Колосальна книжка математики

Кувалда · Вів листопада 10, 2020 1:15 pm

Мартін Гарднер. «Колосальна книжка математики: класичні головокрутки, парадокси і задачі» [Martin Gardner. The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. 736 pages Publisher: W. W. Norton & Company; 1st ed. edition (September 17, 2001)]

Переклала Ю. Джугастрянська

Відгуки
«Старий добрий Мартін Ґарднер – чітко, конче потрібно і забавно, суцільна втіха від першої до останньої сторінки».
Ієн Стюарт, Математичний інститут Ворицького університету

«Головокрутки Мартіна Ґарднера мають багато спільного з найвеличнішими творами сюрреалістичного мистецтва: дивовижні, провокаційні та важливі для прийдешніх поколінь. Ґарднер неквапно пояснює від початку до натхненого розв’язку кожну зі своїх математично найрозкішніших головокруток у цій веселій і проникливій книжці».
Деніз Шаша, професор інформатики Нью-Йоркського університету, автор колонки «Пригоди головокруток» для «Саєнтіфік Америкен»

«Ця колосальна добірка улюблених головокруток та колонок Мартіна Ґарднера чудово відтворює його дивовижно впливовий шлях неперевершеного пояснювача».
Джон Ален Паулос, професор математики Темпльського університету

«Попередження: Мартін Ґарднер перетворив десятки невинних юних душ на професорів математики, а тисячі професорів математики зробив невинними юними душами. «Колосальна книжка математики» – дивовижна збірка»».
Персі Діаконіс, професор математики Стенфордського університету

«Ньютон казав, що зробив багато своїх математичних відкриттів, бо стояв на плечах гігантів. Для тих із нас, хто намагався зробити математику доступною для широкої авдиторії, є один лише гігант, який височіє над всіма іншими, – Мартін Ґарднер».
Кіт Девлін, Центр дослідження мови та інформації Стенфордського університету, автор книжки «Ген математики» та лавреат Премії за комунікацію від Спільної ради з математики.
Незалежно від обговорення чи то гексафлексогонів, чи теорії чисел, пляшок Кляйна чи "нічого", Мартін Гарднер одноосібно створив царину "розважальної"[1]. До «Колосальної книжки математики» увійшли найпопулярніші твори Ґарднера з його легендарної колонки "Математичні ігри", яку він вів у "Саєнтіфік Америкен" протягом двадцяти п’яти років. Ґарднерова колекція, що охоплює головокрутки та заморочливі парадокси, найвищою мірою удоступнює математику загалом, надихаючи людей бачити більш ніж числа та формули та відчувати застосування математичних принципів до загадкового світу навколо них. Зі статтями на теми від простої алгебри до закрутних поверхонь стрічок Мобіуса, від нескінченної гри болгарського пасьянсу до недосяжної мрії про подорож у часі, ця книжка – вагомий і остаточний монумент Ґарднеровому впливові на математику, науку та культуру.
У дванадцяти темах «Колосальної книжки математики» досліджується широкий спектр питань, кожне з яких разюче висвітлене завдяки проникливій Ґарднеровій майстерності. Починаючи зі, здавалося б, простих тем, Ґарднер вправно веде нас через складні та дивовижні світи: за допомогою базової алгебри ми розглядаємо заворожливі, часто смішні, лінгвістичні та числові можливості паліндромів; використовуючи просту геометрію, він аналізує принципи симетрії, на яких відомий «математичний» художник М. К. Ешер будує свій унікальний, приголомшливий всесвіт. Ґарднер, як мало хто з теперішніх мислителів, поєднує суворий науковий скептицизм з глибоким мистецьким та образним поривом. Наприклад, його незрівнянне дослідження "Церква четвертого виміру" наводить мости між відмінними світами релігії та науки, через блискуче уявлення просторової можливості присутності Бога у світі як четвертого виміру, одразу "скрізь і ніде".
З безмежною мудрістю та притаманною йому дотепністю, Ґарднер надає можливість читачеві продовжувати займатися такими складними темами, як імовірність і теорія ігор, які впродовж століть дошкуляють розумним азартним гравцям та відомим математикам. Чи то розвінчання закла́ду Паскаля з допомогою елементарної ймовірності, створення візуальної музики з допомогою фракталів, чи розгортання «завузленого тороїда» за допомогою вступної топології. Ґарднер безперервно проявляє свій нестримний інтелект і м’який гумор. Серед його статтей і втішливо буденні – «Узагальнені хрестики-нулики» й «Паростки та брюссельська капуста» – і трепетно абстрактні – «Гексафлексагони», «Нічого» та «Все». Він розбирається з цими приголомшливо незрозумілими темами з вправною кмітливістю і, з доповненнями та запропонованими списками літератури, подає ці класичні статті, розуміючи по-новому.
Шановані науковцями та математиками, авторами та читачами, величезні Ґарднерові знання та палка цікавість виявляються на кожній сторінці. Кульмінація ціложиттєвого захоплення дивами математики, «Колосальна книжка математики», – найбільша і найвичерпніша з усіх Ґарднерових книжок, і вона залишається незамінним виданням як для любителів, так і для експертів.
Мартін Ґарднер – автор понад сімдесяти книжок з величезного кола тем. Він понад двадцять п'ять років вів колонку "Математичні ігри" в "Саєнтіфік Америкен" і був редактором постійної рубрики в «Скептікел інкваєрер".

ЗМІСТ
Передмова
I. Аритметика й алгебра
1. Мавпи та кокоси
2. Обчислення скінченних різниць
3. Паліндроми: слова і числа
II. Планіметрія
4. Криві сталої ширини
5. Повторювана плитка
6. Супереліпс Піта Гайна
7. Плитки Пенроуза
8. Дива Плоскосвіту/Планіверсу
III. Стеремометрія та вищі виміри
9. Спіраль
10. Упаковання сфер
11. Сфери і гіперсфери
12. Церква четвертого виміру
13. Гіперкуб
14. Неевклідова геометрія
IV. Симетрія
15. Обертання та відображення
16. Приголомшливі витвори Скота Кіма
17. Мистецтво М. К. Ешера
V. Топологія
18. Кляйнові пляшки та інші поверхні
19. Вузли
20. Тороїди: зв’язані та завузлені
VI. Ймовірність
21. Ймовірність і невизначеність
22. Нетранзитивні кубики та інші парадокси
23. Більше нетранзитивних парадоксів
VII. Нескінченність
24. Нескінченна регресія
25. Алеф-нуль і алеф-один
26. Суперзадачі
27. Фрактальна музика
28. Сюрреальні числа
VIII. Комбінаторика
29. Гексафлексагони
30. Кубик сома
31. Гра життя
32. Складання паперу
33. Теорія Ремзі
34. Болгарський пасьянс та інші позірно безкінцеві задачі
IX. Ігри та теорія рішень
35. Машина, що навчається гри, з використанням сірникових коробок
36. Паростки та брюссельська капуста
37. Узагальнені хрестики-нулики Гарарі.
38. Новий елусис
X. Фізика
39. Подорожі в часі
40. Чи зупиняється коли-небудь час?
41. Індукція та ймовірність
42. Простота
XI. Логіка та філософія
43. Несподівана страта
44. Ньюкомів парадокс
45. Нічого
46. Все
XIІ. Різнорідне
47. Мелодієскладальні машини
48. Математичний зоопарк
49. Ґедель, Ешер, Бах
50. Шість сенсаційний відкритів
Вибрані назви авторових книжок з математики
Індекс

Передмова
Мої довгі та щасливі стосунки зі «Саєнтіфік Америкен» (тоді ще його видавав Джерард Піл, а Денніз Фленеган був редактором) розпочалися 1952 року, коли я надіслав їм статтю про історію появи логічних машин. Це такі цікаві штуковини, які винайшли в докомп’ютерні століття, щоб розв’язувати деякі задачі з формальної логіки. Стаття містила додаток із цупкого паперу, з якого можна було вирізати набір карток із віконечками, які я розробив для розв’язування силогізмів. Пізніше на основі цієї статті я написав книжку «Логічні машини та діаграми», опубліковану 1959 року.
Вдруге я надіслав їм статтю про гексафлексагони, яка тут передрукована в розділі 29. У додатку до розділу я розповідаю, як це підштовхнуло Піла створити постійну рубрику, присвячену розважальній математиці. Колонка під назвою «Математичні ігри» (випадковий збіг з моїми ініціалами[2]) проіснувала чверть століття. Увесь цей час я вивчав математику дедалі глибше. Адже немає кращого способу опанувати предмет, ніж писати про нього.
П`ятнадцять збірників моїх колонок були опубліковані, починаючи з «Книжки математичних головокруток і розваг «Саєнтіфік Америкен»» (1959) і закінчуючи «Останні розважання» (1997). На мій радісний подив, Роберт Вейл, мій редактор у видавництві «В. В. Нортон», порадив мені вибрати 50 найкращих – які викликали найбільший захват у читачів – есеїв для упорядкування цієї вагомої та остаточної (для моєї кар’єри) книжки, яку ви зараз тримаєте в руках. Я не вніс сюди жодного з химерних інтерв’ю зі знаменитим нумерологом доктором Ірвінгом Джошуа Матріксом, бо всі вони були зібрані у книжці «Магічні числа доктора Матрікса» (1985).
До кожного розділу я дописав розлогі додатки з оновленими даними, а також надав вибрану бібліографію для подальшого читання.
Мартін Ґарднер

І. Аритметика й алгебра

Розділ 1
Мавпи та кокоси
9 жовтня 1926 року в додатку до «Сатердей івнінг пост» вийшло коротеньке оповідання Бена Еймза Вільямза під назвою «Кокоси». То була історія про забудовника, що переймався, як перемогти конкурента в боротьбі за важливе замовлення. Один із працівників забудовника, знаючи конкурентову пристрасть до розважальної математики, підсунув йому цікаве завдання, і той так захопився, аж забув подати вчасно свою заявку.
Ось завдання, як його сформулював службовець із оповідання Вільямза:
П’ятеро чоловіків і мавпа після кораблетрощі прибилися на безлюдний острів. У перший же день вони заходилися збирати кокосові горіхи на поживу. Наскидали зібране на купу та й полягали спати.
Але коли всі поснули, один чоловік прокинувся і подумав, що вранці треба буде якимось чином ділити ті кокоси, і могла виникнути суперечка. Тож він вирішив відокремити свій внесок. Поділив усі кокоси на п’ять часток, один горіх лишився зайвим, і чоловік віддав його мавпі. Свою пайку заховав, решту змішав докупи і ліг спати.
Потім інший чоловік прокинувся і вчинив так само: поділив горіхи, що залишилися, на п'ять частин, один зайвий віддав мавпі, решту змішав. Один за одним так зробили всі п’ятеро. А на ранок вони поділили решту кокосових горіхів на п`ять рівних пайок. Кожен при цьому знав, що горіхів бракує, але кожен почувався винним, тож усі промовчали.
Скільки кокосів вони назбирали спочатку за день?
Вільямз упустив у своєму тексті відповідь. Кажуть, упродовж тижня після виходу оповідання редакцію «Сатердей івнінг пост» засипали зо 2000 листів. Випусковий редактор Джордж Горас Лорімер надіслав Вільямзові історичну телеграму: «ЗАРАДИ БОГА, СКІЛЬКИ КОКОСІВ? ТУТ УЖЕ ПЕКЛО».
Потім іще 20 років Вільямз продовжував отримувати листи з відповідями та пропозиціями нових розв’язків. Нині задача про кокоси – либонь, найпопулярніша та найрідше розв`язувана з усіх Діофантових задач. (Термін «Діофантові задачі» походить від Діофанта Александрійського, давньогрецького алгебриста, який уперше всебічно проаналізував рівняння, що вимагають розв’язків у раціональних числах).
Вільямз не сам вигадав задачу з кокосами. Він лише трохи переінакшив її, щоб зробити карколомнішою. Старіша версія відрізняється тим, що вранці, коли кокоси поділили востаннє, знову лишився один зайвий для мавпи. А у Вільямза кокоси кінець-кінцем поділили без остачі. Деякі з Діофантових рівнянь мають лише один розв’язок (наприклад, x² + 2 = y³); інші мають скінченну кількість відповідей, а ще інші (як-от x³+ y³ = z³) геть не мають відповіді. Обидва варіанти задачі – і Вільямзів, і Діофантів – мають нескінченну кількість відповідей у цілих числах. Наше завдання полягає в тому, щоб знайти найменше додатне число.
Давнішу версію можна описати шістьма невизначеними рівняннями, які репрезентують шість успішних спроб поділити кокоси на п’ятьох. N – початкова кількість, F – частка кожного моряка після остаточного розподілу. Одиниця праворуч – це горіх, який віддавали щоразу мавпі. Кожна буква позначає невідоме ціле додатне число.
N=5A+ 1,
4A = 5B+ 1,
4B = 5C+ 1,
4C= 5D+ 1,
4D= 5E+ 1,
4E= 5F+ 1.
Ці рівняння нескладно звести відомими алгебричними методами до такого одного Діофантового рівняння з двома невідомими:
1 024N= 15 625F+ 11 529.
Занадто складно цього досягнути методом спроб і помилок, і хоча існує стандартна схема розв'язку через дотепне використання неперервних (ланцюгових) дробів, вона довга та стомлива. А тут нам треба зосередитися лише на чудернацькому і прекрасному простому розв’язкові через введення від’ємних кокосів. Цей варіант розв`язання інколи приписують П. А. М. Діраку, фізикові з Кембридзького університету (1902 – 1984), але на мій запит професор Дірак відповів, що отримав цей розв’язок від Дж. Г. К. Вайтгеда, професора математики (і небожа знаменитого філософа). Професор Вайтгед на таке саме просте запитання відповів, що отримав розв`язок іще від когось, а далі я вже не шукав.
Хоч би хто там додумався першим до від’ємних кокосів, але він мусив міркувати приблизно так. Через те що число N ділили шість разів на п’ять частин, очевидно, що 5⁶ (або 15 625) можна додати до будь-якої відповіді, щоб отримати наступну, більшу. Фактично, можна додати або так само відняти будь-яке число, кратне 5⁶. Віднімаючи число, кратне 5⁶, ми отримаємо, кінець-кінцем, нескінченну кількість відповідей у від’ємних числах. Це задовольнить початкове рівняння, але не початкову задачу, що вимагає додатного цілочислового розв’язку.
Очевидно, що нема малого додатного значення N, яке відповідало б умовам задачі, але, можливо, є відповідь у від’ємних числах. Знадобилося геть небагато зусиль, щоб методом проб і помилок виявити приголомшливий факт, що такий розв’язок справді існує: -4. Ось погляньте, як це красиво працює.
Перший моряк береться до купки з -4 кокосів, один додатний віддає мавпі (не важливо, мавпа отримала своє до чи після поділу на п’ять частин), а отже залишаючи п’ять від’ємних кокосів. Їх він ділить на п’ять часток, по одному від’ємному кокосові кожна. Після того як одну таку частку він сховав, залишилося чотири від’ємні кокосові горіхи, саме стільки, як було на початку! Решта моряків по черзі повторили той самий химерний ритуал, і все закінчилося тим, що кожен отримав по два від’ємні горіхи, а мавпа, якій найдужче пощастило в усіх цих обернених оборудках, дременула з шістьома додатними кокосами. Щоб знайти відповідь, яка має бути найменшим цілим додатним числом, нам треба лише додати – 4 до 15 625 й отримати 15 621 – шуканий розв’язок.
Такий підхід до задачі веде нас безпосередньо до загальної формули про N моряків, кожен із яких брав собі одну N-ну частку горіхів при кожному поділі їх на N. Якби тих моряків було четверо, ми починали би з трьох від’ємних горіхів і додавали б 4⁵. Якби моряків було шестеро, ми починали б з п’яти від’ємних горіхів і додавали 6⁷. І за таким самим принципом – для будь-якого значення N. Формальніше, початкове число кокосових горіхів дорівнює k(nⁿ⁺¹) – m(n – 1), де n – це кількість людей, m – кількість кокосів, які віддають мавпі при кожному поділі, а k – довільно вибране ціле число, так званий параметр. Коли n дорівнює 5, а m дорівнює 1, ми отримуємо найменший додатний розв’язок, використовуючи параметр 1. `
На жаль, цей веселий розв’язок не відповідає умовам задачі Вільямза, де при кінцевому поділі мавпі кокоса не дісталося. Я залишаю допитливим читачам нагоду самотужки розв`язати Вільямзову задачку. Звісно, це можна зробити за допомогою стандартної Діофантової методики, але є коротший і простіший шлях, якщо ви скористаєтеся новою інформацією з описаного вище розв’язання. Для кого ж це надто складно, ось вам дуже проста версія задачки про кокоси, в якій немає ніяких Діофантових заморочок.
Троє моряків знайшли купу кокосів. Перший узяв половину і ще пів кокоса. Другий узяв половину від решти і ще половинку горіха. Третій узяв половину того, що лишилося після другого і ще пів кокоса. Насамкінець у них залишився 1 кокос, який вони віддали мавпі. Скільки кокосів було в початковій купі? Якщо вам стане терпіння на 20 спроб, то ви впораєтеся методом проб і помилок.

[1]. Recreational mathematics – розважальна/креаційна/відпочинкова математика.
[2]. "Mathematical Games" – M. G. (Martin Gardner).