвиватимуть самосвідомість, на прагматичному рівні також не буде сумнівів, що це сталося. Машини зможуть захищати своє власне існування як незалежні інтелекти, так само послідовно і переконливо, як ми. Проти юридичних та моральних проблем, які порушують такі сутності, дискусії про права людини, клонування та аборти здаються відносно простими (tame). По-справжньому великі питання виникнуть, коли вони перевершать нас у інтелекті, що, мабуть, станеться – немає причини, чому машини повинні обмежуватися нашим власним рівнем інтелекту, встановленим розмірами нашого мозку.
Ось заперечення проти вищевказаного сценарію.
• Часовий масштаб може бути занадто оптимістичним. Насправді може пройти сотні років, перш ніж вони будуть побудовані; однак це не має значення для порушених питань.
• Можливо, у всьому світі вирішать зупинити розвиток надінтеллектуальних машин. Проблема полягає в тому, що вигоди від їх використання та надання їм можливості спілкуватися одна з одною будуть величезні. Будь-яка нація чи група, що обійде такий контроль, який може бути встановлений, незабаром домінуватиме над світом економічно. Неправдоподібно, що жодна така група ніколи не досягне успіху.
• Вартість виготовлення таких машин буде така велика, що воно не буде доцільним. Це здається малоймовірним: досі кожна нова розробка в комп'ютерних технологіях енергійно розвивалася, бо її переваги значно переважають очікувані витрати.
• Комп'ютерні віруси можуть розвиватися навіть швидше, ніж комп'ютери, і можуть обмежувати їх можливий розвиток. Це можна розв’язати, забезпечивши кожну окрему машину величезною кількістю програмного забезпечення, доступного лише для читання, і запровадивши набагато жорсткіше ставлення до його роботи. Проблема не в тому, що уникнути вірусів неможливо, а просто в тому, що це відволікає ресурси від речей, які здаються бажанішими.
• Альтернативні технології, що передбачають машинне підвищення людських сил, можуть бути кращими. Це дуже правдоподібно, але кінцевий результат може бути не таким відмінним. Біологічна частина досить підсиленої людини може становити таку малу частину всієї системи, що решта може вирішити замінити її на щось швидше чи надійніше.
• Може виникнути незвідна людська іскра, яку виявиться неможливим відтворити в кремнії. Це було б відкриття, яке потрясло б західну науку до її основ, і це не є логічно неможливо. Ми можемо зіткнутися з цим, коли дізнаємося, як далеко можна просунути комп'ютерні технології.
• Можна стверджувати, що машини, які демонструють свідому поведінку, – це насправді зомбі. Логічно ця позиція незаперечна, але також логічно можна (для будь-якої жінки) стверджувати, що всі чоловіки – зомбі і що справжня самосвідомість залежить від наявності двох Х-хромосом. У реальному світі ми визнаємо, що люди обох статей усвідомлюють себе на основі переконливих зовнішніх даних, а саме своєї поведінки.
• Інтелектуальнгі машини можуть не мати багатьох характеристик, які роблять нас людьми. Наприклад, наше почуття гумору може бути біологічно обумовленим способом подолання внутрішніх конфліктів, спричинених нашими обмеженими розумовими здібностями, а наш страх смерті може бути наслідком того, що ми не можемо регулярно завантажувати наші основні характеристики в безпечне місце. Якщо це так, машинні інтелекти можуть вважати нас в'язнями нашої біології, тоді як ми можемо вважати їх емоційно холодними.
• Мисленнєві процеси та мотивації дуже просунутих машин можуть бути незрозумілими для нас, як і наші для шимпанзе. Вони можуть вважати більшість наших проблем нерелевантними у світлі міркувань, які ми не можемо сподіватися зрозуміти.
Останнє заперечення – не жарт. Потрібно лише подумати про нашу власну нездатність домовитися про основні питання, наприклад, чи мають ембріони на ранній стадії права, і чи має сенс говорити про Бога, який "не член жодного класу сущих істот" (див. 5.4). Машинні інтелекти, як і інопланетяни, відрізнялися б від нас самих глибокими стосунками, пов’язаними з їхніми власними фізичними природами.

4.8. Зімітовані всесвіти
У цьому пункті ми входимо у сферу наукової фантастики. Ідеї, представлені тут, химерні, але такі ж і поняття у квантовій теорії. Ідея про те, що молекула, завбільшки як С60, яка складається з шістдесяти атомів вуглецю у сферичній кулі, могла б одночасно переміщатися з одного місця в інше двома різними шляхами, була б глузливо відкинута, якби не той факт, що експеримент був проведений, і стандартне пояснення результату має на увазі саме це. Квантова теорія така ж дивна, як і будь-який предмет на Землі, але вона була збережена, попри це, а не через це. Після десятиліть пошуків теорії, яка б описувала поведінку атомів, деякі люди були готові прийняти все, що працює. Інші, зокрема Айнштайн, ні, але вони не змогли забезпечити альтернативу. Наведені нижче ідеї починаються з правдоподібних припущень щодо нашого майбутнього розвитку, але виходять далеко за межі можливості експериментальних перевірок. Єдина їхня чеснота полягає в тому, що вони по суті не неможливі.

Джон Бароу (John Barrow)
Існування багатьох всесвітів з різними властивостями, безумовно, прісне (tame), якщо порівняти з теоріями, що стосуються суперцивілізацій. Джон Бароу написав:

Давно визнано, що технічні цивілізації, лише трохи розвиненіші, ніж ми самі, матимуть можливість імітувати всесвіти, в яких самосвідомі сутності можуть виникати та спілкуватися між собою. Вони мали б потужність комп'ютера, яка б неосяжно відрізнялася від нашої.[10]

У його статті йдеться про те, як ми могли б сказати, що ми існуємо лише як імітації в одному з цих комп’ютерів, заявляючи: "По-перше, імітатори будуть спокушені уникати складності використання послідовного набору законів природи у своїх світах, коли вони можуть просто скорегувати реалістичні ефекти". Він робить висновок:

У такій ситуації логічні суперечності неминуче виникатимуть, і закони в імітаціях, як видається, порушуватимуться знову й знову. Мешканці імітації – особливо імітовані науковці – часом будуть спантеличені отриманими експериментальними результатами. Імітовані астрономи можуть, наприклад, зробити спостереження, які показують, що їхні так звані константи Природи дуже повільно змінюються. Ймовірно, можуть виникнути навіть раптові збої в законах, які регулюють ці імітовані реалії.

У цих уривках роблять занадто багато припущень про гіпотетичні цивілізації, щоб вони бути переконливими. Спершу потрібно запитати про наміри суперцивілізацій у створенні імітованих всесвітів. Якщо вони зацікавлені в дослідженні законів фізики, то нічого не досягнуть, "виправляючи реалістичні ефекти". Глюки (тобто потреба перезапускати початкові умови) стають необхідними лише в тому разі, якщо потрібно припасувати імітацію до якоїсь зовнішньої реальності чи до бажаного сценарію. Якщо, з іншого боку, імітатори зацікавлені в розвитку суспільства, то вони могли б зупинити імітування на рівні нашої Сонцевої системи (або галактики) без будь-яких наслідків до початку сімнадцятого (або двадцятого) століття. Чому вони повинні турбуватися, щоб внести імітації решти Всесвіту?
Бароу не згадує про можливість того, що цивілізації, яка має такі комп'ютери, не буде важко перешкодити мешканцям імітації помітити її недоліки. Якщо прийняти її основну передумову, то, мабуть, ми ще не помітили або не повідомили, що живемо в імітації, бо вони не хочуть, щоб ми про це знали. У цьому разі вони можуть просто ввести все, що забажають, безпосередньо в наш (імітований) мозок, щоб докази їхнього існування ніколи не потрапляли до нашої уваги. Або вони можуть повторно запустити програму, коли хтось із її "мешканців" помічає невідповідність, видаляючи "невідповідні" спогади причетної особи.
Інакший, хоч і набагато менш приємний спосіб спроби виявити, чи живе людина в недосконалій імітації, – це ходити по бібліотеці та випадковим чином вибирати книги з полиць, щоб з’ясувати, чи містять вони щось усередині своїх обкладинок. Або можна погуляти, оглядаючи баки для сміття, щоб дізнатися, чи вміст – те, чого можна було б очікувати, якби люди, які живуть там, були справжніми людьми. Фільм "Шоу Трумена" розповідає про імітацію реальності стільки ж, скільки й "наукові" статті.
Останнє заперечення проти припущення, що наш світ може бути імітацією, – його надзвичайна схожість з релігійними описами світу. У релігійному випадку Бог підтримує панування фізичного закону у світі, який він створив; в іншому суперцивілізація робить те саме. У релігійному випадку Бог часом надає докази свого існування, творячи чудеса; у другому те саме відбувається ненароком через неминучі глюки. Основна відмінність полягає в тому, що Бог має морально турбуватися про своє творіння, а суперцивілізації змушені створювати свої імітовані всесвіти через цікавість чи іншу користь для себе. Тривожний аспект суперцивілізаційного сценарію полягає в тому, що когось можна привабити лише тоді, коли він готовий повірити, що нас свідомо обманюють у всьому, що ми сприймаємо в нашій реальності. Будь-яка гіпотеза про природу нашого світу може бути істинною, але ми дізнаємося про це лише тоді, коли відповідний творець вирішить розкрити себе; в обох випадках стверджується, що він має вагомі причини не робити цього. Якби хтось змушений був зробити вибір, релігія перемагає, бо є багато тверджень, що чудеса іноді трапляються, і нема спостережень глюків. Цікаво, що одне відоме порушення фізичного закону – сингулярності в загальній теорії відносності, пов’язані з чорними дірами, – не подається як доказ того, що наш світ спроєктувала суперцивілізація, яка недостатньо піклується про те, щоб виправити деталі; правильним вважається, що це вказує на те, що наше розуміння природи ще недостатньо глибоке.

Нік Бостром (Nick Bostrom)
Оксфордський стислий словник дає п'ять дещо різних означень слова "simulation", але більшість із них містить такі слова, як "imitate, counterfeit, not genuine" (імітувати, підробити, несправжній). Якщо ми одного дня зможемо побудувати комп’ютери, такі ж складні, як і наш власний мозок, і використовувати подібні процеси для ухвалення рішень, вони можуть бути свідомими в тому ж сенсі, що і ми, або вони можуть бути зомбі, поводитися належним чином, але не мати справжньої свідомості. Те, що ми могли б відімкнути джерела живлення, не релевантніше, ніж те, що ми можемо вбивати людей, розстрілюючи їх. Можливість дублювання особистості комп’ютера шляхом копіювання відповідних "файлів особистості" з одного комп'ютера на інший не має аналогів для людей, так само як створення нової людини біологічними методами не було б можливим для комп'ютерів. Такі питання не визначають, чи щось є справжнє.
Неможливо вести серйозну дискусію про можливість свідомості в комп’ютерах, не знаючи, що таке свідомість. Ця проблема ускладнюється тим, що восьминоги здаються свідомими, хоча їхній мозок організований зовсім інакше, ніж у нас, і розвивався незалежно. Деякі люди вважають, що будь-який досить складний об'єкт, який реагує ніби свідомий, насправді свідомий, а будь-яке інше ставлення – це просто затуманювання. Інші, наприклад, філософ Джон Сірл (John Searle), так само твердо вважають, що комп'ютери не можуть бути свідомими, хоч би як добре вони імітували справжнє явище. Третя позиція полягає в тому, що свідомість виникає в людей як результат певного типу нейронної структури в їхньому мозку, яку ми ще не ідентифікували, але що свідомість не властивість самого мозку.[11] Якщо комп'ютери не можуть бути свідомими, то аргументи, що ми, можливо, живемо в комп’ютерних імітаціях, не діють. Для продовження аргументу ми тимчасово погодимося з тим, що всі належним чином спроєктовані та досить складні комп’ютери справді свідомі.
У 2003 році Нік Бостром сформулював такі взаємонесумісні та вичерпні можливості[12]:
• велика ймовірність того, що людський вид вимре, не досягнувши стадії "постлюдської" стадії;
• будь-яка постлюдська цивілізація навряд чи зможе виконати значну кількість імітацій своєї еволюційної історії (або її варіацій);
• ми майже напевно живемо в комп'ютерній імітації.
Не вибираючи між ними, він стверджує, що одна з них має бути правильною. У пізнійшій статті він наголошує, що "його погляд полягає в тому, що наразі ми не маємо вагомих доказів за або проти будь-якої з конкретних диз’юнкцій". Дальші параграфи описують кілька правдоподібних аргументів на підтримку другого пункту списку. Однак мій глибший намір – припустити, що спроби передбачити поведінку надзвичайно розвиненої цивілізації марні. Чи був би успішним футуролог, що жив у 1500 році, описуючи наше суспільство?
Майбутні цивілізації, можливо, зможуть виконувати надзвичайно складні імітації людського суспільства, але їм доведеться вибирати між різними суб’єктами, яким вони можуть присвятити свої ресурси. Їхні власні суспільства будуть неймовірно складні, просто тому, що вони володіють такими складними комп'ютерними ресурсами, а реалістичні імітації їхніх власних суспільств будуть для них надзвичайно важкими, з тієї ж причини, що побудова економічних моделей нашого суспільства важка для нас. Навіть квантові комп'ютери, якщо вони коли-небудь матеріалізуються, не зможуть легко імітувати суспільство, що містить багато інших комп'ютерів такого типу. Легко повірити, що майбутні суспільства докладуть більшу частину своїх зусиль, щоб покращити власну долю, як це робимо ми, а не для вивчення свого далекого минулого.
Цілком можуть бути історики, які захочуть заглибитися в минуле і які будуть використовувати для цього імітації. Резонно припустити, що наші нащадки досягнуть стабільного населення і що кількість істориків у будь-який час буде більш-менш стала. Їм доведеться вирішити, у який період вони хочуть навчатися. Неправдоподібно, що значна частина їх протягом тривалого періоду буде переважно зацікавлена у двадцять першому столітті. Дійсно, більшість може зацікавитися століттям, що передує їхньому власному, коли події мали для них безпосередні наслідки. Якщо припустити, що половина всіх істориків у певний час вивчає попереднє століття, чверть століття до цього і так далі назад у геометричній прогресії, то цілком можливо, що наш власний період ніколи не вивчався б. Це залежить від часу, коли стане можливим зробити імітації цілих глобальних цивілізацій, зокрема думок та взаємодій між усіма людьми в них та наслідками всіх їхніх технологічних інновацій.
Остання можливість у списку Бострома полягає в тому, що майбутні цивілізації неодноразово імітують усю еволюцію нашого виду, скажімо, мільйон років тому. Він вводить формулу, один із компонентів якої – «середня кількість імітацій предків, якими керує постлюдська цивілізація». Не сказано, як виробляти такі імітації. Кидання обчислювальних ресурсів на проблему безнадійне, якщо і поки в нас не буде набагато більше інформації про далеке минуле, ніж ми можемо собі уявити тепер. Зокрема, ми мали б знати, чи відбулись якісь значні зміни в прові́дні нашого мозку за останні сто тисяч років. Наразі в нас майже нічого нема, на чому можна базувати реалістичні імітації, і лише крайній оптиміст вірить, що з такої програми досліджень може вийти щось корисне.
Навіть якби ми одного дня мали детальне знання про те, яким було суспільство наших дуже далеких предків, імітаціям, можливо, знадобляться такі часті виправлення, щоб тримати їх на бажаному курсі, що швидко зрозуміли б, що вони не надають жодної корисної інформації. Ми знаємо, що такі хаотичні ефекти існують у багатьох фізичних ситуаціях (наприклад, прогнозування погоди), і майже напевно, що вони стосуються всього такого складного, як розвиток цивілізації. Можна спробувати переконати себе в тому, що майбутні комп’ютери переступлять межі хаосу, але все, що ми знаємо про хаотичні системи, говорить про те, що цього може не статися.
Відмінне заперечення проти неодноразових широкомасштабних імітацій нашої еволюційної історії може базуватися на "Штучній етиці" Джулії Драйвер на вебсайті "Матриця". Якщо комп'ютерні розуми можуть бути по-справжньому свідомими, тоді було б моральним злочином знищення їх, коли б вони перестали цікавити творців. Імовірно, ті, хто насправді створює такі сутності та має розширені взаємодії з ними, відчуває теж саме набагато сильніше. Припускаючи, що наші нащадки будуть раді видалити велику кількість справді свідомих та розумних персональних комп'ютерів, як тільки вони виконають своє призначення, ми також припускаємо, що наші моральні почуття значно розвиненіші, ніж їхні.
Я не стверджую, що будь-який із перерахованих вище сценаріїв правильний, лише те, що вони не є очевидно неможливі. Маючи трохи уяви, можна знайти альтернативи до будь-якого сценарію майбутнього. Розвиток знань врешті залежить від фактів, і їх помітно нема, коли люди обговорюють майбутній розвиток цивілізації.

Барі Дейнтон (Barry Dainton)
Нарис «Втрачена невинність» Барі Дейнтона екстраполює від розробок у галузі комп'ютерних технологій, які вже відбуваються. Дейнтон зазначає, що комп’ютери, порівнянні за потужністю з людським мозкові, можуть появитися протягом кількох десятиліть. Протягом століття машинних свідомостей може бути більше, ніж людей. Що ще тривожніше, ці машини можна спонукати повірити, що вони насправді люди, подаючи дані відповідного типу.
Це лише одна з кількох можливостей, які обговорював Дейнтон, що представляє свої аргументи з певною обережністю. Він передбачає можливість, що люди приймуть свята віртуальної реальності у ХХI столітті, коли деякі їхні спогади будуть придушені, щоб зробити свята цілком переконливими. Якщо це станеться, тоді ми можемо відчути імітації двадцять першого століття, насправді живучи в далекому майбутньому. Він підвищує можливість того, що:

навіть якщо реальність така, як здається, є значна ймовірність того, що наша сучасна свідомість імітована. Необхідність жити з цими знаннями цілком може бути частиною звичайної групи технологічно розвинутих свідомих істот у всьому Всесвіті. Коли це усвідомлення повністю осяяє наших нащадків, пробування повернути їхню втрачену невинність шляхом накладення обмежень на імітаційну практику, найпевніше, здадуться їм марними. Через те що будь-які обмеження на створення імітації завжди можуть бути зняті згодом, очевидно, що їх накладення забезпечить лише мізерний захист від загрози імітації.

Довести, що цей сценарій помилковий, неможливо. Він може бути правильним – у нас немає доказів, щоб судити, у будь-якому разі. Дейнтон намагається кількісно оцінити кількість майбутніх імітацій життя двадцять першого століття, але його числа не переконливі: вони припускають, наприклад, що людський рід залишається зацікавленим у цьому столітті протягом десяти тисяч поколінь (до мільйона років). Можливо, майбутні покоління швидко зрозуміють, що їхній світ набагато цікавіший за наш. Якщо ми подумаємо про своє власне минуле, то побачимо, що кожен, хто кілька тижнів провів віртуальне життя середньовічним селянином, найпевніше, не порекомендував би цей досвід своїм друзям. (Це може бути особливо слушно щодо жінок.) Ми вважаємо, що наше життя куди багатше, ніж життя наших віддалених предків, але проти життя наших нащадків може здатися дуже неприємним і нудним. Проводити значну частину свого життя в заторах або переповнених потягах – це, очевидно, не те, що наші нащадки відчують, що мають пережити самі. А ще жити роками в таборі біженців в Африці. Чи ми маємо припустити, що розсудливими будуть лише імітації дуже успішних людей, а решта – картонні символи, внесені лише для заповнення картини?

4.9. Обговорення
Стандартна модель 1970-х років синтезувала та об’єднала велику кількість експериментальних даних. Це був один із великих успіхів сучасної фізики. Спроби об'єднати її із загальною теорією відносності ще не принесли плодів, почасти тому, що очікуване об'єднання було б релевантне лише для енергій, що значно перевищують будь-які, яких можна досягти в лабораторії. Теорія суперструн математично дуже приваблива, але вона ще не визріла і не довела, що може розв’язати цю проблему. Основна слабкість стандартної моделі в тому, що вона не пояснює значення фундаментальних констант, привела до спекуляцій, пов'язаних з так званими антропними принципами. Деякі люди вважають їх безглуздими, а інші називають інтрижними. Один із наслідків цього – теорія багатосвіту, може виявитися, має справжні наукові якості, попри вибух химерних спекуляцій, які вона породила.
Ідея про те, що наші чуттєві враження можуть не відображати природи реального світу, не нова. Справді, Декарт визнав, що не було чисто логічного виходу з цієї дилеми; він розв’язав проблему, прийнявши існування трансцендентного Бога, який, втілюючи в собі всі досконалості, не створив би навмисних і систематичних обманів. Від деяких таких припущень залежить розвиток науки. Науковий світогляд може бути засадничо хибним, але він був надзвичайно успішним протягом останніх п'яти століть, що вимірюється нашою здатністю контролювати наше середовище та пояснювати його детальну поведінку.
Постуляція суперцивілізацій не розв’язує жодної проблеми, пов'язаної з нашим існуванням. Це просто переносить рішення про створення нашого Всесвіту від звичайного релігійного божества до суперцивілізації. Основна відмінність між ними полягає в тому, що зазвичай божество має особливий інтерес до нашого морального добробуту, а це не прийнятно для деяких фізиків. Немає ніяких доказів того, що ми імітації, і їх ніколи не буде, якщо ті, хто нібито відповідає за імітації, не захочуть, щоб ми це виявили. Той факт, що деякі науковці готові витратити стільки часу на пусті імітації, може мимоволі заохотити тих, хто вважає, що шукати наукових знань не варто. Якщо науковці говорять про свою тему легковажно, громадськість може дійти думки, що ресурси слід передати іншим, хто їх краще використовує.

Примітки та покликання
[1] Hoyle, F. (1955). Frontiers of Astronomy, p.353. Heinemann, London.
[2] Rees, M. (May, 2003). In the Matrix. Edge, 116.
[3] Susskind, L. (December, 2003). The Landscape. Edge, 130.
[4] Gellman, Murray (1994). The Quark and the Jaguar, p.138. Little, Brown and Co.
[5] Deutsch, D. (1997). The Fabric of Reality, Chapters 2 ,13. Penguin Books, London.
[6] Deutsch (1997), p.217.
[7] Stenhardt, Paul J. and Turok, Neil (2006). Why the cosmological constant is small and positive, Science 312, 1180–3.
[8] Bennett, M. et al. (2007). Neuroscience and Philosophy. Columbia Univ. Press, New York.
[9] Sytsma, J. (2009). The Proper Province of Philosophy: Conceptual Analysis and Empirical Investigation. Review of Philosophy and Psychology, to appear.
[10] Barrow, J. (2007). Living in a simulated universe. In Bernard Carr, ed. Universe or Multiverse?, pp. 481–6. Camb. Univ. Press.
[11] Hacker, P. M. S. and Bennett, M. R. (2008). History of Cognitive Neuroscience. Wiley-Blackwell, Oxford and Malden, Mass.
[12] Bostrom, N. (2003). Are you living in a computer simulation? Phil. Quarterly 53, no. 211, 243–55.