Математика для людського процвітання
Френсіс Су
з роздумами Крістофера Джексона
Лавреат Ойлерівської книжкової премії 2021 року від Математичної асоціації Америки, це всеосяжне бачення математики — її краси, її людяності та її сили створювати чесноти, які допомагають нам усім процвітати.
Для математика Френсіса Су суспільство без прихильності до математики схоже на місто без концертів, парків чи музеїв. Пропустити математику — означає жити, не відчуваючи деяких найпрекрасніших ідей людства.
У цій глибокій книжці, написаній для широкої авдиторії, але особливо для тих, хто розчарований своїм минулим досвідом, відзначений нагородами математик і педагог сплітає притчі, головокрутки та особисті роздуми, щоб показати, як математика задовольняє основні людські потреби, наприклад гри, краси, свободи, справедливості та любові — і розвиває чесноти, необхідні для людського процвітання. Ці потреби та чесноти, а також історії, розказані тут, показують, як тісно математика пов’язана з людиною. Деякі научки можна дістати від тих, хто зазнав труднощів, зокрема від філософа Сімон Вейль, чий власний математичний внесок був затьмарений внеском її брата, і Крістофера Джексона, який відкрив для себе математику, бувши ув’язненим у федеральній в’язниці. Листи Крістофера до автора з’являються по всій книжці й показують, як цей інтелектуальний пошук може — і повинен — бути відкритим для всіх.
Відгуки
«Чудово написана, містить добре дібрані та цікаві математичні головокрутки та пропонує важливий погляд для розгляду математиками... Книжка розрахована на ширшу авдиторію, а також закликає до більшої інклюзивності, до визнання того, що існує багато шляхів до успіху». – Памела Ґоркін, «Математікл інтелідженсер»
«Надихає». – Скот Мак-Лемі, «Інсайд гаєр ед»
«Хорошу книжку читати цікаво. Чудова книжка — це дзеркало, яке дає змогу нам чіткіше бачити себе та світ, у якому ми живемо. «Математика для процвітання людини» Френсіса Су — це і хороша, і прекрасна книжка». – Огляди MAA
«Математика для процвітання людства» — це ідея та книжка, які мають глибоке значення для нашого часу... Для всіх, хто сумнівається у важливості цих ідей не лише для шкільних досягнень, а й для людства, цю книжку варто прочитати». – «Американський математичний місячник»
«[Сповнена натхнення книжка... Це книжка для всіх, хто хоче знати, де і як математика може вписатися в їхнє життя». — Пол Дж. Кемпбел, «Математичний журнал»
«Це глибока книжка, призначена для широкої авдиторії, щоб розпочати розмову про те, як навчати математики та займатися нею по-новому». — Шерон Хашимото, «Міжнародний екзаменатор»
«Робота Су – приклад вірного служіння для загального блага. Він представляє бачення математики як засобу, за допомогою якого кожен може відчути повноту». – Томас Дж. Кларк, «Міжнародний журнал християнства та освіти»
«Стародавні греки стверджували, що найкраще життя сповнене красою, істиною, справедливістю, грою та любов’ю. Математик Френсіс Су точно знає, де їх знайти». — Кевін Гартнет, журнал «Кванта»
«Будь ласка, прочитайте цю прекрасну, переконливу, захопливу книжку, якщо вам небайдужі математика, соціальна справедливість чи людяність, а я сподіваюся, що це стосується всіх». – Юджинія Ченг, авторка книжки «Мистецтво логіки в нелогічному світі».
«Світ відчайдушно потребує всеосяжного та глибоко людського погляду на те, що таке математика та чому вона має значення. Ключові якості, які розвиває математичне мислення, — це характеристики, які ми всі повинні цінувати та прагнути до них». — Еді Ву, автор книжки «Це числовий світ»
«Я був зачарований цією незвичайною, піднесеною книжкою. Оригінальні ідеї та захопливі головокрутки змусили мене знову відчути себе молодим, відкривши шлях до дзен і мистецтва математики». — Наліні Джоші, Сіднейський університет.
«Френсіс Су вірить, що математика може зробити нас кращими людьми, і він подає приклад. Кожна сторінка — це робота щедрості та спочуття. Крім того, головокрутки будуть переслідувати вас тижнями». — Бен Орлін, автор книжки «Математика з поганими малюнками».
«Свято математики та людського духу. Вивчення математики збагачує наше життя, і Су хоче, щоб усі посіли місце на бенкеті». — Едвард Шайнермен, автор книжки «Супутник любителя математики».
«Чудове поєднання філософії, математичних ілюстрацій і спочуття». – Джон Кук, «Сінг’юлор валью консалтінг»
«Френсіс Су написав ліричну медитацію про красу математики та те, як вона пов’язана з нашою спільною людяністю». — Джон Уршел, автор книжки «Розум і матерія: життя в математиці та футболі».
Су елегантно розкриває красу та силу математики, бо вони пов’язані з нашими бажаннями бути коханими, гідними віри та прийнятими. Потужна розповідь про математичну красу, ця книжка – протиотрута для математично фіксованого мислення». — Талітія Вільямз, авторка книжки «Спроможність у числах: жінки-бунтівниці математики».
«Це, мабуть, найважливіша книжка про математику нашого часу. Френсіс Су показує, що математика — це досвід розуму і, що найважливіше, серця». — Джеймз Тантон, «Глоубл мат проджект»
Про автора
Френсіс Су — професор математики імені Бенедіктсона-Карви в коледжі Гарві Мадда, удостоєний нагород як викладач математики, колишній президент Математичної асоціації Америки. Його роботи були представлені в «Кванта», «Вайред» і «Нью-Йорк таймз».
Крістоферам і Сімонам світу
Зміст
передмова
1. процвітання
2. дослідження
3. значення
4. гра
5. краса
6. постійність
7. істина
8. боротьба
9. сила
10. справедливість
11. свобода
12. спільнота
13. любов
епілог
подяки
побажання та чесноти
для роздумів: питання для подальшого обговорення
підказки та розв’язки головокруток
примітки
індекс
передмова
Ця книжка не про те, яка велика математика, хоча це справді славетне намагання. Вона також не зосереджується на тому, що може зробити математика, хоча вона, безсумнівно, може зробити багато чого. Скоріше це книжка, яка ґрунтує математику на тому, що означає бути людиною і жити повноціннішим людським життям.
Ця книжка стала результатом моєї промови в січні 2017 року наприкінці мого терміну президентства в Математичній асоціації Америки. Дарма що я виступав на конференції математиків, основні теми були загальні, а повідомлення викликало такий резонанс, якого я не міг передбачити. Слізлива реакція авдиторії показала мені, що навіть серед тих, хто заробляє на життя математикою, справді є потреба поговорити про наше прагнення до спільного блага та потребу того, щоб ми були кращими людьми одне для одного. Після того, як про цю промову повідомили в журналах «Кванта» і «Вайред», я отримав численні листи від людей, чий досвід математики збігався з моїм: болісні, коли її не практикували належно, і радісні, коли ми бачимо, якою різною вона може бути.
Щоб запросити всіх до цієї розмови, я націлив цю книжку на широку авдиторію — особливо на тих із вас, хто не вважає себе «людьми математики». Можливо, спосіб, яким ви бачите себе в математиці, полягає не в тому, щоб я переконав вас, що математика чудова або що математика робить багато чудових речей, а в тому, щоб показати вам, що математика тісно пов’язана з людиною. Бо тоді ваші найпотаємніші людські бажання розкривають вашу математичну природу — і вам потрібно лише її пробудити.
Я не подаватиму багато передумов; я знаю, що ми всі мали різний досвід у математиці, і це цілком добре прийти до цієї книжки таким, який ви є. Я буду посилатися на деякі математичні ідеї тут і там і спробую пов’язати їх із тим, що ви, можливо, знаєте, приблизно так само, як ви можете вести випадкові розмови про філософію, музику чи спорт. Можливо, ви читаєте цю книжку за дорученням когось із знайомих, хто вивчає математику, і тому я іноді даю поради тим, хто викладає. Незалежно від того, хто ви, я сподіваюся, що ви прочитаєте цю книжку як запрошення й подумаєте про ідеї, щоб почати розмову — вдома, у класі чи серед друзів — про те, як уявляти математику по-новому.
1
процвітання
Кожна істота тихо волає, щоб її прочитали інакше.
Сімон Вейль
Крістофер Джексон – ув'язнений у федеральній в'язниці суворого режиму. З чотирнадцяти він мав проблеми із законом. Він не закінчив середньої школи, у нього була залежність від важких наркотиків, а в дев’ятнадцять років він брав участь у серії збройних пограбувань, за які дістав тридцять два роки ув’язнення.
Наразі ви, мабуть, уже сформували уявлення про те, хто є Крістофер, і, можливо, вам цікаво, чому я розпочинаю його історію. Коли думаєте про тих, хто займається математикою, ви думаєте про Крістофера?
Але він написав мені листа після семи років ув’язнення:
Коли думаєте про тих, хто займається математикою, ви думаєте про Крістофера?У мене завжди була схильність до математики, проте, бувши дуже юним і живучи в деяких несприятливих обставинах, я так і не зрозумів справжнього сенсу та переваг здобуття освіти...
За останні 3 роки я придбав і вивчив силу книжок, щоб здобути глибоке та конкретне розуміння «Алгебри I», «Алгебри II», «Коледжівської алгебри», «Геометрії», «Тригонометрії», «Числення I» та «Числення II».
Сімон Вейль (1909–1943) була відомим французьким релігійним містиком і широко шанованим філософом. Ймовірно, вона менш відома як молодша сестра Андре Вейля, одного з найвідоміших в історії теоретиків чисел.Кожна істота тихо волає, щоб її прочитали інакше.
Для Сімони читати когось означає тлумачити чи робити про нього судження. Вона каже: «Кожна істота тихо волає, щоб її судили інакше». Цікаво, чи не волала Сімон щодо себе? Вона теж любила математику і займалася нею, але часто порівнювала себе з братом. У листі до наставника вона написала:
У чотирнадцять років я впала в один із тих нападів бездонного відчаю, які приходять у підлітковому віці, і я серйозно думала про смерть через посередність своїх природних здібностей. Виняткові здібності мого брата, дитинство та юність якого можна порівняти з дитинством Паскаля, довели мені мою власну неповноцінність. Я не заперечувала, що не мала очевидних успіхів, але мене засмучувала ідея бути вилученою із того трансцендентного царства, до якого мають доступ лише справді великі і де перебуває істина. Я воліла померти, ніж жити без цієї істини.[1]
Сімон Вайль, близько 1937 року. Фото люб’язно надала Сільві Вейль.
Ми знаємо, що Сімон любила математику, тому що вона використовувала математичні приклади у своїх філософських творах.[2] І ви знайдете її з Андре на фотографіях Бурбакі, групи французьких математиків-реформаторів, як помітно самотню жінку. Їхні сповнені жартів зустрічі були, мабуть, не найпривабливішим місцем для жінки.[3]
Зустріч Бурбакі, близько 1938 року. Ліворуч видно Сімон Вайль, яка схилилася над своїми нотатками. Андре Вейль махає дзвіночком. Фото надала Сільві Вейль.
Я часто питаю себе, якими були б її стосунки з математикою, якби вона не була завжди в тіні Андре.[4]
Я щасливий ентузіаст математики, вчитель математики, дослідник у галузі математики та колишній президент Математичної асоціації Америки. Тож можна подумати, що мій зв’язок із математикою завжди був міцний. Мені не подобається слово «успіх», але люди вважають мене успішним, ніби справжньою мірою моїх математичних досягнень були нагороди, які я отримав, або статті, які я опублікував. Дарма що я мав переваги, зокрема походження із середнього класу та батьків, які підштовхували мене до успіху, мої заняття математикою, навіть із благородніших причин, ніж досягнення, мали свої перешкоди.Кожна істота тихо волає, щоб її прочитали інакше.
У дитинстві мене приваблювали прекрасні ідеї математики, і я прагнув дізнатися більше. Але я виріс у маленькому сільському містечку з обмеженими можливостями на півдні Техасу. У моїй середній школі було мало доступних курсів з математики чи природничих наук, бо коледж не був стандартним вибором для її учнів. У мене не було великої мережі друзів, захоплених математикою. Мої батьки, дарма що вони прагнули допомогти мені вчитися, не знали, де шукати, щоб підживити мій інтерес до математики; знайти такі ресурси було ще важче в доінтернетну епоху. Я здебільшого покладався на старі книжки з публічної бібліотеки. Моя любов до математики зросла, коли я був студентом Техаського університету, і коли мене прийняли до Гарварду, де я здобував ступінь доктора філософії. Але я почувався там не на своєму місці, бо мій коледжівський диплом не був отриманий у навчальному закладі Ліги Плюща, і, на відміну від багатьох моїх однолітків, у мене не було повного списку випускних курсів, коли я вступив. Я почувався Сімон Вейль, стоячи поруч із майбутніми Андре Вейлями, думаючи, що ніколи не зможу процвітати в математиці, якщо не був схожий на них.
Один професор сказав мені: «Ви не маєте того, що потрібно, щоб стати успішним математиком». Це недобре зауваження змусило мене задуматися, серед іншого, чому я хочу займатися математикою. Займатися математикою означає більше, ніж просто вивчати факти математики — це означає бачити себе здібним до вивчення математики, мати впевненість і звичку розуму розв’язувати нові задачі. Несподівано я приєднався до компанії багатьох людей, які були уражені суворими судженнями і поставили під сумнів свою здібність до математики. Є багато інших, хто ставить під сумнів сенс вивчення математики, а ще інші не мають доступу до якісної математичної освіти. Перед лицем такої кількості перешкод, це справедливе запитання для всіх нас:
Навіщо займатися математикою?
Чому Крістофер сидів у тюремній камері й вивчав числення, хоча він не використовуватиме його на волі ще двадцять п’ять років? Яка користь для нього з математики? Чому Сімон так захопили трансцендентні математичні істини? Що вони пропонують, про що вона так відчайдушно прагнула дізнатися більше? Чому ви маєте наполегливо вивчати математику або бачити себе математичним дослідником, коли інші тонко й не дуже кажуть вам, що ви до них не належите?
У теперішній момент суспільство також запитує, якими повинні бути його стосунки з математикою. Чи математика лише інструмент, який робить вас «готовими до коледжу та кар’єри», щоб ви могли досягти своїх справжніх цілей у житті? Чи математика не потрібна більшості з нас і актуальна лише для небагатьох представників еліти? Яка цінність у вивченні математики, якщо ви ніколи не будете використовувати те, що вивчаєте? Завтрашня робота може навіть не використовувати математику, яку ви вивчаєте сьогодні.
Серед великих суспільних змін, спричинених цифровою революцією та переходом до інформаційної економіки, ми спостерігаємо швидку трансформацію способів нашої роботи та життя. Тепер математичні інструменти займають важливе місце в кожному секторі робочої сили, зокрема в найдомінантніших; натепер технологічні компанії належать до чотирьох найдорожчих компаній у світі.[5] Це означає, що влада тепер ще більше наділяється тим, хто володіє математичними навичками.[6] Протягом життя якоїсь молодої людини інструменти нашого повсякденного життя стали також математичними. Тепер пошукові системи задовольняють будь-які наші дослідницькі примхи за допомогою алгоритмів на основі лінійної алгебри та реклами на основі теорії ігор. Смартфони стали нашими цифровими дворецькими, зберігаючи наші дані в алгебрично замкнутих кабінетах, інтерпретуючи наші голосові команди зі статистичною чутливістю та радуючи нас добіркою аналітично розпакованої музики.
Проте суспільство не сприйняло серйозно свій обов’язок забезпечити живу математичну освіту для всіх. У багатьох школах учителі не мають достатньої підтримки. Застарілі навчальні програми та педагогічні методики заважають багатьом учням відчути математику як захопливу сферу дослідження, культурно відповідну та важливу для всіх сфер життя. Ми чуємо голоси на публічних майданчиках про те, що учням старших класів не потрібна алгебра, або що небагато людей повинні добре знати математику, маючи на увазі, що математику краще залишити математикам.[7] Деякі викладачі коледжівської математики фактично заявляють про те саме, відмовляючись від викладання вступних занять, або розглядаючи ступінь бакалавра з математики лише як конвеєр для виробництва докторів математики. Протягом багатьох десятиліть і на всіх рівнях — від початкової школи до коледжу — лунали заклики змінити спосіб викладання математики[8]; проте зміни відбувалися повільно, частково через те, що навчальна програма з математики часто слугувала фоном для політичних суперечок навколо природи самого виховання.[9]
Нам дають освіту не таку добру, як слід, і, як і більшість несправедливостей, ця особливо шкодить найвразливішим. Брак доступу до математики та непривітність у математиці має руйнівні наслідки для бідних та інших знедолених груп.[10] Невикористання потенціалу кожного – втрата для всіх нас і це обмежить здатність майбутніх поколінь розв’язувати проблеми, з якими вони зіткнуться.
Наша неспроможність інвестувати в людей вже тепер впливає на нас. Нами легко маніпулювати, коли ми не розуміємо, як працюють нові технології, але очікуємо, що вони будуть виробляти рішення від нашого імені. Ми не поінформовані про способи, якими алгоритми використовуються, щоб сортувати нас, відстежувати нас і поділяти нас — показуючи нам відмінні новини, продаючи інакші позики та викликаючи в нас інакші емоції, ніж у наших сусідів.[11] Ми свідки того, що підприємці не бажають критикувати технології, які вони винаходять, політики не можуть притягнути їх до відповідальності через брак математичної досвідченості, а широка громадськість не готова розглядати свій зв’язок із цими технологіями.
Ми всі знаємо, що під капотом є математика, але в іншому аспекті математика здається холодною, логічною та безживною. Не дивно, що ми не відчуваємо особистого зв’язку з нею. Не дивно, що ми не відчуваємо відповідальності за те, як вона використовується.
Ми з вами можемо це змінити. Усі ми маємо здатність сприймати диво, силу та відповідальність математики, живлячи свою прихильність до неї. Необхідність робити це в сучасному світі неможливо переоцінити, і ставки високі.
Суспільство без математичної прихильності подібне до міста без концертів, парків чи музеїв. Втрачати математику означає жити без можливості грати з прекрасними ідеями та бачити світ у новому світлі. Схоплювати математичну красу – це унікальний і піднесений досвід, якого слід потребувати кожному.
Кожен із нас — незалежно від того, хто ви і звідки — може розвинути любов до математики. Кожен з нас може мати інакше ставлення до математики, ніж ми собі уявляли. Кожен із нас може тлумачити себе та одне одного по-різному.
Я звертаюся до деморалізованих, яких образили слова про їхні математичні здібності. Я звертаюся до розчарованих, для яких математика стала нудною. Я звертаюся до тих, хто не мав ресурсів або впевненості, щоб здобути математичну освіту, але завжди цікавився тим, як усе працює. Я звертаюся до художника, який ніколи не вважав математику прекрасною, соціального працівника, який ніколи не вважав математику реляційною, і математика, який ніколи не вважав математику доступною для будь-кого іншого.
І я звертаюся як до тих, хто викладає математику, так і до тих, хто думає, що ніколи не викладатиме математику, бо кожен із нас, усвідомлюємо ми це чи ні, – вчитель математики. Ми всі висловлюємо ставлення до математики через те, що ми говоримо іншим, і наші слова мають незгладний вплив. Ви можете висловити негатив: «Я ніколи не був хорошим у математиці». «Цей предмет для хлопчиків». «Не спілкуйся з нею — вона ботанік». «Сину, я не фахівець з математики, і ти, мабуть, маєш мої гени». «Навіщо тобі ще один курс математики?». Або ви можете передати позитив: «Математика — це дослідницька пригода». «Ти можеш покращити свої математичні навички, так само як я можу покращити свої штрафні кидки». «Математика — це сила бачити приховані закономірності». «Кожен має перспективи в математиці».
Ви можете колись стати батьком, тіткою чи дядьком, лідером молодіжної групи, громадським волонтером або займати іншу посаду, де ви впливатимете на інших. Якщо так – ви станете вчителем математики. Якщо ви допомагаєте дітям робити домашні завдання – ви вчитель математики. Якщо ви боїтеся допомагати дітям робити домашні завдання, то вчите ставлення до математики. Дослідження показують, що батьки зі страхом математики передають цей страх своїм дітям. Насправді батьки, які страшаться математики, певніше передадуть страх математики, якщо намагатимуться допомогти своїм дітям із домашніми завданнями з математики, ніж цього не зроблять.[12] Отже, ваше ставлення до математики має значення як для дитини, так і для вас самого.
Щоб прочитати себе по-іншому, ми всі — і ті, хто зазнав невдачі в математиці, і ті, хто досяг успіху — повинні змінити свій погляд на те, що таке математика і хто має її вивчати. Це вимагатиме від учителів змінити свій погляд на те, як вони мають викладати. Нам потрібно буде говорити про неї по-іншому, і якщо ми це зробимо, більше з нас залучиться до математики, коли побачимо, як математика пов’язана з нашими найглибшими людськими бажаннями.
Тож якщо ви запитаєте мене: «Навіщо займатися математикою?», я скажу так: «Математика допомагає людям процвітати».
Математика для людського процвітання.
Людське процвітання означає цілісність — бути і діяти, реалізовувати свій потенціал і допомагати іншим робити те саме, діяти з честю та поводитися з іншими з гідністю, жити чесно навіть у складних обставинах. Це не те саме, що щастя, і це не просто стан душі. Добре прожите життя – це життя людського процвітання. Стародавні греки мали слово для людського процвітання — евдемонія — яке вони вважали найвищим благом: «це благо, що складається з усіх благ; здатність, якої достатньо для того, щоб добре жити».[13] Є подібне слово в івриті — шалом — яке використовується як вітання. Шалом іноді перекладається як «мир», але це слово має куди багатший контекст. Сказати комусь шалом — це побажати, щоб він процвітав і жив добре. А в арабській мові є споріднене слово: салам.
Базове питання, яким займалися люди протягом століть, таке: як досягти людського процвітання? Що таке добре прожите життя? Філософ Арістотель казав, що процвітання приходить через застосування чесноти. Грецьке поняття чесноти означає досконалість характеру, яка веде до досконалості поведінки. Тож воно охоплює більше, ніж просто моральну чесноту; наприклад, такі риси, як мужність, мудрість і терпіння, також чесноти.
Я стверджую, що правильна практика математики культивує чесноти, які допомагають людям процвітати. Ці чесноти прислужаться вам незалежно від того, яку професію ви оберете або куди заведе вас життя. І рух до чесноти викликаний основними людськими бажаннями — універсальними прагненнями, що є в усіх нас, — які фундаментально мотивують усе, що ми робимо. Ці бажання можна спрямувати на заняття математикою; здобуті чесноти можуть дати змогу вам процвітати.
Розглянемо таку аналогію: якщо займатися математикою — це те саме, що керувати вітрильником, то людські бажання — це вітер, що напинає вітрила, а чесноти — це якості характеру, які формує вітрильний спорт — уважність, дбайливість і гармонія з вітром. Звісно, вітрильний спорт корисний для того, щоб дістатися з пункту А до пункту Б, але це не єдина причина плисти. І є технічні навички, які потрібно опанувати, щоб добре плавати, але ми не вчимося вітрильного спорту, щоб стати кращими у в’язанні вузлів. Подібно математичні навички цінні, але вони не можуть служити цілями. Навички, необхідні суспільству від математики, можуть змінитися, але чесноти, необхідні від математики, не зміняться.
Пропагуючи людський бік математики, я приєднуюся до дедалі більшого хору тих, хто закликає до гуманізації математики та математичної освіти, часто заради усунення давньої несправедливості, шляхом відходу від безконтекстного зображення математики, щоб розкрити її соціальні та культурні виміри.[14] Ця похвальна мета буде неможлива — і часто піддаватиметься протидії — якщо ми не назвемо мету вивчення математики, яка більша, ніж просто запам’ятовування процедур для майбутньої кар’єри.
Коли деякі люди запитують: «Я хоч колись цим буду користуватися?», вони насправді запитують: «Я хоч колись оціню це?»[15] Вони ототожнюють цінність математики з корисністю, бо не бачать, що можуть цінувати щось більше. Грандіозніше, цілеспрямованіше бачення математики пробудило б бажання, які можуть спонукати нас займатися математикою, а також чесноти, які може розвинути математика.
Тому кожен із дальших розділів присвячений одному основному людському бажанню, здійснення якого – ознака людського процвітання. У кожному з них я показую, як заняття математикою можуть задовольнити це бажання, і висвітлюю чесноти, які культивуються завдяки залученню до математики таким способом. Зміна практик математики, так щоб вони справді відповідали цим бажанням, – наша спільна відповідальність, якщо всі хочуть процвітати в математиці.
Знаю, що дехто може, почувши, як я згадую про чесноти, подумати, що я кажу, що математика робить вас кращими за інших людей. Ні, я не кажу, що математика дає вам більше право претендувати на гідність чи людську поважність. Я кажу, що заняття математикою можуть, якщо вони ґрунтуються на людських бажаннях, сформувати такі аспекти характеру та звички розуму, які дадуть змогу вам жити повноціннішим людським життям і відчути найкраще, що може запропонувати життя. Ніхто з нас не повністю чеснотний; ми всі працюємо, і є куди рости. І є багато способів зростати в чесноті, не тільки в математиці. Але чи правильна практика математики формує певні чесноти, як-от здатність чітко мислити та добре міркувати? Однозначно так, і це можна зробити особливим чином.
Через те, що я так високо оцінюю математику, ви можете подумати, що я боготворю математику як основне заняття, яке варто цінувати понад усі інші в житті. Це теж не так — кожен з нас мусить знайти, що дає нашій душі її найбільше призначення. Однак математика — це дивовижна людська справа — варта зусиль, щоб досліджувати та брати в ній участь, і варта зусиль, щоб допомогти іншим зробити те саме, — бо вона відповідає основним людським бажанням і унікальним чином сприяє гарному життю.
Я сподіваюся, що через бачення себе в цих бажаннях, ви зможете побачити себе математичним дослідником, який може мислити математично і якого вітають у математичних просторах. І там, де практика математики ще не ґрунтується на цих бажаннях, я сподіваюся, ви приєднаєтеся до мене, щоб змінити її. Роблячи це, ви матимете нові способи відчути математику не лише як набір фактів і навичок, а як силу для процвітання всіх.
Математичне дослідження починається із питань. Тож я розкидаю кілька загадок у цій книжці. Жодного тиску — ви можете пропустити їх, якщо хочете, або подумати лише над тими, які здаються привабливими. Підказки та розв’язки можна знайти в кінці, але перш ніж зазирнути туди, я рекомендую пограти з кожною задачею.
РОЗБИТТЯ НА ЧАСТИНИ БРАУНІ
Батько пече брауні на прямокутному деко на позашкільний час для своїх двох дочок. Перед тим, як його дочки приходять додому, його дружина підходить і витягує прямокутник десь із середини, і то сторони прямокутника не обов’язково паралельні сторонам деко.
Як він може одним прямим розрізом розділити решту брауні порівну між своїми двома доньками так, щоб вони отримали однакову площу? Версія цієї головокрутки була показана в шоу НПР «Автомобільні розмови»a.
ТУМБЛЕРИ СВІТЛА
Уявіть собі 100 лампочок, кожна з яких має перемикач, пронумерований від 1 до 100, усі розташовані в ряд, і всі лампочки вимкнені. Припустімо, ви робите так: перемикаєте всі перемикачі, кратні 1, потім перемикаєте всі перемикачі, кратні 2, потім перемикаєте всі перемикачі, кратні 3 тощо, аж до кратних 100. (Перемкнути перемикач означає ввімкнути його, якщо він вимкнений, і вимкнути, якщо він увімкнений.) Коли ви закінчите, котрі лампочки увімкнені, а котрі вимкнені? Ви бачите якусь закономірність? Можете це пояснити?
Лист. 26, 2013
Привіт, пане Су. Мене звуть Крістофер Джексон, я в’язень пенітенціарної колонії США Мак-Крірі в Пайн-Ноті, штат Кентукі. Мені 27 років і я пробув у в'язниці 7 з гаком років. Мене засудили до 32 років ув’язнення за серію збройних пограбувань, у яких ніхто не постраждав, у віці 19 років, коли я страждав від сильної залежності від безлічі важких наркотиків.
У мене завжди була схильність до математики, але, бувши дуже юним та живучи в деяких несприятливих обставинах, я так і не зрозумів справжнього сенсу та переваг здобуття освіти. У віці 14 років я почав більше перейматися системою ювенальної юстиції, тому що невдовзі після закінчення школи я покинув будинок своїх опікунів і почав вести кримінальний спосіб життя. У віці 17 років, за спонуканням мого менеджера та інших, хто мене підтримував, я здобув ЗОР (G.E.D.) і вступив до Атлантського технічного коледжу, але не відвідував його, лише кілька днів, і повернувся і ще глибше занурився в злочинне життя. Протягом дальших кількох років я боровся із залежністю, потрапляючи і виходячи з в’язниці, поки не скоїв злочин, за який тепер відбуваю цей термін. Після того, як я визнав себе винним за двома пунктами обвинувачення у віці 21 року, мене помістили під варту і відправили сюди, до цієї установи, де я провів останні 4 роки свого життя.
За останні 7 років у мене виник гострий інтерес до занять і книок, що стосуються філософії, математики, фінансів, економіки, бізнесу та політики. І за останні 3 роки я придбав і вивчив численні книжки, щоб глибоко та конкретно зрозуміти «Алгебру I», «Алгебру II», «Коледжівську алгебру», «Геометрію», «Тригонометрію», «Числення I» та «Числення II».
Значна більшість проблем у моєму житті виникла через мою жорстокість і небажання слухати людей, які насправді знають краще за мене або займають владні позиції. Тому що навіть із зниклим безвісти та померлим батьком у мене були мати, тітоньки та бабуся, які дійсно намагалися виховати мене правильно. Кожного дня, коли я прокидаюся і будую своє життя, то намагаюся не дозволяти теперішнім обставинам, які я створив для себе, визначати пристрасті та майбутнє, яке я хочу для себе бачити.
Я дізнався про ваш заклад із книжки, яку я прочитав завдяки викладачеві, що тут викладає, і з того, що ваш заклад кілька разів згадували в телешоу, яке я регулярно дивлюся.
Я людина з обмеженими можливостями, але хотів би знати, чи є у вас програма, щоб я міг заочно здобути ступінь з математики у вашій школі. Я знаю, що ви дуже зайнята людина, тому не хотів би більше забирати ваш час. Але дякую за ваш час і увагу.
Крістофер Джексон
a. Див. https://www.cartalk.com/puzzler/cutting-holey-brownies.
