Прості числа – це стара ідея, але круги ще давніші. Круги привели до великої проблеми, для розв’язання якої знадобилося понад 2000 років. Це одна з кількох споріднених геометричних задач, які дійшли до нас із давнини. Центральний герой оповідання – число π (грец. «пі»), яке нам трапляється в школі у зв’язку з колами та сферами. Кількісно це 3,14159 і ще трохи; часто використовується наближення 22/7. Цифри π ніколи не закінчуються, і вони ніколи не повторюють одну й ту ж послідовність знову і знову. Теперішній рекорд обчислення числа π становить 10 трильйонів цифр, автори Александер Ї та Сіґеру Кондо (Shigeru Kondo), жовтень 2011 року[15]. Подібні обчислення важливі для тестування швидких комп’ютерів, або натхнення і тестування нових методів обчислення π, але дуже мало залежать від числових результатів. Причина зацікавлення π полягає не в обчисленні обводу кола. Те саме дивне число з’являється по всій математиці, а не лише у формулах, пов’язаних із колами та сферами, і воно дійсно веде до дуже глибоких вод. Навіть у такому разі, шкільні формули важливі, й вони відображають походження π у грецькій геометрії.
І тут однією з великих проблем була нерозв’язана задача квадратури круга. Ця фраза часто використовується в розмовній мові, щоб вказати на неправильний підхід до чогось, на кшталт спроби вставити квадратний кілок у круглий отвір. Як і багато поширених фраз, взятих із науки, значення цієї змінювалося протягом століть[16]. У грецькі часи намагання квадратувати круг було цілком розумною ідеєю. Відмінність між двома формами – прямою чи кривою – абсолютно не має значення: подібні задачі мають правильні розв’язки[17]. Однак зрештою виявилося, що цю конкретну задачу неможливо розв’язати за допомогою вказаних методів. Це доведення геніальне і технічне, але його загальна природа зрозуміла.
У математиці квадратура круга означає побудову квадрата, площа якого дорівнює площі заданого круга, з використанням традиційних методів Евкліда. Грецька геометрія фактично допускала інші методи, тому один аспект проблеми полягає в тому, щоб визначити, які саме методи слід використовувати. Тоді неможливість розв’язання задачі – це твердження про обмеженість цих методів; це не означає, що ми не можемо визначити площу круга. Треба просто знайти інший підхід. Доведення неможливості пояснює, чому грецькі геометри та їхні наступники не змогли знайти побудову потрібного типу: її немає. Ретроспективно це пояснює, чому їм довелося запровадити складніші методи. Тож розв’язок, дарма що він негативний, прояснює те, що інакше було б великою історичною загадкою. Він також перешкоджає людям витрачати час на постійні пошуки побудови, якої не існує, за винятком кількох витривалих душ, що, на жаль, здається, не зможуть зрозуміти цього повідомлення, незалежно від того, як ретельно воно пояснене[18].
В Евклідових «Елементах» традиційні методи побудови геометричних фігур – ідеалізовані версії двох математичних інструментів: лінійки та циркуля. Якщо вже бути педантичним, циркулів, з тієї ж причини, з якої ви ріжете папір ножицями, а не ножицею, але я дотримуватимуся звичайної мови й уникатиму множини. Ці інструменти використовуються для «малювання» рисунків на умовному аркуші паперу, Евклідовій площині.
Їх форма визначає, що вони можуть рисувати. Циркуль складається з двох жорстких стрижнів, з’єднаних шарнірно. Один має гостре вістря, інший утримує гострий олівець. Інструмент використовується для рисування кола або його частини з певним центром і певним радіусом. Лінійка простіша: вона має прямий край і використовується для проведення прямої лінії. На відміну від лінійок, які ви купуєте в канцелярських магазинах, Евклідові не мають позначок, і це важливе обмеження для математичного аналізу того, що вони можуть створити.
Сенс, у якому геометрові лінійка та циркуль – ідеалізації, простий: передбачається, що вони рисують нескінченно тонкі лінії. Крім того, прямі лінії точно прямі, а кола ідеально круглі. Папір ідеально плоский і рівний. Інший ключовий компонент Евклідової геометрії – поняття точки, іншого ідеалу. Точка — це цятка на папері, але це фізична неможливість: вона не має розміру. «Точка, — сказав Евклід у першому реченні «Елементів», — це те, що не має частини». Це трохи схоже на атом, або, якщо ви розбираєтесь у сучасній фізиці, субатомну частинку, але проти геометричної точки, вони гігантські. Проте з погляду пересічної людини ідеальна точка Евкліда, атом, і цятка від олівця на аркуші паперу досить схожі для цілей геометрії.
Цих ідеалів неможливо досягти в реальному світі, хоч би як акуратно ви виготовляли інструменти та гострили олівець і хоч би яким гладеньким робили папір. Але ідеалізм може бути чеснотою, бо ці вимоги роблять математику набагато простішою. Наприклад, дві олівцеві лінії перетинаються в невеликій нечіткій області у формі паралелограма, а математичні лінії перетинаються в одній точці. Ідеї, отримані з ідеальних кіл і ліній, часто можна перенести на реальні, недосконалі. Ось як математика творить свою магію.
Дві точки визначають (пряму) лінію, єдину лінію, яка проходить через них. Щоб побудувати лінію, розмістіть ідеальну лінійку так, щоб вона проходила через дві точки, і проведіть уздовж неї ідеальним олівцем. Дві точки також визначають коло: виберіть одну як центр і помістіть туди вістря циркуля; потім відрегулюйте його так, щоб кінчик олівця лежав на іншій точці. Тепер повертайте олівець дугою, залишаючи центральну точку нерухомою. Дві лінії визначають єдину точку, де вони перетинаються, якщо тільки не паралельні, тоді вони не перетинаються, але скринька Пандори з логічними проблемами зяє вже широко. Пряма і коло визначають дві точки, якщо вони перетинаються; одну точку, якщо лінія перетинає коло дотично; взагалі нічого, якщо коло замале, щоб перетнутися з лінією. Подібно два кола або перетинаються у двох точках, або в одній, або в жодній.
Відстань – фундаментальне поняття в сучасному трактуванні Евклідової геометрії. Відстань між будь-якими двома точками вимірюється уздовж лінії, яка їх з’єднує. Евклідові вдалося змусити свою геометрію працювати без явного поняття відстані, знайшовши спосіб сказати, що два відрізки мають однакову довжину, без визначення самої довжини. Насправді це легко: просто розтягніть циркуль між кінцями одного відрізка, перенесіть його на другий і подивіться, чи допасовуються кінці. Якщо так, довжини рівні; якщо ні, то ні. На жодному етапі фактичну довжину ви не вимірюєте.
З цих базових компонентів геометри можуть будувати цікавіші форми та конфігурації. Три точки визначають трикутник, якщо всі вони не лежать на одній прямій. Коли дві лінії перетинаються, вони утворюють кут. Прямий кут особливо важливий; пряма лінія відповідає двом з’єднаним прямим кутам. І так далі, і так далі, і так далі. «Елементи» Евкліда складаються з 13 книг, де все глибше досліджуються наслідки цих простих початків.
Основна частина «Елементів» складається з теорем – справжніх ознак геометрії. Але Евклід також пояснює, як розв’язувати геометричні задачі, використовуючи побудови, основані на лінійці та циркулі. Задано дві точки, з’єднані відрізком прямої, побудуйте його середину. Або поділіть відрізок на три частини: побудуйте точку рівно на одній третині відрізка. Задано кут, побудуйте кут, який ділить його навпіл – удвічі менший. Але деякі прості побудови виявилися невловними. Задано кут, поділіть його на три рівні частини – кожна має одну третину величини. Ви можете зробити це для відрізків, але ніхто не міг знайти метод для кутів. Наближення, яке завгодно, так. Точних побудов лише нерозміченою лінійкою та циркулем немає. Однак нікому насправді не потрібно точно ділити кути на три рівні частини, тож ця конкретна проблема не викликала особливих клопотів.
Ще більше спантеличувала побудова, якою не можна було знехтувати: задано круг, побудуйте квадрат такої ж площі. Це проблема квадратури круга. З погляду греків, якщо ви не можете розв’язати це, то не маєте права стверджувати, що круг має площу. Навіть попри те, що він помітно охоплює чітко визначений простір, і інтуїтивно зрозуміло, що ця площа – скількись простору. Евклід і його наступники, особливо Архімед, погодилися на практичний розв’язок: припускаємо, що круги мають площі, але не очікуйте, що зможете побудувати квадрати з такою ж площею. Ще можна багато сказати; наприклад, ви можете довести цілком строго логічно, що площа круга пропорційна квадратові його діаметра. Чого не можна зробити, без квадратури круга, то це побудувати лінію, довжина якої – константа пропорційності.
Греки не змогли сквадрувати круг, використовуючи лінійку та циркуль, тому вони задовольнилися іншими методами. В одному з них використовували криву, яка називається квадратрисою[19]. Важливість, яку вони надавали використанню лише лінійки та циркуля, перебільшили деякі пізніші коментатори, і навіть незрозуміло, чи греки вважали квадратуру кола життєво важливою проблемою. Однак до дев’ятнадцятого століття ця проблема стала серйозною неприємністю. Математика, яка не могла відповісти на таке просте запитання, була схожа на кухаря, що готує кордон блю, але не знає, як зварити яйце.
Квадратура круга звучить як задача з геометрії. Це тому, що це і є задача з геометрії. Але її розв’язок виявився зовсім не в геометрії, а в алгебрі. Встановлення несподіваних зв’язків між, на перший погляд, непов’язаними галузями математики часто лежить в основі розв’язання великої проблеми. Тут зв’язок не був абсолютно безпрецедентним, але її пов’язаність із квадратурою круга спочатку не оцінили. Навіть коли це сталося, виникли технічні труднощі, і для їх подолання знадобилася ще одна галузь математики: аналіз, строга версія числення. За іронією долі, перший прорив стався з четвертої галузі: теорії чисел. І він розв’язав геометричну задачу, яку греки навіть у найсміливіших мріях не могли собі уявити, що вона має розв’язок і, скільки ми можемо судити, ніколи не замислювалися над нею: як побудувати лінійкою та циркулем правильний багатокутник із 17 сторонами.
Це звучить божевільно, особливо якщо додати, що такої побудови не існує для правильних багатокутників із 7, 9, 11, 13 або 14 сторонами, але є для 3, 4, 5, 6, 8, 10 і 12. Однак за божевіллям стоїть метод, і саме він збагатив математику.
По-перше: що таке правильний багатокутник? Багатокутник — це фігура, обмежена прямими лініями. Він правильний, якщо ці лінії мають однакову довжину і перетинаються під однаковими кутами. Найвідоміший приклад – квадрат: усі чотири сторони мають однакову довжину, а всі чотири кути прямі. Існують інші форми з чотирма рівними сторонами або чотирма рівними кутами: ромб і прямокутник, відповідно. Тільки квадрат має обидві властивості. Правильний 3-сторонній багатокутник – рівносторонній трикутник, правильний 5-сторонній багатокутник – правильний п’ятикутник і так далі, рисунок 4. Евклід подає побудови лінійкою та циркулем для правильних багатокутників з 3, 4 та 5 сторонами. Греки також уміли багаторазово подвоювати кількість сторін, задаючи 6, 8, 10, 12, 16, 20 і так далі. Комбінуючи побудови для 3- і 5-сторонніх правильних багатокутників, вони могли отримати 15-сторонній. Але на цьому їхні знання закінчувалися. І приблизно 2000 років так воно й залишалося. Ніхто не міг уявити, що можливі інші числа. Вони навіть не запитували, просто здавалося очевидним, що більше нічого зробити не можна.
Рис. 4. Перші кілька правильних багатокутників. Зліва направо: рівносторонній трикутник, квадрат, п'ятикутник, шестикутник, семикутник, восьмикутник.
Знадобився один із найвидатніших математиків усіх часів, щоб помислити про немислиме, запитати про непитанне та знайти справді дивовижну відповідь. А саме Ґаус Карл Фрідріх. Ґаус народився в бідній сім'ї робітника в місті Брауншвайзі в Німеччині. Його мати Доротея не вміла ні читати, ні писати, і не змогла записати дату його народження, але вона пам’ятала, що це було в середу, за вісім днів до свята Вознесіння, у 1777 році. Пізніше Ґасс вирахував точну дату за математичною формулою, яку він розробив для дати Великодня. Його батько Ґебгард походив із фермерської сім’ї, але заробляв на життя низькокваліфікованими роботами: садівником, робітником на каналі, вуличним м’ясником, бухгалтером у похоронному бюро. Їхній син був вундеркінд, що, як відомо, виправив аритметику свого батька у віці трьох років, і його здібності, які поширювалися на мови, а також на математику, спонукали герцога Брауншвайзького профінансувати його університетські студії в Каролінській колегії. Бувши студентом, Ґаус самостійно заново відкрив кілька важливих математичних теорем, які довели такі видатні люди, як Ойлер. Але його теорема про правильний 17-кутник стала громом з ясного неба.
На той час тісний зв’язок між геометрією та алгеброю був зрозумілий протягом 140 років. У додатку до «Міркувань про метод» (Discours de la Méthode) Рене Декарт формалізував ідею, що деякий час витала в рудиментарній формі: поняття системи координат. По суті, це взяти пусту Евклідову площину, чистий аркуш паперу, і перетворити його на папір, полінійований на квадрати, який інженери та науковці називають міліметрівкою. Нарисуйте на папері дві прямі лінії, одну горизонтальну, іншу вертикальну: вони називаються осями. Тепер ви можете визначити розташовання будь-якої точки площини, запитавши, як далеко вона лежить у напрямку вздовж горизонтальної осі та як далеко вгору вертикальною віссю, рисунок 5 (зліва). Ці два числа, які можуть бути додатними або від’ємними, дають повний опис точки і називаються її координатами.
Рис. 5. Зліва: координати на площині. Справа: як вивести рівняння для одиничного кола.
Усі геометричні властивості точок, ліній, кіл тощо можна перевести в алгебричні твердження щодо відповідних координат. Дуже важко говорити змістовно про ці зв’язки, не використовуючи справжньої алгебри – так само, як важко говорити розумно про футбол, не згадуючи слово «гол». Тож наступні кілька сторінок містять деякі формули. Вони для того, щоб гарантувати, що в головних дійових осіб драми є імена, а стосунки між ними зрозумілі. За «Ромео» набагато простіше стежити, ніж «за сином італійського патріарха, який закохується в прекрасну доньку заклятого ворога свого батька». Наш Ромео матиме прозаїчне ім’я x, а його Джульєта – у.
Як приклад того, як геометрія перетворюється на алгебру, на рисунку 5 (праворуч) показано, як знайти рівняння кола одиничного радіуса з центром у початку координат, де перетинаються дві осі. Позначена точка має координати (x, y), тому прямокутний трикутник на рисунку має горизонтальну сторону завдовжки x і вертикальну сторону завдовжки y. Найдовша сторона трикутника – це радіус кола, що дорівнює 1. Тепер, за Пітагоровою теоремою, сума квадратів двох координат дорівнює 1. У символах, точка з координатами x і y лежить на колі, тоді (й тільки тоді), коли вона задовольняє умову x2 + y2 = 1. Ця символічна характеристика кола коротка та точна, і вона показує, що ми дійсно говоримо про алгебру. І навпаки, будь-яку алгебричну властивість пар чисел, будь-яке рівняння, що має x і y, можна переінтерпретувати як геометричне твердження про точки, лінії, кола чи складніші криві[20].
Основні рівняння алгебри містять поліноми, комбінації степенів невідомої величини x, де кожен степінь множиться на деяке число, що називається коефіцієнтом. Найбільший степінь х, що трапляється, – це степінь полінома. Наприклад, рівняння
x4 − 3x3 − 3x2 + 15x − 10 = 0
містить поліном, що починається з x4, тому його степінь 4. Коефіцієнти дорівнюють 1, −3, −3, 15 і −10. Є чотири різні розв’язки: x = 1, 2, √5і √5. Для цих чисел ліва частина рівняння дорівнює нулеві – правій частині. Поліноми степеня 1, такі як 7x + 2, називаються лінійними, і вони містять лише перший степінь невідомого. Рівняння 2-го степеня, наприклад x2 − 3x + 2, називаються квадратними і містять другий ступінь – квадрат. Рівняння кола містить другу змінну, y. Однак, якщо ми знаємо друге рівняння, що пов’язує x і y, наприклад, рівняння, що визначає деяку пряму лінію, тоді ми можемо розв’язати у через x і звести рівняння кола до рівняння, яке має лише x. Це нове рівняння вказує нам, де лінія перетинається з колом. У цьому випадку нове рівняння квадратне з двома розв’язками; ось як алгебра відображає геометрію, в якій лінія перетинає коло у двох різних точках.
Ця особливість алгебри має важливе значення для побудов лінійкою та циркулем. Така побудова, хоч би якою складною вона була, розбивається на послідовність простих етапів. Кожен етап створює нові точки в місцях перетину двох ліній, двох кіл або лінії та кола. Ці лінії та кола визначаються раніше побудованими точками. Перекладаючи геометрію алгеброю, можна довести, що алгебричне рівняння, яке відповідає перетину двох прямих, завжди лінійне, тоді як для прямої та кола, або двох кіл, квадратне. Зрештою, це відбувається тому, що рівняння кола містить x2, але не має більшого степеня x. Тож кожен окремий етап у побудові відповідає лише розв’язанню рівняння степеня 1 або 2.
Складніші побудови — це послідовності цих базових операцій, і певна кількість алгебричних способів дає змогу зробити висновок, що кожна координата будь-якої точки, яку можна побудувати лінійкою та циркулем, – розв’язок поліномного рівняння з цілими коефіцієнтами, степінь якого – степінь 2. Тобто степінь має бути одним із чисел 1, 2, 4, 8, 16 і так далі[21]. Ця умова необхідна для існування побудови, але її можна посилити до точної характеристики того, які правильні багатокутники можна побудувати. Раптом зі складної геометричної плутанини виникає чітка алгебрична умова – і вона застосовна до будь-якої побудови. Вам навіть не потрібно знати, що це за побудова: лише те, що використовується лише лінійка та циркуль.
Ґаус знав про цю елегантну ідею. Він також знав (справді, будь-який компетентний математик швидко зрозуміє), що питання про те, які правильні багатокутники можна побудувати лінійкою та циркулем, зводиться до окремого випадку, коли багатокутник має просте число сторін. Щоб зрозуміти чому, подумайте про таке складене число, як 15, яке дорівнює 3 × 5. Будь-яка гіпотетична побудова 15-стороннього правильного багатокутника автоматично дає 3-сторонній (розглянемо кожну п’яту вершину) і 5-сторонній (розглянемо кожну третю вершину), рисунок 6. Доклавши трохи більше зусиль, ви можете поєднати побудови для 3-кутника та 5-кутника, щоб отримати 15-кутник[22]. Числа 3 і 5 прості, і та сама ідея застосовна загалом. Тож Ґаус зосередився на багатокутниках із простим числом сторін і запитав, як виглядає відповідне рівняння. Відповідь була напрочуд лаконічна. Побудова правильного 5-кутника, наприклад, еквівалентна розв’язанню рівняння x5 – 1 = 0. Замініть 5 на будь-яке інше просте число, і відповідне твердження істинне.
Степінь цього полінома дорівнює 5, що не одне з перерахованих мною степенів числа 2; попри це, побудова існує. Ґаус швидко зрозумів, чому: рівняння розпадається на дві частини, одна степеня 1, а інша степеня 4. І 1, і 4 – степені числа 2, і виявляється, що рівняння степеня 4 вирішальне. Щоб зрозуміти чому, нам потрібно зв’язати рівняння з геометрією. Це залучає новий вид чисел, той, який здебільшого ігнорується в шкільній математиці, але неодмінне для будь-чого, що виходить за її рамки. Їх називають комплексними числами, і їх означувальна особливість – те, що в комплексній числовій системі −1 має квадратний корінь[23].
Рис. 6. Побудова рівностороннього трикутника та правильного п’ятикутника з правильного 15-кутника. З іншого боку, зауважте, що A і B – послідовні точки правильного 15-кутника.
Звичайне «дійсне» число додатне або від’ємне, і в будь-якому разі його квадрат додатний, тому −1 не може бути квадратом ніякого дійсного числа. Це так незручно, що математики винайшли новий вид «уявного» числа, квадрат якого дорівнює −1. Їм потрібен був новий символ для нього, тому вони назвали його i (що означає «imaginary» (уявне)). Звичайні операції алгебри – додавання, віднімання, множення, ділення – приводять до комбінацій дійсних і уявних чисел, таких як 3 + 2i. Кажуть, що вони комплексні (complex), що не означає «складні» (complicated), але вказує на те, що вони складаються з двох частин: 3 і 2i. Дійсні числа лежать на відомій числовій прямій, як числа на лінійці. Комплексні числа лежать у числовій площині, в якій уявна лінійка розміщена під прямим кутом до дійсної, і обидві разом утворюють систему координат, рисунок 7 (зліва).
Протягом останніх 200 років математики вважали комплексні числа фундаментальними для свого предмета. Тепер ми усвідомлюємо, що логічно вони перебувають на одному рівні зі звичнішими «дійсними» числами, що, як і всі математичні структури, – абстрактні поняття, а не дійсні фізичні речі. Комплексні числа широко використовувалися ще до часів Ґауса, але їхній статус все ще залишався таємничим, поки Ґаус і деякі інші не демістифікували їх. Джерело їхньої привабливості було парадоксальне: попри таємницю, що оточувала їх значення, комплексні числа поводилися набагато краще, ніж дійсні. Вони додали забраклий інгредієнт, якого не вистачало дійсним числам. Вони забезпечили повний набір розв’язків для алгебричного рівняння.
Рис. 7. Зліва: комплексна площина. Справа: комплексний корінь п’ятого степеня з одиниці.
Найпростіший приклад – квадратні рівняння. Деякі квадратні рівняння мають два дійсні розв’язки, а інші – жодного. Наприклад, x2 − 1 = 0 має розв’язки 1 і −1, але x2 + 1 = 0 не має розв’язків. Між ними є x2 = 0, єдиний розв’язок якого дорівнює 0, але є розуміння, що це той самий розв’язок, який повторюється «двічі»[24]. Однак якщо ми допускаємо комплексні розв’язки, то x2 + 1 = 0 також має два розв’язки: i та −i. Ґаус не сумнівався у використанні комплексних чисел; фактично його докторська дисертація забезпечила перше логічно обґрунтоване доведення основної теореми алгебри: кількість комплексних розв’язків будь-якого поліноміального рівняння (з правильно підрахованими кратностями) дорівнює степеневі рівняння. Отже, квадратні рівняння (степеня 2) завжди мають два комплексні розв’язки, кубічні (степеня 3) завжди мають три комплексні розв’язки і так далі.
Рівняння x5 − 1 = 0, що, як я стверджував, означує правильний п’ятикутник, має степінь 5. Тому воно має п’ять комплексних розв’язків. Є лише один дійсний розв’язок: x = 1. А як щодо інших чотирьох? Вони забезпечують чотири вершини ідеального правильного п’ятикутника в комплексній площині, де x = 1 – п’ята, рисунок 7 (справа). Ця відповідність – приклад математичної краси: елегантна геометрична фігура стає елегантним рівнянням.
Тепер рівняння, розв’язки якого – ці п’ять точок, має степінь 5, який не степінь 2. Але, як згадано раніше, рівняння степеня 5 розпадається на дві частини зі степенями 1 і 4, які називаються його незвідними множниками:
x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)
(«Незвідний» означає, що не існує інших множників, чисто як прості числа.) Перший множник дає дійсний розв’язок x = 1. Інший множник дає чотири комплексні розв’язки та інші чотири вершини п’ятикутника. Отже, коли ми використовуємо комплексні числа, усе має набагато більше сенсу та набагато елегантніше.
Часто важко відтворити, як математики минулого дійшли до нових відкриттів, бо вони мали звичку представляти лише кінцевий результат своїх міркувань, а не численні помилкові кроки, які вони робили на цьому шляху. Ця проблема часто ускладнюється, бо природні патерни мислення в минулі часи відрізнялися від сучасних. Зокрема, Ґаус був відомий тим, що замітав сліди і публікував лише свій остаточний, дуже виполірований аналіз. Але коли справа доходить до дослідження Ґауса щодо 17-гранного багатокутника, ми на досить певному ґрунті; аналіз, який він зрештою опублікував, дає кілька корисних підказок.
Його відправна точка не була новою. Кілька раніших математиків добре знали, що наведений вище аналіз правильних п'ятикутників працює у загальному випадку. Побудова багатокутника з будь-якою кількістю сторін n еквівалентна розв’язуванню рівняння xn − 1 = 0 у комплексних числах. Крім того, цей поліном розкладається як
(x – 1) (xn-1 + xn-2 +... x2 + x + 1).
Знову перший множник дає дійсний розв’язок x = 1, а решта n – 1 розв’язків походять від другого множника. Коли n непарне, усі вони комплексні; коли n парне, один із них другий дійсний розв’язок x = – 1.
Що Ґаус помітив, а всі інші пропустили, – це те, що іноді другий множник можна виразити, використовуючи ряд квадратних рівнянь. Не представляючи його як добуток простіших множників, бо це неможливо, а використовуючи рівняння, коефіцієнти яких розв’язують інші рівняння. Ключовий факт тут – слабке місце в проблемі – це елегантна властивість алгебричних рівнянь, яка виникає, коли ми розв’язуємо кілька з них по черзі таким способом. Розрахунок завжди еквівалентний розв’язанню одного рівняння, але степінь зазвичай стає більшим. Отже, ціна, яку ми платимо за те, що маємо менше рівнянь, – це збільшення степеня. Це може бути безладно, але є одна особливість, яку ми можемо передбачити: яким великим стає степінь. Просто перемножте степені послідовних поліномів.
Якщо всі вони квадратні, результатом буде 2 × 2 × … × 2, степінь 2. Отже, n − 1 має бути степенем 2, якщо побудова існує. Однак цієї умови не завжди достатньо. Коли n = 9, n − 1 = 8, а це степінь числа 2. Але Ґаус виявив, що для правильного 9-кутника не існує побудови. Причина в тому, що 9 не просте число[25]. А як щодо наступного випадку, коли ми розв’язуємо серію з чотирьох квадратних рівнянь? Тепер степінь n − 1 відповідного єдиного рівняння дорівнює 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Отже, n = 17, і це просте число.
До цього моменту Ґаус, мабуть, знав, що він на щось натрапив, але є ще один технічний момент, можливо, фатальний. Гаусс переконався, що для того, щоб існувала побудова правильного п’ятикутника з простим числом сторін, це просте число має бути степенем 2 плюс 1. Отже, ця умова необхідна для існування побудови: якщо вона не виконується, то такої побудови не існує. Однак ця умова може бути недостатньою: насправді існує багато рівнянь 16 степеня, які не зводяться до ряду з чотирьох квадратних.
Однак був привід для оптимізму: грецькі побудови. Які прості числа там трапляються? Лише три: 2, 3 і 5. Усі вони на 1 більше, ніж степінь 2, а саме 20 + 1, 21 + 1 і 22 + 1. Алгебра, пов’язана з п’ятикутником, дає додаткові підказки. Обдумавши все це, Ґаус довів, що поліном степеня 16, пов’язаний із 17-стороннім багатокутником, справді можна звести до ряду квадратних. Тому мусить існувати побудова лінійкою та циркулем. Аналогічним методом доведено, що те ж саме правильно, коли кількість сторін – просте число, яке на 1 більше за деякий степінь 2. Ці ідеї – данина здатності Ґауса розуміти математичні закономірності. В їх основі лежать деякі загальні теореми з теорії чисел, які я не буду тут розглядати. Річ у тому, що все це не було випадковим. Існували вагомі структурні причини для того, щоб це спрацювало. Треба було просто бути Ґаусом, щоб їх помітити.
Ґаус не надав чіткої побудови, але він дав формулу для розв’язків рівняння степеня 16, яку можна перетворити на таку побудову, якщо ви справді цього хочете[26]. Коли він записав свої ідеї в «Аритметичні дослідження», то опустив чимало деталей, але стверджував, що володіє повними доведеннями. Його епічне відкриття переконало його, що він повинен присвятити своє життя математиці, а не мовам. Герцог продовжував підтримувати Ґауса фінансово, але той хотів чогось постійнішого та надійнішого. Коли астроном Джузеппе Піацці відкрив перший астероїд Цереру, вдалося зробити лише кілька спостережень, перш ніж цей новий світ став невидним на тлі яскравого світла Сонця. Астрономи хвилювалися, що вони не зможуть знайти його знову. Проявивши високу майстерність, випробувавши нові методи обчислення орбіт, Ґаус передбачив, де він знову з’явиться – і не помилився. Це привело до призначення його професором астрономії та директором Гетінгенської обсерваторії. Він обіймав цю посаду до кінця свого життя.
Виявляється, 17 – не єдине нове число такого роду. Відомі ще два: 28 + 1 = 257 і 216 + 1 = 65 537. (Трохи алгебри показує, що степінь 2, який трапляється, сам по собі мусить бути степенем 2; якщо ні, то число не може бути простим.) Однак на цьому схема зупиняється, бо 232 + 1 = 4 294 967 297 дорівнює 641 × 6700417, отже, воно не просте. Відомо, що так звані числа Ферма 22 в степені n + 1 не прості для n = 5, 6, 7, … до 32. Відомо, що багато більших чисел Ферма також не прості. Більше простих чисел Ферма не знайдено, але їхнє існування аж ніяк не неможливе[27]. Побудова 257-стороннього багатокутника відома. Один математик присвятив багато років багатокутникові з 65 537 сторонами, дещо недоцільній задачі, і його результати містять помилки та метод[28].
Підсумок аналізу Ґауса полягає в тому, що правильний багатокутник можна побудувати лінійкою та циркулем тоді і тільки тоді, коли кількість сторін – добуток степеня 2 і різних непарних простих чисел Ферма. Зокрема, так не можна побудувати правильний 9-кутник. Звідси відразу випливає, що принаймні один кут не можна розділити на три частини, бо кут у рівносторонньому трикутнику дорівнює 60 градусам, а одна третина цього кута становить 20 градусів. За цим кутом легко побудувати правильний 9-кутник. А що це неможливо, то не існує загальної побудови лінійкою та циркулем, щоб поділити кут на три однакові частини.
Ґаус опускав багато деталей доведень, коли писав свої результати, а математики не могли просто повірити йому на слово. У 1837 році французький математик П’єр Ванцель опублікував повне доведення Ґаусової характеризації правильних багатокутників, які можна побудувати, і зробив висновок про неможливість поділу загального кута на три однакові частини лінійкою та циркулем. Він також довів, що неможливо побудувати куб, об’єм якого вдвічі більший за заданий куб, ще одна давньогрецька проблема, відома як «подвоєння куба».
І трисекція кута, і подвоєння куба виявляються неможливими, бо довжини, що беруть участь, задовольняють незвідні кубічні рівняння – третього степеня. А що 3 не степінь 2, і це зразу перешкода. Однак цей метод, здається, не спрацював для проблеми квадратури круга з цікавих причин. Круг одиничного радіуса має площу π, а квадрат цієї площі має сторону π1/2. Існують геометричні побудови для квадратних коренів, а також побудови для квадратів, тому квадратура круга зводиться до того, щоб почати з лінії завдовжки 1 і побудувати лінію завдовжки π. Якби число π задовольняло незвідне кубічне рівняння або будь-яке незвідне рівняння, степінь якого не степінь 2, тоді методи Ванцеля довели б, що неможливо сквадрувати круг.
Однак ніхто не знав жодного алгебричного рівняння, яке точно задовольняло б π, не кажучи вже про таке, степінь якого не степінь 2. Шкільне значення 22/7 задовольняє 7x − 22 = 0, але це лише наближення до π, трохи завелике, тому воно не допомагає. Якби можна було довести, що такого рівняння не існує – а багато хто підозрював це на тій підставі, що воно було б знайдене, якби існувало – з цього випливала б неможливість квадратури круга. На жаль, ніхто не міг довести, що такого рівняння не існує. Алгебричний статус π був у підвішеному стані. Остаточне розв’язання використовувало методи, які не просто виходили за межі геометрії: вони також виходили за межі алгебри.
Щоб зрозуміти головну проблему, нам потрібно почати з простішої ідеї. У математиці існує важлива відмінність між числами, які можна виразити у вигляді точних дробів p/q, де p і q – цілі числа, і числами, які не можуть бути так виражені. Перші називаються раціональними (це відношення цілих чисел), а другі — ірраціональними. Раціональне, наприклад, наближення 22/7 до π. Є кращі наближення; відоме — 355/113 з точністю до шести знаків після коми. Однак відомо, що жоден дріб не може точно представити π: він ірраціональний. Цю давно підозрювану властивість вперше довів швейцарський математик Йоганн Гайнріх Ламберт у 1768 році. Його доведення ґрунтується на дотепній формулі для функції тангенса в тригонометрії, яку він виражає у вигляді неперервного (ланцюгового) дробу: нескінченного стосу звичайних дробів[29]. У 1873 р. Шаарль Ерміт знайшов простіше доведення, засноване на формулах числення, пішовши далі: він довів, що π2 ірраціональне. Тому π також не квадратний корінь з раціонального числа.
Ламберт запідозрив щось набагато сильніше. У статті, яка доводила ірраціональність π, він припустив, що π трансцендентне; тобто π не задовольняє жодне поліномне рівняння з цілими коефіцієнтами. Воно виходить за межі алгебричного виразу. Подальші відкриття довели його правоту. Прорив відбувся за два етапи. Новий метод Ерміта для доведення ірраціональності створив передумови, натякнувши, що числення – точніше, його строга версія, аналіз, – може бути корисною стратегією. Розвиваючи цю ідею далі, Ерміт знайшов чудове доведення того, що інше відоме цікаве число в математиці, основа e натуральних логаритмів, трансцендентне. Кількісно e дорівнює приблизно 2,71828, і, взагалі кажучи, воно навіть важливіше за π. Ермітове доведення трансцендентності чарівне, кролик, з розмахом витягнутий із циліндра аналізу. Кролик — це складна формула, пов’язана з гіпотетичним алгебричним рівнянням, яке, припускано, e задовольняє. Використовуючи алгебру, Ерміт доводить, що ця формула дорівнює деякому ненульовому цілому числу. Використовуючи аналіз, він доводить, що воно має лежати між – ½ і ½. А що єдине ціле число в цьому діапазоні дорівнює нулеві, ці результати суперечні. Тому припущення, що e задовольняє алгебричне рівняння, має бути хибним, тому e трансцендентне.
У 1882 році Фердінанд Ліндеман додав деякі прибамбаси до Ермітового методу і довів, що якщо ненульове число задовольняє алгебричне рівняння, то e, піднесене до степеня цього числа, не задовольняє алгебричне рівняння. Потім він скористався відомим Ойлерові зв’язком π, e та уявного числа i: відомою формулою eiπ = − 1. Припустимо, що π задовольняє деяке алгебричне рівняння. Тоді iπ також, і з Ліндеманової теореми випливає, що −1 не задовольняє алгебричне рівняння. Однак він очевидно існує: це розв’язок x + 1 = 0. Єдиний вихід із цієї логічної суперечності полягає в тому, що π не задовольняє алгебричне рівняння; тобто воно трансцендентне. А це означає, що ви не можете сквадратувати круг.
Це був довгий і непрямий шлях від Евклідової геометрії до Ліндеманового доведення, який зайняв понад 2000 років, але математики нарешті дійшли до цього. Історія не просто говорить нам, що круг не можна сквадрувати. Це наочна наука того, як розв’язуються великі математичні проблеми. Це вимагало від математиків ретельного формулювання того, що вони мали на увазі під «геометричною побудовою». Їм потрібно було визначити загальні особливості таких побудов, які могли б обмежити їхні досягнення. Пошук цих особливостей вимагав встановлення зв’язків з іншою галуззю математики: алгеброю. Розв’язування алгебричної задачі, навіть у простіших випадках, таких як побудова правильних багатокутників, також залучало теорію чисел. Робота зі складним випадком π вимагала подальших новацій, і проблему довелося перенести в іншу галузь математики: аналіз.
Жоден із цих етапів не був простим чи очевидним. Знадобилося близько століття, щоб завершити доведення, навіть коли вже були основні ідеї. Залучені математики були одними з найкращих свого часу, й принаймні один був серед найкращих усіх часів. Розв’язання великих проблем вимагає глибокого розуміння математики, а також наполегливості та винахідливості. Це може зайняти роки цілеспрямованих зусиль, здебільшого вочевидь безрезультатних. Але уявіть, як це, коли ваша наполегливість приносить свої плоди, і ви відкриваєте щось, що не давалося решті людства протягом століть. Як сказав президент Джон Ф. Кеннеді в 1962 році, оголошуючи проєкт висадки на Місяць: «Ми вирішуємо … робити [ці] … речі не тому, що вони легкі, а тому, що вони важкі».
Мало які історії в математиці закінчуються, і π не виняток. Час від часу з’являються дивовижні нові відкриття щодо π. 1997 року Фабріс Белард (Fabrice Bellard ) оголосив, що трильйонна цифра числа π у двійковій системі числення дорівнює 1[30]. Що зробило це твердження видатним, то це не відповідь. Дивовижною особливістю було те, що він не обчислив жодної з попередніх цифр. Він просто вихопив одну конкретну цифру з повітря.
Розрахунок став можливим завдяки цікавій формулі для π, що відкрили Дейвід Бейлі (David Bailey), Пітер Борвейн (Peter Borwein) і Саймон Плуф (Simon Plouffe) у 1996 році. Вона може здатися дещо складною, але все ж гляньмо:
Велика Σ означає «додавання» у вказаному діапазоні. Тут n змінюється від 0 до нескінченності (∞). Белар фактично використав формулу, що він вивів за допомогою подібних методів, яка трохи швидша для обчислень:
Ключовий момент – те, що багато чисел, які тут трапляються – 1, 4, 32, 64, 256, а також 24n і 210n – степені числа 2, які, звісно, дуже прості у двійковій системі, що використовується для внутрішньої роботи комп'ютерів. Це відкриття стимулювало потік нових формул для π та кількох інших цікавих чисел. Рекорд із пошуку однієї двійкової цифри π регулярно побивається: у 2010 році Ніколас Зе з «Ягу» обчислив двоквадрильйонну двійкову цифру π, яка виявилася рівною 0.
Ці ж формули можна використовувати для знаходження ізольованих цифр π в аритметиці за основами 4, 8 і 16. Нічого подібного не відомо для будь-якої іншої основи; зокрема, ми не можемо обчислювати десяткові цифри окремо. Чи існують такі формули? Поки не була знайдена формула Бейлі – Борвейна – Плуфа, ніхто не міг уявити, що це можна зробити в двійковому вигляді.
[15] ttp://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html.
[16] У цьому контексті я ненавиджу «квантовий стрибок». У розмовній мові це вказує на якийсь гігантський крок уперед або на якісь величезні зміни, як-от відкриття Америки європейцями. Однак у квантовій теорії квантовий стрибок такий незначний, що жоден відомий інструмент не може спостерігати його безпосередньо, зміна, розмір якої становить десь 0,000 … 01 з приблизно 40 нулями.
[17] Знаходження скінченного розтинанання круга на квадрат називається задачею квадратури круга Тарського. Міклош Лачковіч розв’язав її в 1990 році. Його метод неконструктивний і використовує аксіому вибору. Потрібна величезна кількість частин, близько 1050.
[18] Химерні твердження про круг-квадрат і кут-трисектор детально досліджуються в Underwood Dudley, A Budget of Trisections, Springer, 1987, і Mathematical Cranks, Mathematical Association of America, 1992. Це явище не нове: див. Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes, Longmans, 1872; передруковано Books For Libraries Press, 1915.
[19] Квадратриса Гіпія — це крива, окреслена вертикальною лінією, яка рівномірно рухається через прямокутник, і лінією, яка рівномірно обертається навколо середини нижньої частини прямокутника, рисунок 52. Цей зв’язок перетворює будь-яке питання про поділ кута на відповідне про поділ лінії. Наприклад, щоб поділити кут на три частини, ви просто ділите відповідну лінію на три частини. Див. http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5 ... atrix.html.
[20] Ось наочний приклад. Геометрично, якщо лінія перетинає коло і не дотикається до нього, то вона перетинає коло рівно в двох точках. Розглянемо лінію, паралельну горизонтальній осі, на відстані 1/2 від неї, рисунок 53. Рівняння цієї лінії дуже просте: y=1/2 (Хоч би яким було значення x, ми завжди отримуємо те саме значення для y.) Коли y=1/2, рівняння x2 + y2 = 1 стає x2 + 1/4 = 1. Тому x2 =3/4, отже, х=√3/2 або –√3/2. Отже, алгебра говорить нам, що одиничне коло перетинає вибрану нами лінію рівно у двох точках, координати яких (√3/2 , 1/2) і (–√3/2, 1/2). Це узгоджується з рисунком 53 і з чисто геометричними міркуваннями.
[21] Строго кажучи, відповідний поліном повинен мати цілі коефіцієнти і бути незвідним: не бути добутком двох поліномів нижчого степеня з цілими коефіцієнтами. Степінь 2 не завжди достатній для існування побудови лінійкою та циркулем, але він завжди необхідний. Якщо степінь не 2, ніякої побудови не може існувати. Якщо це ступінь 2, потрібен додатковий аналіз, щоб вирішити, чи існує побудова.
[22] Справедливе й обернене: маючи побудови для правильних 3- та 5-кутників, ви можете вивести одну для 15-кутника. Основна ідея полягає в тому, що 2/5 – 1/3 = 1/15. Один тонкий момент стосується простих степенів. Аргумент не забезпечує побудови, скажімо, 9-кутника, якщо відомі його прості дільники, а саме 3-кутник. Ґаус довів, що неможлива побудова для непарних простих степенів, більших за перший.
[23] Див. Ian Stewart, Seventeen Equations that Changed the World, Profile, 2012, розділ 5.
[24] Щоб зрозуміти це твердження, розкладіть квадратний вираз на лінійні множники. Тоді x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), що дорівнює нулеві, якщо будь-який множник дорівнює нулеві, тому x = 1 або −1. Те саме міркування можна застосувати до x2 = xx: це дорівнює нулеві, якщо або перший множник x = 0, або другий x = 0. Трапляється так, що ці два розв’язки дають однаковий x, але наявність двох множників x відрізняє цю ситуацію від чогось на зразок x(x − 1), де є лише один множник x. Під час підрахунку кількості розв’язків алгебричного рівняння відповідь зазвичай набагато акуратніша, якщо врахувати ці «кратності».
[25] Коли n = 9, другий множник – x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1. Але останній сам має множники: він дорівнює (x2 + x + 1) (x6 + x3 + 1). Ґаусова характеризація конструктивних чисел вимагає, щоб кожен незвідний множник мав степінь, і він степінь двох. Але другий множник має степінь 6, а це не степінь 2.
[26] Ґаус довів, що 17-кутник можна побудувати, якщо можна побудувати лінію, довжина якої дорівнює
А що завжди можна побудувати квадратні корені, то це ефективно розв’язує проблему. Інші математики знайшли чіткі побудови. Ульріх фон Гуґенін опублікував першу в 1803 році, а Г. В. Річмонд знайшов простішу в 1893. На рисунку 54 візьміть два перпендикулярні радіуси AOP0 і BOC кола. Зробіть OJ = 1/4OB і кут OJE — 1/4OJP0. Знайдіть F таку, щоб кут EJF дорівнював 45 градусів. Накресліть коло з діаметром FP0, яке перетинає OB в точці K. Проведіть коло з центром E через K, перетинаючи AP0 у G і H. Накресліть HP3 і GP5 перпендикулярно до AP0. Тоді P0, P3, P5 – відповідно, 0-а, 3-я та 5-а вершини правильного 17-кутника, а інші вершини тепер легко побудувати.
[27] Щоб дізнатися про останні відкриття, див. Wilfrid Keller, Prime factors of Fermat numbers and complete factoring status: http://www.prothsearch.net/fermat.html.
[28] Ф. Ю. Рішело опублікував побудову правильного 257-кутника в 1832 році. Й. Гермес з Лінгенського університету присвятив десять років 65537-кутникові. Його неопубліковану роботу можна знайти в Гетінгенському університеті, але вважається, що вона містить помилки.
[29] Типовий ланцюговий дріб виглядає так:
Цей конкретний неперервний дріб – початок того, що представляє π.