Джон Дербішир. Опанованість простими числами. Бернгард Ріман і найбільша нерозв’язана проблема в математиці
1859 року Бернгард Ріман, маловідомий 32-річний математик, зробив побічну заувагу, представляючи в Берлінській академії роботу під назвою «Про кількість простих чисел, менших від заданої величини». Він висунув здогад, гіпотезу, яка відтоді виявилася майже болісно нездоланною для незліченної кількості вчених мужів. Сьогодні, після 150 років ретельних пошуків і вичерпних досліджень, питання залишається відкритим. Істинна чи хибна гіпотеза? Пошук розв’язку Ріманової гіпотези став опанованістю для багатьох — справжнім «великим білим китом» математичних пошуків. Однак, попри рішучі зусилля поколінь математиків, Ріманова гіпотеза не піддається розв’язанню.
«Опанованість простими числами», чергуючи уривки надзвичайно ясного математичного опису з розділами елегантно складеної біографії та історії, – захопливий і плавний виклад епічної таємниці, яка продовжує кидати виклик і хвилювати світ.
Відгуки
«Чудова книжка». – Джон Ф. Неш-молодший, лавреат Нобелівської премії з економіки 1994 року
«Енергійна та переконлива... [Дербішир] змушував мене читати далі й далі». — Бен Яндел, «Лос-Анджелес таймз»
«Ріман та його колеги оживають як реальні постаті, а не просто прикметники для гіпотез і теорем». — «Саєнтіфік Амерікен»
«Дивовижна та блискуча книжка». — «Національний огляд»
«Дербіширова «Опанованість простими числами» – найдокладніший і, отже, найкорисніший виклад Ріманової гіпотези... Математична книжка, яка читається як детектив». — «Християнський науковий монітор»
«Варто прочитати». — «Вашингтон пост бук ворлд»
«Історична пригода... повна цікавих історій». — «Економіст»
«Інтелектуальна майстерність і чудове читво». — «Вашингтон таймз»
«Захоплива розповідь про Ріманові часи ». — «Амерікен саєнтіст»
«Дербішир елегантно досліджує дошкульну тему». — Журнал «Саєнс ньюз»
«Дербішир – талановитий пояснювач, налаштований підохотити читача зрозуміти серйозну математику». — «Новий критерій»
«Інформативний, вичерпний, добре написаний виклад нерозв’язаної задачі, яку більшість математиків вважає найважливішою нерозв’язаною задачею в цій галузі». — Кейт Девлін, автор книжки «Проблеми тисячоліття».
Про автора
Джон Дербішир — математик і лінгвіст за освітою, системний аналітик за професією, а у вільний час — знаменитий письменник. Його роботи часто з'являються в «Національному огляді» та «Новому критерії». Він народився та виріс в Англії, тепер проживає у Сполучених Штатах. За книжку «Опанованість простими числами» здобув Ойлерівську книжкому премію від Математичної асоціації Америки (2007).
Зміст
Передмова
Частина І. Теорема про розподіл простих чисел
1. Картковий фокус
2. Ґрунт, урожай
3. Теорема про розподіл простих чисел
4. На плечах гігантів
5. Ріманова дзета-функція
6. Велике злиття
7. Золотий ключик і вдосконалена теорема про розподіл простих чисел
8. Не зовсім негідний
9. Розтягнення області
10. Доведення і поворотний момент
Частина II. Ріманова гіпотеза
11. Дев'ять королев зулусів правили Китаєм
12. Восьма проблема Гільберта
13. Мураха-аргумент і мураха-величина
14. У полоні опанованості
15. Велике О і Мебіус мю
16. Піднімання критичної лінії
17. Мала алгебра
18. Теорія чисел перетинається з квантовою механікою
19. Поворот золотого ключа
20. Ріманів оператор та інші підходи
21. Член похибки
22. Або це істина, або ні
Епілог
Примітки
Додаток: Ріманова гіпотеза в пісні
Автори зображень
Показник
Передмова
У серпні 1859 р. Бернгард Ріман став членом-кореспондентом Берлінської академії – велика честь для молодого математика (йому було 32 роки). Як належало, Ріман представив академії доповідь, у якій йшлося про деякі свої дослідження. Назва доповіді – «Про кількість простих чисел, менших за задану величину». У ній Ріман досліджував просту проблему звичайної аритметики. Щоб зрозуміти проблему, запитаймо: скільки є простих чисел, менших за 20? Відповідь – вісім: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 і 19. Скільки менших від тисячі? Менших від мільйона? Менших від мільярда? Чи існує загальне правило або формула для визначення кількості, яка позбавить нас від необхідності їх підраховувати?
Ріман взявся до цієї задачі за допомогою найскладнішої математики свого часу, використовуючи інструменти, які навіть сьогодні викладають лише на поглиблених курсах у коледжі, і винайшовши для своїх цілей математичний об’єкт великої сили та тонкості. На третині доповіді він висловив здогад про цей об’єкт, а потім зауважив:
Цей випадковий, побічний здогад залишався майже непоміченим десятиліттями. Потім, з причин, які я вирішив пояснити в цій книжці, він поступово захопив уяву математиків, поки не досяг статусу непереборної опанованості.Звісно, хотілося б мати строге доведення цього, але я відклав пошук такого доведення після кількох поверхових марних спроб, бо воно не необхідне для безпосередньої мети мого дослідження.
Ріманова гіпотеза, як почали називати цей здогад, залишалася опанованістю протягом усього двадцятого століття і залишається такою й сьогодні, чинячи опір кожній спробі довести її чи спростувати. Справді, опанованість тепер сильніша, ніж будь-коли, відтоді, як в останні роки були розв’язані інші великі старі відкриті проблеми: теорема чотирьох кольорів (запропонована 1852 року, доведена в 1976 році), Остання теорема Ферма (запропонована, ймовірно, 1637 року, доведена в 1994 році) та багато інших, менш відомих за межами світу професійної математики. Ріманова гіпотеза тепер великий білий кит математичних досліджень.
Усе двадцяте сторіччя позначене перейнятістю математиків Рімановою гіпотезою. Ось Давід Гільберт, один із найвидатніших математичних умів свого часу, виступає на другому Міжнародному конгресі математиків у Парижі в серпні 1900 року:
Далі йде твердження Ріманової гіпотези. Ось через сто років Філіп А. Ґріфітс, директор Інституту передових досліджень у Принстоні, колишній професор математики Гарвардського університету. Він пише в січневому випуску «Американського математичного щомісячника» за 2000 рік під назвою: «Дослідницькі проблеми 21-го століття»:Істотного прогресу в теорії розподілу простих чисел останнім часом досягли Адамар, де ля Валі-Пуса (de la Vallee Poussin), фон Мангольдт та інші. Однак для повного розв’язання проблем, які ставить перед нами доповідь Рімана «Про кількість простих чисел, менших за задану величину», залишається довести правильність надзвичайно важливого твердження Рімана, а саме...
Цікавою подією в Сполучених Штатах протягом останніх років двадцятого століття стало виникнення приватних інститутів математичних досліджень, фінансованих багатими ентузіастами математики. І Інститут математики Клея (заснований бостонським фінансистом Лендоном Т. Клеєм у 1998 році), і Американський інститут математики (заснований у 1994 році каліфорнійським підприємцем Джоном Фраєм) націлювалися на Ріманову гіпотезу. Інститут Клея запропонував винагороду один мільйон доларів за доведення її чи спростування; Американський інститут математики розглянув гіпотезу на трьох повномасштабних конференціях (1996, 1998 і 2002), у яких взяли участь дослідники з усього світу. Залишається побачити, чи зможуть ці нові підходи та стимули нарешті розгадати Ріманову гіпотезу.Попри величезні досягнення ХХ століття, десятки нерозв’язаних проблем усе ще чекають розв’язання. Більшість із нас, напевно, погодиться, що такі три проблеми одні з найскладніших і найцікавіших.
Ріманова гіпотеза. Перша – Ріманова гіпотеза, яка мучить математиків протягом 150 років...
На відміну від теореми про чотири кольори або Останньої теореми Ферма, Ріманову гіпотезу нелегко сформулювати термінами, які нематематик може легко зрозуміти. Вона лежить глибоко в серці деякої досить заплутаної математичної теорії. Ось:
Ріманова Гіпотеза
Усі нетривіальні нулі дзета-функції
мають дійсну частину рівну одна другій.
Для звичайного читача, навіть добре освіченого, який не мав поглибленої математичної освіти, це, мабуть, зовсім незрозуміло. Таке цілком можна було б написати церковнослов’янською мовою. У цій книжці, а також описуючи історію гіпотези та деяких особистостей, які були залучені до неї, я намагався донести цей глибокий та загадковий результат до розуміння широкого кола читачів, надавши стільки математики, скільки й потрібно, щоб її зрозуміти.
*****
План цієї книжки дуже простий. Непарні розділи (я збирався пронумерувати їх простими числами, але це було б занадто мило) містять математичний виклад, який, я стримано сподіваюся, підводить читача до розуміння Ріманової гіпотези та її важливості. Парні розділи забезпечують історичний та біографічний фон питання.
Спочатку я мав на думці, щоб ці два лінії були незалежні, щоб читачі, які не люблять рівнянь і формул, могли читати лише парні розділи, а читачі, яких не цікавить історія чи анекдоти, могли читати лише непарні. Мені не зовсім вдалося дотриматися цього плану до кінця, і тепер я сумніваюся, що цього можна досягти з такою складною темою. Проте основний патерн не був повністю втрачений. У непарних розділах набагато більше математики, а в парних — набагато менше, і ви, звісно, можете спробувати прочитати лише ту чи іншу групу. Але, сподіваюся, ви прочитаєте всю книжку.
Ця книжка розрахована на розумного і допитливого, але нематематичного читача. Ця заява, безумовно, викликає ряд питань. Що я маю на увазі під «нематематичним»? Скільки знань з математики, на мою думку, мають мої читачі? Ну, кожен знає трохи математику. Напевно, більшість освічених людей має принаймні уявлення про те, що таке числення. Думаю, що книжка відповідає рівневі людини, яка за середню школу мала задовільно з математики і, можливо, пройшла кілька курсів коледжу. Фактично моєю початковою метою було пояснити Ріманову гіпотезу, не використовуючи числення. Це виявилося дещо надоптимістичним, і всього в трьох розділах є дуже невелика кількість вельми елементарного числення, пояснюваного по ходу.
Майже все інше – це лише аритметика та базова алгебра: розкривання дужок, наприклад (a+ b) x (c+ d), або перебудовування рівнянь так, що S = 1 + xS стає S = 1 / (1 - x). Вам також знадобиться готовність використовувати чудні символи для короткого запису, які використовують математики, щоб поберегти м’язи своїх писучих рук. Стверджую принаймні таке: я не вірю, що Ріманову гіпотезу можна пояснити за допомогою ще елементарнішої математики, ніж я використовував тут, тому, якщо ви не зрозумієте гіпотезу після прочитання моєї книжки, можете бути впевнені, що не зрозумієте її ніколи.
*****
Різні професійні математики та історики математики щедро допомагали, коли я звертався до них. Я глибоко вдячний вказаним особам за час, який вони з доброї волі приділили мені, за їхні поради, які іноді не прийняті, за їхнє терпіння в розв’язанні моїх повторюваних тупих запитань, а в одному випадку за гостинність дому: Джері Александерсону, Томові Апостолу, Метові Бріну, Браянові Конрі, Гаролдові Едвардзу, Денісові Гейгалу, Артурові Джафе, Патрісіо Лебефу, Стівенові Мілеру, Г'ю Монтґомері, Ервінові Ноєншвандеру, Ендрю Одлизко, Семюелові Патерсону, Пітерові Сарнаку, Манфредові Шредеру, Улріке Форауер, Маті Bуорінену, Майкові Вестморленду. Будь-які грубі помилки в цій книжці щодо математики – мої, а не їхні. Бріжит Бруґеман і Герберт Айтенаєр допомогли заповнити прогалини в моїй німецькій мові. Замовлення від моїх друзів з «Національного огляду», «Нового критерію» і «Вашингтон таймз» дали змогу мені годувати моїх дітей під час роботи над цією книжкою. Численні читачі моїх онлайн-колонок допомогли мені зрозуміти, які математичні ідеї викликають найбільше труднощів у нематематиків.
Поряд із цими подяками йде приблизно така ж кількість вибачень. Тема, про яку йдеться в цій книжці, за сто років глибоко досліджували деякі з найкращих умів нашої планети. У межах наявних обсягу та методів викладу, які я вибрав, виявилося необхідним опустити цілі великі сфери дослідження, що мають стосунок до Ріманової гіпотези. Тут ви не знайдете жодного слова про гіпотезу щільності, наближене функціональне рівняння або про ціле захопливе питання моментів дзета-функції, що нещодавно ожило після тривалої сплячки. Немає жодної згадки про узагальнену Ріманову гіпотезу, модифіковану узагальнену Ріманову гіпотезу, розширену Ріманову гіпотезу, велику Ріманову гіпотезу, модифіковану велику Ріманову гіпотезу чи квазі-Ріманову гіпотезу.
Ще сумніше те, що є багато працівників, які доблесно трудилися на цих виноградниках протягом десятиліть, але чиїх імен нема в моєму тексті: Енріко Бомб’єрі, Аміт Ґош, Стів Ґонек, Генрік Іванец (Henryk Iwaniec) (половина листів йому надходить на адресу «Henry K. Iwaniec»), Ніна Снейт та багато інших. Мої щирі вибачення. Починаючи, я не усвідомлював, якою великою темою зайнявся. Ця книжка могла бути втричі чи втридцятеро довшою, але мій редактор уже тягнувся до бензопили.
І ще одне визнання. Я дотримуюся забобонної віри в те, що будь-яка книжка, яка перевищує рівень найманої нудної праці — будь-яка книжка, написана з турботою та любов’ю, — має провідний дух. Цим самим я лише хочу сказати, що книжка розповідає про якусь конкретну людину, про яку думає автор, коли працює, і чия особистість прикрашає книжку. (Що стосується художньої літератури, то боюся, що дуже часто ця людина — сам автор.)
Провідний дух цієї книжки, який, здавалося, часто заглядав через моє плече, коли я писав, якого я іноді уявляв, чув, як він сором’язливо прокашлювався в сусідній кімнаті або стримано пересувався за лаштунками в моїх математичних та історичних розділах, був Бернгард Ріман. Читаючи його й читаючи про нього, у мене виникла дивна суміш почуттів до цього чоловіка: велике спочуття до його соціальної незграбності, слабкого здоров’я, неодноразових важких втрат і хронічної бідності, змішаної з трепетом перед надзвичайною силою його розуму й серця.
Книжку треба присвячувати комусь живому, щоб присвята давала задоволення. Я присвятив цю книжку дружині, що добре знає, яка щира ця присвята. Однак є певний сенс, що його не можна залишити без уваги в передмові, – ця книжка строго кажучи належить Бернгардові Ріману, який за коротке життя, отруєне багатьма нещастями, дав своїм колегам так дуже, дуже багато вічної цінності — разом із проблемою, яка продовжує хвилювати їх півтора століття після того, як характерно сором’язливо по ходу він відзначив свої власні «поверхові марні спроби» її розв’язати.
Джон Дербішир, Гантінгтон, Нью-Йорк, червень 2002 року
